1、2022 年四川省泸州市龙马潭区年四川省泸州市龙马潭区中考中考一诊模拟考试一诊模拟考试数学数学试题试题 一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1（3 分）的相反数是（ ） A2 B2 C D 2（3 分）光年是天文学中的距离单位，1 光年大约是 9 500 000 000 000km，这个数字用科学记数法可表示为（ ） A9501010 km B951011 km C9.51012 km D0.951013 km 3（3 分）下列计算正确的是（ ） Ax4+x4x16 B（2a）24a2 Cx7x5x2 Dm2m3m
2、6 4（3 分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5（3 分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 6（3 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 7（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 8（3 分）如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DEBC，EFAB，且 AD：DB3：5，那么 CF：CB 等
3、于（ ） A3：8 B3：5 C5：8 D2：5 9（3 分）已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S，其中 p；我国南宋时期数学家秦九韶（约 12021261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ） A B C D 10（3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30，O 的半径为，则弦 CD 的长为（ ） A3 B C D9 11（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点
4、 M 从点 B 出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA运动，到达点 A 停止运动，另一动点 N 同时从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向点 A 运动，到达点 A 停止运动， 设点 M 运动时间为 x （s） ， AMN 的面积为 y （cm2） ， 则 y 关于 x 的函数图象是 （ ） A B C D 12 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中1x10，1x22，下列结论：4a+2b+c0，2a+b0，b2+8a4ac，a1，其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D
5、4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13（3 分）分解因式：16m3mn2 14（3 分）已知关于 x 的分式方程+1 的解为负数，则 k 的取值范围是 15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC2，E 为 BC 边上一点，BC3BE，将矩形 ABCD 沿 AE所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线 AC 上的 B处，则 AB 16（3 分）如图，已知C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC5，点 P 为C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OAOB，APB90，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为 三、本大题共三
6、、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 17（6 分）计算：2sin60（3.14）0+|1|+（）1 18（6 分）化简求值：（1），其中 x1 19 （6 分）如图，已知点 B、E、C、F 在同一条直线上，ABDE，AD，ACDF求证：BECF 四、本大题共四、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分 20（7 分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为 A）、音乐类（记为 B）、球类（记为 C）、其它类（记为 D）根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且
7、每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）七年级（1）班学生总人数为 人，扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为 度，请补全条形统计图； （2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类 4 名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画班主任现从 A 类 4 名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率 21（7 分）某校运动会需购买 A，B 两种奖品，若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件，共需 60
8、 元；若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件，共需 95 元 （1）求 A、B 两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件，购买费用不超过 1150 元，且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 3 倍，设购买 A 种奖品 m 件，购买费用为 W 元，写出 W（元）与 m（件）之间的函数关系式求出自变量 m 的取值范围，并确定最少费用 W 的值 五、每小题五、每小题 8 分，共分，共 16 分分 22（8 分）如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A点的仰角 30，从平台底部向树的方向
9、水平前进 3 米到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 60，求树高 AB（结果保留根号） 23（8 分）如图，直线 yx+b 与反比例函数 y的图象相交于 A（1，4），B 两点，延长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 SPACSAOB？若存在请求出点 P 坐标，若不存在请说明理由 六、每小题六、每小题 12 分，共分，共 24 分分 24（12 分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交O 于点 E、F，过点 B 作 PO
10、 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证：直线 PA 为O 的切线； （2）求证：ADACAPBC； （3）若 BC6，tanF求O 的直径 AC 的长 25（12 分）如图，抛物线 yax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0）、B（2，0），与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点 K 在 x 轴上
11、方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1（3 分）的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数 【解答】解：的相反数是 故选：C 2（3 分）光年是天文学中的距离单位，1 光年大约是 9 500 000 000 000km，这个数字用科学记数法可表示为（ ） A9501010 km B951011 km C9.51012 km D0.951013 km 【分析】科学记数法的表示形式
12、为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：9 500 000 000 0009.51012， 故选：C 3（3 分）下列计算正确的是（ ） Ax4+x4x16 B（2a）24a2 Cx7x5x2 Dm2m3m6 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法、乘法分别求出每个式子的值，再判断即可 【解答】解：A、结果是 2x4，故本选项错误； B、结果是 4a2，故本选项错误； C、结果是 x2，故
13、本选项正确； D、结果是 x5，故本选项错误； 故选：C 4（3 分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 5（3 分）把不等式组的解集表示
14、在数轴上，正确的是（ ） A B C D 【分析】先求出不等式组的解集，再根据数轴上不等式的解集的表示方法解答 【解答】解：， 解不等式得，x2， 解不等式得，x1， 在数轴上表示如下： 故选：B 6（3 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是一个田字， 故选：A 7（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于 k
15、的不等式组，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， ，即， 解得 k1 且 k0 故选：B 8（3 分）如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DEBC，EFAB，且 AD：DB3：5，那么 CF：CB 等于（ ） A3：8 B3：5 C5：8 D2：5 【分析】由 DEBC，可得，再结合 EFAB 可求得，可求得 CF：CB 【解答】解：DEBC，EFAB， AE：ECAD：DBBF：CF3：5， CF：CB5：8， 故选：C 9（3 分）已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数
16、学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S，其中 p；我国南宋时期数学家秦九韶（约 12021261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ） A B C D 【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为 2，3，4 的面积，从而可以解答本题 【解答】解：S， 若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是：S， 故选：B 10（3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30，O 的半径为，则弦 CD 的长为（ ） A3 B
17、C D9 【分析】先根据垂径定理得到 CEDE，再根据圆周角定理得到COB60，然后利用含 30 度的直角三角形三边的关系求出 CE，从而得到 CD 的长 【解答】解：CDAB， CEDE， COB2CDB23060， OEOC， CEOE， CD2CE3 故选：A 11（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 M 从点 B 出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA运动，到达点 A 停止运动，另一动点 N 同时从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向点 A 运动，到达点 A 停止运动， 设点 M 运动时间为 x （s） ， AMN 的面积为 y （cm2）
18、， 则 y 关于 x 的函数图象是 （ ） A B C D 【分析】 分三种情况进行讨论， 当 0 x1 时， 当 1x2 时， 当 2x3 时， 分别求得ANM 的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可 【解答】解：由题可得，BNxcm， 当 0 x1 时，M 在 BC 边上，BM3xcm，AN（3x）cm，则 SANMANBM， y（3x）3xx2+x，故 C 选项错误； 当 1x2 时，M 点在 CD 边上，则 SANMANBC， y（3x）3x+，故 D 选项错误； 当 2x3 时，M 在 AD 边上，AM（93x）cm， SANMAMAN， y（93x）（3x）（x3）2，故
19、 B 选项错误； 故选：A 12 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中1x10，1x22，下列结论：4a+2b+c0，2a+b0，b2+8a4ac，a1，其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：由抛物线的开口向下知 a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，得 c0， 对称轴为 x1， a0， 2a+b0， 而
20、抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0， 当 x2 时，y4a+2b+c0， 当 x1 时，a+b+c2 2， 4acb28a， b2+8a4ac， a+b+c2，则 2a+2b+2c4， 4a+2b+c0， ab+c0 由，得到 2a+2c2， 由，得到 2ac4，4a2c8， 上面两个相加得到 6a6， a1 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13（3 分）分解因式：16m3mn2 m（4m+n）（4mn） 【分析】直接提取公因式 m，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：16m3mn2m（16m2n2） m（4m+n）（4mn）
21、故答案为：m（4m+n）（4mn） 14（3 分）已知关于 x 的分式方程+1 的解为负数，则 k 的取值范围是 k且 k0 【分析】先去分母得到整式方程（2k+1）x1，再由整式方程的解为负数得到 2k+10，由整式方程的解不能使分式方程的分母为 0 得到 x1，即 2k+11 且 2k+11，然后求出几个不等式的公共部分得到 k 的取值范围 【解答】解：去分母得 k（x1）+（x+k）（x+1）（x+1）（x1）， 整理得（2k+1）x1， 因为方程+1 的解为负数， 所以 2k+10 且 x1， 即 2k+11 且 2k+11， 解得 k且 k0， 即 k 的取值范围为 k且 k0 故答
22、案为 k且 k0 15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC2，E 为 BC 边上一点，BC3BE，将矩形 ABCD 沿 AE所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线 AC 上的 B处，则 AB 【分析】先根据折叠得出 BEBE，且ABEB90，可知EBC 是直角三角形，由已知的BC3BE 得 EC2BE，得出ACB30，从而得出 AC 与 AB 的关系，求出 AB 的长 【解答】解：由折叠得：BEBE，ABEB90， EBC90， BC3BE， EC2BE2BE， ACB30， 在 RtABC 中，AC2AB， ABAC2， 故答案为： 16（3 分）如图，已知C 的半径为 3，圆外一
23、定点 O 满足 OC5，点 P 为C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OAOB，APB90，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为 4 【分析】先连接 OP，PC，OC，根据 OP+PCOC，OC5，PC3，即可得到当点 O，P，C 三点共线时，OP 最短，根据 OP532，可得 AB2OP4 【解答】解：如图，连接 OP，PC，OC， OP+PCOC，OC5，PC3， 当点 O，P，C 三点共线时，OP 最短， 如图，OAOB，APB90， AB2OP， 当 O，P，C 三点共线时， OC5，CP3， OP532， AB2OP4， 故答案为：4 三、本大题共三、本大题
24、共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 17（6 分）计算：2sin60（3.14）0+|1|+（）1 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简即可得到结果 【解答】解：原式1+1+22 18（6 分）化简求值：（1），其中 x1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值 【解答】解：（1）， x1， 原式 19 （6 分）如图，已知点 B、E、C、F 在同一条直线上，ABDE，AD，ACDF求证：BECF 【分析】欲证 BECF，则证明两三角形全等，已经有两个
25、条件，只要再有一个条件就可以了，而 ACDF 可以得出ACBF，条件找到，全等可证根据全等三角形对应边相等可得 BCEF，都减去一段 EC 即可得证本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识 【解答】证明：ACDF， ACBF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（AAS）； BCEF， BCCEEFCE， 即 BECF 四、本大题共四、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分 20（7 分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为 A）、音乐类（记为
26、 B）、球类（记为 C）、其它类（记为 D）根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）七年级（1）班学生总人数为 48 人，扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为 105 度，请补全条形统计图； （2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类 4 名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画班主任现从 A 类 4 名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率 【分析】（
27、1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为： 1225%48（人），继而可得扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为为 360105；然后求得 C 类的人数，则可补全统计图； （2） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）七年级（1）班学生总人数为：1225%48（人）， 扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为为：360105； 故答案为：48，105； C 类人数：484121418（人），如图： （2）分别用 A，B 表示两名擅长书法的学生，用 C，D
28、 表示两名擅长绘画的学生， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有 8 种情况， 抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为： 21（7 分）某校运动会需购买 A，B 两种奖品，若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件，共需 60 元；若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件，共需 95 元 （1）求 A、B 两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件，购买费用不超过 1150 元，且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品数量的 3 倍，设购买 A 种奖品 m 件，购买费用为
29、 W 元，写出 W（元）与 m（件）之间的函数关系式求出自变量 m 的取值范围，并确定最少费用 W 的值 【分析】（1）设 A 奖品的单价是 x 元，B 奖品的单价是 y 元，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用两种奖品的费用之和表示出 W 与 m 的关系式，并有条件建立不等式组求出 x 的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论 【解答】解（1）设 A 奖品的单价是 x 元，B 奖品的单价是 y 元，由题意，得 ， 解得： 答：A 奖品的单价是 10 元，B 奖品的单价是 15 元； （2）由题意，得 W10m+15（100m）5m+1500 ， 解得：70m75 m 是整数，
30、 m70，71，72，73，74，75 W5m+1500， k50， W 随 m 的增大而减小， m75 时，W最小1125 应买 A 种奖品 75 件，B 种奖品 25 件，才能使总费用最少为 1125 元 五、每小题五、每小题 8 分，共分，共 16 分分 22（8 分）如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A点的仰角 30，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 60，求树高 AB（结果保留根号） 【分析】作 CFAB 于点 F，设 AFx 米，在直角ACF 中利用三角函数用 x 表示
31、出 CF 的长，在直角ABE 中表示出 BE 的长，然后根据 CFBEDE 即可列方程求得 x 的值，进而求得 AB 的长 【解答】解：作 CFAB 于点 F，设 AFx 米， 在 RtACF 中，tanACF， 则 CFx， 在直角ABE 中，ABx+BF4+x（米）， 在直角ABF 中，tanAEB，则 BE（x+4）米 CFBEDE，即x（x+4）3 解得：x， 则 AB+4（米） 答：树高 AB 是米 23（8 分）如图，直线 yx+b 与反比例函数 y的图象相交于 A（1，4），B 两点，延长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一
32、次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 SPACSAOB？若存在请求出点 P 坐标，若不存在请说明理由 【分析】（1）由待定系数法即可得到结论； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）过 A 作 AMx 轴，过 B 作 BNx 轴，由（1）知，b5，k4，得到直线的表达式为：yx+5，反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 ：列 方 程， 求 得B （ 4 ， 1 ） ， 于 是 得 到，由已知条件得到，过 A作 AEy 轴，过 C 作 CDy 轴，设 P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论 【解答】解：（1）将 A（1，
33、4）分别代入 yx+b 和 得：41+b，4，解得：b5，k4； （2）一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围为：x4 或 0 x1， （3）过 A 作 ANx 轴，过 B 作 BMx 轴， 由（1）知，b5，k4， 直线的表达式为：yx+5，反比例函数的表达式为： 由，解得：x4，或 x1， B（4，1）， SAOB（1+4）（41）2， SPAC， ， 过 A 作 AEy 轴，过 C 作 CDy 轴，设 P（0，t）， SPACOPCD+OPAEOP（CD+AE）|t|3， 解得：t3，t3， P（0，3）或 P（0，3） 六、每小题六、每小题 12 分，共分，共 24 分分
34、24（12 分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交O 于点 E、F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证：直线 PA 为O 的切线； （2）求证：ADACAPBC； （3）若 BC6，tanF求O 的直径 AC 的长 【分析】（1）连接 OB，根据垂径定理的知识，得出 OAOB，POAPOB，继而证明PAOPBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论； （2）分析要证明的等式，可以看出是一个比例等式，可想到利用相似三角形来证明，找出相关相似三角形即可解决问题 （3）根据题意
35、可确定 OD 是ABC 的中位线，设 AD3x，然后利用三角函数的知识表示出 FD、OA，在 RtAOD 中，利用勾股定理解出 x 的值，根据勾股定理计算即可 【解答】（1）证明：连接 OB，根据垂径定理的知识，得出 OAOB，POAPOB， PAOPBO， PBOPAO， PB 为O 的切线，B 为切点， PBO90， PAO90， 直线 PA 为O 的切线； （2）证明：AC 为O 的直径， ABC90， ABPO， ODAB， ADOABC， 又ADPO，OAPA， PDAPOAADO， ABCPDA， ， ADACAPBC； （3）解：OAOC，ADBD， ODBC3， 设 AD3x，
36、 tanF， FD4x， 则 OAOF4x3， 在 RtAOD 中，OA2OD2+AD2， 即（4x3）232+（3x）2， 解得：x， FD4x， FOFDOD， AC2FO 25（12 分）如图，抛物线 yax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0）、B（2，0），与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置
37、时，EFK 的面积最大？并求出最大面积 【分析】（1）将 A、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点 D 的坐标； （2）根据抛物线的解析式可求出 C 点的坐标，由于 CD 是定长，若CDH 的周长最小，那么 CH+DH的值最小，由于 EF 垂直平分线段 BC，那么 B、C 关于直线 EF 对称，所以 BD 与 EF 的交点即为所求的H 点；易求得直线 BC 的解析式，关键是求出直线 EF 的解析式；由于 E 是 BC 的中点，根据 B、C 的坐标即可求出 E 点的坐标； 可证CEGCOB， 根据相似三角形所得的比例线段即可求出 CG、 OG 的长，由此
38、可求出 G 点坐标，进而可用待定系数法求出直线 EF 的解析式，由此得解； （3）过 K 作 x 轴的垂线，交直线 EF 于 N；设出 K 点的横坐标，根据抛物线和直线 EF 的解析式，即可表示出 K、N 的纵坐标，也就能得到 KN 的长，以 KN 为底，F、E 横坐标差的绝对值为高，可求出KEF的面积，由此可得到关于KEF 的面积与 K 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的 K 点坐标 【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx+4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0）、B（2，0）， ， 解得，b1 所以抛物线的解析式为，顶点 D 的坐标为（1，） （2
39、）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M， 因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B， 连接 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH+CH 最小， 即最小为：DH+CHDH+HBBD； 而； CDH 的周长最小值为 CD+DH+CH； 设直线 BD 的解析式为 yk1x+b1，则 解得：； 所以直线 BD 的解析式为 yx+3； 由于 BC2，CEBC，RtCEGRtCOB， 得 CE：COCG：CB， 所以 CG2.5，GO1.5，G（0，1.5）； 同理可求得直线 EF 的解析式为 yx+； 联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使CDH 的周长最小的点 H（，）； （3）设 K（t，），4t2、过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N； 则 KNyKyN（t+）； 所以 SEFKSKFN+SKNEKN（t+3）+KN（1t）2KNt23t+5（t+）2+； 即当 t时，EFK 的面积最大，最大面积为，此时 K（，）
