1、第14讲 最值问题知识点1 几何问题最值【典例】例1（2020泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A2+1B2+12C22+1D22-12例2（2020温州一模）如图，在RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是平面内一动点，且APB90，取BC的中点E，连结PE，则线段PE的最大值为（）A210B213C2+13D3+13例3（2020秋赣榆区期中）【问题情境】（1）点A是O外一点，点P是O上一动点若O的半径为2，且OA5，则点P到点A的最短距离为【直接运用】（2）如图1，在RtABC
2、中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由【灵活运用】（4）如图3，O的半径为4，弦AB4，点C为优弧AB上一动点，AMAC交直线CB于点M，则ABM的面积最大值是例4（2020北辰区二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将AOP绕点A顺时针旋转90，得ABQ，Q是点P旋转
3、后的对应点（1）如图（1）当OP22时，求点Q的坐标；（2）如图（2），设点P（x，y）（0x6），APQ的面积为S求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）当BP+BQ82时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）【随堂练习】1（2020包河区校级一模）如图，等腰RtABC的一个锐角顶点A是O上的一个动点，ACB90，腰AC与斜边AB分别交O于点E、D，分别过点D，E作O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若O的半径为4，则OC的最大值为（）A25+2B42+2C6D82（2020宁波模拟）如图，ABC内接于O，且ABAC直径AD交BC于点E，F是A
4、E的中点，连结CF，若AD63则CF的最大值为（）A6B5C4D33（2020秋亭湖区期中）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（8，6），B（8，6），C（8，6），D（8，6）（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为；“开距离”为；（2）设O半径为
5、2，O与四边形ABCD的“闭距离”是，“开距离”是；（3）设直线y=43x+b（b0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”；（4）M的圆心为M（6，m），半径为1，若M与ABD的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围4（2020秋巴南区期中）在ABC中，AB8，AC63，ACB30，将ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到ADE（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF，求证：AFDAFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在ABC绕点A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，直接写出线段PG1长度的最大值
6、与最小值知识点2 代数问题最值几种常见问题1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。【典例】例1（2020春丛台区校级期末）已知一次函数y（m+4）x+2m+2，无论m取何值时，它的图象恒过的定点P，求点P的坐标若m为整数，又知它的图象不过第四象限，则m的最小值为例2（2020秋宽城区期末）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x2（1）求这条抛物线所对应的函数表达式（2）当-12x72时，求函数值y的取值范围（3）当
7、2xk时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是（4）已知A、B两点均在抛物线yx2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值例3（2020秋五常市期末）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数yx+120（1）若该服装获得利润为w（元），试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最
8、大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围【随堂练习】1（2020浙江自主招生）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c6，a+b3c2，若mab+c，则m的最小值为2（2020秋宁明县期中）一次函数yaxa+1（a为常数，且a0）（1）若点（1，3）在一次函数yaxa+1的图象上，求a的值；（2）当1x2时，函数有最大值5，请求出a的值3（2020秋长春期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日
9、销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；求w与x之间的函数关系式；要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？综合运用1（2020秋韩城市期末）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为8，则GE+FH的最大值为2（2020越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD1
10、3，AB25，DAB，且cos=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转得到线段EF，连接CF（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值3（2020秋福州期中）如图1，在RtABC中BAC90，ABAC，BC2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将ABC绕P点（0，1）顺时针旋转（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为；（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线yx1的交点为F，求证：AEF的周长为定值；（3）在（2）的条件下，
11、求AEF内切圆半径的最大值4（2020秋海珠区校级期中）如图，AB为O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD（1）求证：CD是ACB的角平分线；（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由5（2020春林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，ABC为锐角，以边AB为直径作O，O与边BC交点为E，EF是O的切线，且EF对角线AC于点F（1）求证：ACCD；（2）填空：若AB4cm，则：当
12、B的度数时，ABCD是菱形；ACD面积的最大值是6（2020天宁区校级一模）问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB10，cosABD=513，P为BD上一点，B是点B以P为对称中心的对称点，点B也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB为半径在BD下方作半圆（1）BP时，APBD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；拓展延伸：（3）如图，AB6，AC=3，以BC为底边在BC上方作等腰BCD，其中CDB120，直接写出AD的最大值第14讲 最值问题知识点1 几何问题最值【典例】例1（2020泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标
13、平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A2+1B2+12C22+1D22-12【解答】解：如图，点C为坐标平面内一点，BC1，C在B上，且半径为1，取ODOA2，连接CD，AMCM，ODOA，OM是ACD的中位线，OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，OBOD2，BOD90，BD22，CD22+1，OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；故选：B【方法总结】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点例2（2020温州一模）如图，在R
14、tABC中，ABBC，AB6，BC4，P是平面内一动点，且APB90，取BC的中点E，连结PE，则线段PE的最大值为（）A210B213C2+13D3+13【解答】解：取AB的中点O，以O为圆心，AB为直径作圆，连接EO，EO的延长线与O交于点P，如图，此时EP就是EP的最大值为：EPOE+OP=OB2+BE2+OP=32+22+3=13+3，故选：D【方法总结】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型例3（2020秋赣榆区期中）【问题情境】（1）点A是O外一点，点P是O上一动点若O的半径为2，且OA5，
15、则点P到点A的最短距离为3【直接运用】（2）如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是5-1【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由【灵活运用】（4）如图3，O的半径为4，弦AB4，点C为优弧AB上一动点，AMAC交直线CB于点M，则ABM的面积最大值是43【解答】解：（1）连接AP、OP，如图4所示：O的半径为2，OP2，OAOP523，PAOAOP，PA
16、3，当点P在OA上时，PA最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA，交半圆于P，连接OP，如图1所示：ACBC2，BC为半圆的直径，OPOC=12BC1，ACB90，OA=AC2+OC2=22+12=5，APOAOP，AP5-1，当点P在OA上时，AP最短，最小值为5-1，故答案为：5-1；（3）点P到点C的最短距离为35-3，理由如下：取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图2所示：点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，BMCN，四边形ABCD是正方形，ABBC6，ABMBCN90，在ABM和BCN中，BM=CNABM=BCNAB=BC，ABM
17、BCN（SAS），BAMCBN，CBN+ABN90，BAM+ABN90，APB90，点P在以AB为直径的O上运动，OPOAOB=12AB3，OC=OB2+BC2=32+62=35，又PCOCOP，PC35-3，PC的最小值为35-3；（4）连接OA、OB，如图3所示：OAOB4AB，AOB是等边三角形，AOB60，ACB=12AOB=126030，AMAC，M60，点M在以ADB120的D上，AB4，SABM最大，则点M到AB的距离最大，当AMBM时点M到AB的距离最大，ABM是等边三角形，SABM=12AB32AB=12432443，故答案为：43【方法总结】本题是圆的综合题，主要考查了圆周
18、角定理、三角形三边关系、勾股定理、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考压轴题型例4（2020北辰区二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将AOP绕点A顺时针旋转90，得ABQ，Q是点P旋转后的对应点（1）如图（1）当OP22时，求点Q的坐标；（2）如图（2），设点P（x，y）（0x6），APQ的面积为S求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）当BP+BQ82时，求点Q的坐标（直接写
19、出结果即可）【解答】解：（1）如图（1），过P点作PGx轴，垂足为G，过Q点作QHx轴，垂足为H四边形OABC是正方形，AOB45B（6，6），OA6在RtOPG中，PG=OPsin45=2222=2，OGPG2AGOAOG4AOP绕点A顺时针旋转90，得ABQ，AQAP，BQOPRtAQHRtAPGAHPG2，QHAG4Q（8，4）；（2）如图（2），过P点作PGx轴，垂足为GAOP绕点A顺时针旋转90，得ABQ，APAQ，PAQ90P（x，y），POG45，OGPGx，AG6x在RtAPG中，根据勾股定理，AP2AG2+PG2（6x）2+x2，整理得AP22x212x+36SAPQ=12A
20、PAQ，Sx26x+18（x3）2+9当S取最小值时，有x3，P（3，3）；（3）Q（13，1）理由如下：如图（3），AOP绕点A旋转得到ABQ，OPBQBP+BQ=82，BP+OP=82OB=62，点P在OB的延长线上OPBPOB=62由OP+BP=82，OP-BP=62.解得：OP=72，BP=2OG=PG=22OP=7，AGOGOA1，同（1）：RtAQHRtAPG，AHPG7，QHAG1，OHOA+AH6+713，Q（13，1）【方法总结】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数，
21、解决本题的关键是综合运用以上知识属于中考几何压轴题【随堂练习】1（2020包河区校级一模）如图，等腰RtABC的一个锐角顶点A是O上的一个动点，ACB90，腰AC与斜边AB分别交O于点E、D，分别过点D，E作O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若O的半径为4，则OC的最大值为（）A25+2B42+2C6D8【解答】解：等腰RtABC中，ACB90，AB45，DOE2A90，分别过点D，E作O的切线，ODDF，OEEF，四边形ODFE是矩形，ODOE4，四边形ODFE是正方形，EF4，点F恰好是腰BC上的点，ECF90点C在以EF为直径的半圆上运动，设EF的中点为G
22、，则EGFGCG=12EF2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在RtOEG中，OG=OE2+EG2=42+22=25，OCOG+CG25+2故选：A2（2020宁波模拟）如图，ABC内接于O，且ABAC直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD63则CF的最大值为（）A6B5C4D3【解答】解：F是AE的中点，设AFEFx，则AE2x，DE63-2x，ABAC，AB=AC，AD为O的直径，BCAD，ABD90BECE，ABE+DBEDBE+D90，ABED，AEBDEB90，ABEBDE，BEAE=DEBE，BE2AEDE2x（63-2x），CE22x（63-2x），
23、在RtCEF中，CF2EF2+CE2x2+2x（63-2x）3（x23）2+36，当x23时，CF的最大值为6，故选：A3（2020秋亭湖区期中）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（8，6），B（8，6），C（8，6），D（8，6）（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和
24、线段CD的“闭距离”为12；“开距离”为20；（2）设O半径为2，O与四边形ABCD的“闭距离”是4，“开距离”是82；（3）设直线y=43x+b（b0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”；（4）M的圆心为M（6，m），半径为1，若M与ABD的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）如图所示：线段AB和线段CD的“闭距离”为12，“开距离”BD=162+122=20，故答案为：12，20；（2）如图所示：设圆与y轴坐标轴交于点E，O与四边形ABCD的“闭距离”是624，“开距离”EC=82+(-6-2)2=82故答案为：
25、4，82；（3）线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，点F坐标为（0，4）或点F（15，0），线段EF与四边形ABCD的“开距离”，即为FD的长度=82+(6+4)2=241，当点F坐标为（15，0）时，将点F的坐标代入y=43x+b并解得b20，则直线的表达式为y=43（x15）=43x20，点F（0，20），线段EF与四边形ABCD的“开距离”，即FD的距离为=82+(6+20)2=2185，综上，它们的“开距离”为241或2185；（4）如图，设直线y6与AB交于点N，交AC于点E，M（6，m），半径为1，当点M在y轴左侧时，MN2时，M与ABD“闭距离”等于1，m8或4，当点M在y
26、轴右侧时，ME=52时，M与ABD的“闭距离”等于1，m2或7，当m8或7或4m2时，M与ABD的“闭距离”等于14（2020秋巴南区期中）在ABC中，AB8，AC63，ACB30，将ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到ADE（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF，求证：AFDAFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在ABC绕点A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，直接写出线段PG1长度的最大值与最小值【解答】解：（1）如图1，作AMBC，ANDE于点M，N，根据旋转的性质可知：ABCADE，ABC的面积ADE的面积，AMAN，AF平分DFC，AFD
27、AFC；（2）线段PG1长度的最大值为63+4，EP1长度的最小值33-4解题过程如下：如图a，过点A作AFBC，F为垂足，ABC为钝角三角形，点F在线段BC上，在RtACF中，AC63，ACB30，AP=12AC33，AB8，点P为线段AB中点，AF=12AB4，当G在BC上运动，AG与BC垂直时，即点F与点G重合时，ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小，最小值为：PG1AG1APAFAP33-4；如图b，当G在BC上运动至点C，ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，最大值为：PG1AP+AG1AP+AC4+63综上所述，线段PG1长
28、度的最大值为63+4，EP1长度的最小值33-4知识点2 代数问题最值几种常见问题5、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。6、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。7、 利用完全平方公式的非负性来求最值。8、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。【典例】例1（2020春丛台区校级期末）已知一次函数y（m+4）x+2m+2，无论m取何值时，它的图象恒过的定点P，求点P的坐标（2，6）若m为整数，又知它的图象不过第四象限，则m的最小值为1【解答】解：由y（m+4）x+2m+2，得ym（x+2）+4x+2；直线y（m+4）x+2m+2无论m取何值时恒经过定点P，x+20，即x2，
29、y8+26，即y6，直线y（m+4）x+2m+2无论m取何值时恒经过的定点坐标为（2，6）；若该函数不经过第四象限，则m+402m+20，解得m1；m的最小值为1；故答案是：（2，6）；1【方法总结】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质能根据一次函数yax+b的性质得出a、b的正负，并正确地解不等式组是求m值的关键例2（2020秋宽城区期末）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x2（1）求这条抛物线所对应的函数表达式（2）当-12x72时，求函数值y的取值范围（3）当2xk时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7
30、，则k的取值范围是2k6（4）已知A、B两点均在抛物线yx2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值【解答】解：（1）由题意，得-b2=236+6b+c=7，解得b=-4c=-5，抛物线所对应的函数表达式为yx24x5；（2）-12x72，对称轴为直线x2，当x2时，ymin=22-42-5=-9，当x=-12时，y=(-12)2-4(-12)-5=-114，当x=72时，y=(72)2-472-5=-274，当-12x72时，y的取值范围是-9x-114；（3）把y7代入yx
31、24x5得，7x24x5，解得x16，x22，当2xk时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2k6，故答案为2k6；（4）点A、B的坐标分别为（m，m24m5）、（m+2，m29），当m0时，m24m5（m29）2，解得m=12（不合题意，舍去）当0m1时，m24m5（9）2，解得m1=2-2，m2=2+2（不合题意，舍去）当1m2时，m29（9）2，解得m1=2，m2=-2（不合题意，舍去）当m2时，m29（m24m5）2，解得m=32（不合题意，舍去）综上，m的值为2-2或2【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，
32、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键例3（2020秋五常市期末）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数yx+120（1）若该服装获得利润为w（元），试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围【解答】解：（1）由题意得：w（x+120）（x60）x2+180x7200（x90）2+900，二次项系数为负，抛物线开口向下，当x
33、90时，w随x的增大而增大，销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，60x45%60+60，即60x87，当x87时，商场可获得最大利润，此时，w（8790）2+900891（元）利润w与销售单价x之间的关系式为wx2+180x7200；销售单价定为87元时，商场可获得利润最大，最大利润是891元（2）当w500时，则有：500x2+180x7200，整理得：x2180x+77000，解得：x170，x2110，抛物线开口向下，对称轴为直线x90，若该商场获得利润不低于500元，则有70x110，又60x87，销售单价x的取值范围为：70x87【方法总结】本题考查了二次函数在销售
34、问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键【随堂练习】1（2020浙江自主招生）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c6，a+b3c2，若mab+c，则m的最小值为-187【解答】解：由题意可得3a+2b+c=6a+b-3c=2m=a-b+c，解得a=18+7m16，b=10-5m8，c=2-m16，由于a，b，c是三个非负实数，a0，b0，c0，2m-187所以m最小值=-187故本题答案为：-1872（2020秋宁明县期中）一次函数yaxa+1（a为常数，且a0）（1）若点（1，3）在一次函数yaxa+1的图象上，求a的值；（2）当1x2时，函数有最大值5
35、，请求出a的值【解答】解：（1）把（1，3）代入yaxa+1得aa+13，解得a1；（2）a0时，y随x的增大而增大，则当x2时，y有最大值5，把x2，y5代入函数关系式得52aa+1，解得a4；a0时，y随x的增大而减小，则当x1时，y有最大值5，把x1，y5代入函数关系式得 5aa+1，解得a2，所以a4或a23（2020秋长春期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）25201
36、0（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；求w与x之间的函数关系式；要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得20k+b=2030k+b=10，解得k=-1b=40，故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：yx+40；（2）依题意，设利润为w元，得w（x10）（x+40）x2+50x400；wx2+50x400（x25）
37、2+225；10当x25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元综合运用1（2020秋韩城市期末）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为8，则GE+FH的最大值为12【解答】解：如图1，连接OA、OB，ACB30，AOB2ACB60，OAOB，AOB为等边三角形，O的半径为8，ABOAOB8，点E，F分别是AC、BC的中点，EF=12AB4，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，当弦GH是圆的直径时
38、，它的最大值为：8216，GE+FH的最大值为：16412故答案为：122（2020越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD13，AB25，DAB，且cos=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转得到线段EF，连接CF（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值【解答】解（1）如图1，作DKAB于点K，将线段EA绕点E逆时针旋转得到线段EF，AEF，AEEF，在RtDAK中，cosDAKcos=AKAD=513，且AD13，AK5，DK=AD2-AK2=132-52=1
39、2，S平行四边形ABCDABDK2512300；（2）如图2，延长CD至H，作AHD，AHDADH，AHAD13，过点A作AMDH于点M，由（1）知AM12，DM=AD2-AM2=5，DH10，FEHDEA+F+，DEAF，在AEH和EFC中，AEH=FH=CAE=EF，AEHEFC（AAS），EHCF，CEAH13，DECDCE12，BFCFBC22139，BGCE，FBGFCE，BFCF=BGCE，即922=BG13，BG=11722；（3）如图3，延长CD至P，使PADP，过点F作FMBC，交CD于点M，过点FNCD，交CD于点N，由（2）可知AEPEFM，在EAP和FEM中P=FMEA
40、EP=EFMAE=EF，EAPFEM（AAS），EMAP13，FMEP，设DEx，则FMEP10+x，CM25（13+x）12x，FNFMsin=1213（10+x），MNFMcos=513（10+x），CNCM+MN12x+513（10+x）=206-8x13，在RtCFN中，CF2CN2+NF2=(113)2（208x2416x+56836），对称轴x=-b2a=-4162208=1，当x1时，CF的值最小，CF的最小值为6613133（2020秋福州期中）如图1，在RtABC中BAC90，ABAC，BC2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将ABC绕P点（
41、0，1）顺时针旋转（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为（2+1，2-1）；（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线yx1的交点为F，求证：AEF的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF内切圆半径的最大值【解答】解：（1）连接BP、CP，则ABP为等腰直角三角形，而ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45，点A落在点A的位置，则PA过点C，PAPA2，过点A作AEx轴于点E，则ACEOCP45，由点A、B、C的坐标知，ABAC=2，则CAPACP2-2，在RtACE中，AE=22AC=2-1CE，故旋转后点A的坐标为（2+1，2-1），故答案为（2+1，2-1）；（2）连接PB、CP，作QPBFPC，由（1）知，四边形BPCA为正方形，由直线yx1知，EPF
