1、2021 年四川省泸州市龙马潭区中考数学二诊试卷年四川省泸州市龙马潭区中考数学二诊试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1下列各数中，比1 小的数是（ ） A2 B0 C1 D2 2如图是一个零件的示意图，它的主视图是（ ） A B C D 32019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规 模空前，这次阅兵编 59 个方（梯）队和联合军乐团，总规模约 15000 人将数据 15000 用科学记数法表 示为（ ） A0.15105 B1.5104 C15105 D1 万 5 千 4下列计算正确的是（ ） A（xy
2、）2x2y2 B2x2+x23x2 C（2x2）38x6 Dx3xx3 5甲、乙两人在相同的条件下，各射靶 10 次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是 8 环，甲的方差 是 1.2，乙的方差是 2.8下列说法中正确的是（ ） A甲的众数与乙的众数相同 B甲的成绩比乙稳定 C乙的成绩比甲稳定 D甲的中位数与乙的中位数相同 6已知ABC 与DEF 相似且对应周长的比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比为（ ） A2：3 B16：81 C9：4 D4：9 7如图是一个隧道的横截面，它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，CMDM2，直线 MO 交圆于 E， EM8，则圆的半径为（ ） A4 B
3、3 C D 8如果关于 x 的一元二次方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 且 k1 Bk2 且 k0 Ck2 Dk2 9“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图已知底面圆的直径 AB 8cm，圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ） A68cm2 B74cm2 C84cm2 D100cm2 10如图，在矩形 OABC 中，已知 A（6，0），C（0，4），动点 P 从点 A 出发，沿 ABCO 的路线 匀速运动， 设动点P的运动时间为t， OAP的面积为S， 则下列能大致反映S
4、与t之间关系的图象是 （ ） A B C D 11如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE3，且ECF45，则 CF 的长为（ ） A2 B3 C D 12已知二次函数 yax2+2ax+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点 M（x1，1），N（x2，1），若 MN 的长不小于 2，则 a 的取值范围是（ ） Aa B0a Ca0 Da 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13分解因式：2a28 14函数 y中，自变量 x 的取值范围是 15 已知m， n是关于x的一元二次方程x22tx+t22t40的两实数根，
5、 则 （m+3）（n+3） 的最小值是 16如图，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆 上一动点，连接 PA，PB，当PAB 的面积最大时，点 P 的坐标为 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 17计算：2cos30（2017）0+|2|+（） 1 18先化简，再求值：（+），其中 x1 19如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是 E、F，并且 DEDF求证： AECF 四、本大题共四、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共
6、分，共 14 分分 20某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图 1 和图 2 是整 理数据后绘制的两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）该校随机抽查了 名学生？请将图 1 补充完整； （2）在图 2 中，“视情况而定”部分所占的圆心角是 度； （3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“马上救助”，现准备从这四人中随机抽取两人进 行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率 21某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40 元， 用 90 元购进甲种玩具的件数与用 1
7、50 元购进乙种玩具的件数相同 （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次 进货的总资金不超过 1000 元，求商场共有几种进货方案？ 五、每小题五、每小题 8 分，共分，共 16 分分 22如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 出发，沿水平方向行走 了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DCBC在点 D 处放置测角仪，测角仪支 架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角AEF 为 27（点 A
8、，B，C，D 在同一平面 内），斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，求建筑物 AB 的高度（精确到个位） （参考数据：sin270.45，cos270.89，tan270.51） 23如图，已知函 y（x0）的图象与一次函数 ykx+b 的图象交于点 A（1，m），B（n，2）两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将一次函数 ykx+b 的图象沿 x 轴负方向平移 a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与 函数 y（x0）的图象只有一个交点 M 时 a 的值及交点 M 的坐标 六、每小题六、每小题 12 分，共分，共 24 分分 24如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，
9、点 C 是O 上一点，AG 交 CD 于点 K，延长 KD 至点 E， 使 KEGE，分别延长 EG、AB 相交于点 F （1）求证：EF 是O 的切线 （2）若 ACEF，求证：KG2KDGE （3）在（2）的条件下，若 sinE，AK2，求 FG 的长 25如图，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A（2，0）和 B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 为直线 BC 下方抛物线上一动点（不与点 B、C 重合），PMBC 于点 M，PDAB 于点 D， 交直线 BC 于点 N，当 P 点的坐标为何值时，PM+PN 的值最大？ （3）点 P 在第
10、四象限的抛物线上移动，以 PC 为边作正方形 CPEF、当抛物线的对称轴经过点 E 时，求 出此时点 P 的坐标 参考答案参考答案 一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列各数中，比1 小的数是（ ） A2 B0 C1 D2 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案 解：A、21，故正确； B、01，故本选项错误； C、11，故本选项错误； D、21，故本选项错误； 故选：A 2如图是一个零件的示意图，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可 解：从几何
11、体的正面看所得到的图形是 故选：A 32019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规 模空前，这次阅兵编 59 个方（梯）队和联合军乐团，总规模约 15000 人将数据 15000 用科学记数法表 示为（ ） A0.15105 B1.5104 C15105 D1 万 5 千 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 1500
12、0 用科学记数法表示为：1.5104 故选：B 4下列计算正确的是（ ） A（xy）2x2y2 B2x2+x23x2 C（2x2）38x6 Dx3xx3 【分析】分别根据完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判 断即可 解：A（xy）2x22xy+y2，故本选项不合题意； B.2x2+x23x2，正确； C（2x2）38x6，故本选项不合题意； Dx3xx2，故本选项不合题意 故选：B 5甲、乙两人在相同的条件下，各射靶 10 次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是 8 环，甲的方差 是 1.2，乙的方差是 2.8下列说法中正确的是（ ） A甲的众数与乙的众
13、数相同 B甲的成绩比乙稳定 C乙的成绩比甲稳定 D甲的中位数与乙的中位数相同 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案 解：甲的方差是 1.2，乙的方差是 2.8， S甲 2S 乙 2， 甲的成绩比乙稳定； 故选：B 6已知ABC 与DEF 相似且对应周长的比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比为（ ） A2：3 B16：81 C9：4 D4：9 【分析】直接根据相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答 解：ABC 与DEF 相似且对应周长的比为 2：3， 两三角形的相似比等于 2：3， SABC：SDEF4：9 故选：D 7如图是一个隧道的横截面，
14、它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，CMDM2，直线 MO 交圆于 E， EM8，则圆的半径为（ ） A4 B3 C D 【分析】因为 M 是O 弦 CD 的中点，根据垂径定理，EMCD，则 CMDM2，在 RtCOM 中，有 OC2CM2+OM2，进而可求得半径 OC 解：连接 OC， M 是O 弦 CD 的中点， 根据垂径定理：EMCD， 设圆的半径是 x 米， 在 RtCOM 中，有 OC2CM2+OM2， 即：x222+（8x）2， 解得：x， 所以圆的半径长是 故选：C 8如果关于 x 的一元二次方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2
15、且 k1 Bk2 且 k0 Ck2 Dk2 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出 k10 且（2）24（k1）10 解：关于 x 的一元二次方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根， k10 且（2）24（k1）10， 解得：k2 且 k1， 故选：A 9“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图已知底面圆的直径 AB 8cm，圆柱体部分的高 BC6cm，圆锥体部分的高 CD3cm，则这个陀螺的表面积是（ ） A68cm2 B74cm2 C84cm2 D100cm2 【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积 解：底面圆的直径为 8cm，高为
16、 3cm， 母线长为 5cm， 其表面积45+42+8684cm2， 故选：C 10如图，在矩形 OABC 中，已知 A（6，0），C（0，4），动点 P 从点 A 出发，沿 ABCO 的路线 匀速运动， 设动点P的运动时间为t， OAP的面积为S， 则下列能大致反映S与t之间关系的图象是 （ ） A B C D 【分析】分两段求解：当 P 在 AB 上运动时；当 P 在 BC 上时；当 P 在 OC 上；分别求出 S 关于 t 的函数关系式即可选出答案 解：设 P 的速度为 a 当 P 在 AB 上运动时，SOAAP， A（6，0）、C（0，4）， OA6，AB4， SOAAP3at； 当
17、P 在 BC 上时， SOAAB12 当 P 在 CO 上 SOAOP3（14at）3at+42 故选：C 11如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE3，且ECF45，则 CF 的长为（ ） A2 B3 C D 【分析】 首先延长 FD 到 G， 使 DGBE， 利用正方形的性质得BCDFCDG90， CBCD； 利用 SAS 定理得BCEDCG，利用全等三角形的性质易得GCFECF，利用勾股定理可得 AE 3，设 AFx，利用 GFEF，解得 x，利用勾股定理可得 CF 解：如图，延长 FD 到 G，使 DGBE； 连接 CG、EF； 四边形 AB
18、CD 为正方形， 在BCE 与DCG 中， ， BCEDCG（SAS）， CGCE，DCGBCE， GCF45， 在GCF 与ECF 中， ， GCFECF（SAS）， GFEF， CE3，CB6， BE3， AE3， 设 AFx，则 DF6x，GF3+（6x）9x， EF， （9x）29+x2， x4， 即 AF4， GF5， DF2， CF2， 故选：A 12已知二次函数 yax2+2ax+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点 M（x1，1），N（x2，1），若 MN 的长不小于 2，则 a 的取值范围是（ ） Aa B0a Ca0 Da 【分析】 由于抛物线所经过的 M、 N 两点的
19、纵坐标为1， 说明抛物线与直线 y1 有两个交点， 则 x1， x2是方程 ax2+2ax+3a21 有两个不相等的根，由根与系数的关系求得|x1x2|便为 MN 的长度，再根 据 MN 的长不小于 2，列出 a 的不等式求得 a 的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求 得 a 的取值范围，便可得出最后结果 解：令 y1，得 yax2+2ax+3a21， 化简得，ax2+2ax+3a10， 二次函数 yax2+2ax+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点 M（x1，1），N（x2，1）， 4a212a2+4a8a2+4a0， 0a， ax2+2ax+3a10， x1+x22，
20、， ， 即 MN， MN 的长不小于 2， 2， a， 0a， 0a， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13分解因式：2a28 2（a+2）（a2） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解：2a28 2（a24）， 2（a+2）（a2） 故答案为：2（a+2）（a2） 14函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x1 且 x1 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 解：根据题意得：x+10 且 x10， 解得：x1 且 x1 故答案为：x1 且
21、x1 15已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x22tx+t22t40 的两实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是 1 【分析】 根据方程的系数结合根与系数的关系可得出 x1+x22t， x1 x 2t 22t4， 将其代入 （m+3） （n+3） mn+3（m+n）+9 中，即可求出结论 解：m，n 是关于 x 的一元二次方程 x22tx+t22t40 的两实数根， x1+x22t，x1x2t22t4， （m+3）（n+3）mn+3（m+n）+9t22t4+6t+9t2+4t+5（t+2）2+1， （m+3）（n+3）的最小值是 1 故答案为：1 16如图，已知直线 yx3 与 x
22、轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆 上一动点，连接 PA，PB，当PAB 的面积最大时，点 P 的坐标为 【分析】过 C 作 CMAB 于 M，交 x 轴于 E，MC 的延长线交C 于 D，作 DNx 轴于 N，当 P 点在 D 这个位置时，PAB 的面积最大，先证得COEAOB，求得 OE、CE，再通过证得COEDNE， 求得 DN 和 NE，由此求得答案 解：过 C 作 CMAB 于 M，交 x 轴于 E，MC 的延长线交C 于 D，作 DNx 轴于 N，则 DM 是圆上到 直线 AB 的最大距离， 直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，
23、B 两点， A（4，0），B（0，3）， OA4，OB3， AB5， CMBCOE90，CEOAEM， OABOCE， COEAOB， ，即， OE，CE， ED1+， DNx 轴， DNOC， COEDNE， ，即， DN，NE， ONNEOE， D（，）， 当PAB 的面积最大时，点 P 的坐标为（，）， 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 17计算：2cos30（2017）0+|2|+（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简 得出答案 解：原式21+23 1+23 2 18先
24、化简，再求值：（+），其中 x1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 解：原式+ ， 当 x1 时，原式 19如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是 E、F，并且 DEDF求证： AECF 【分析】首先根据平行四边形的性质得出AC，进而利用全等三角形的判定和性质得出即可 【解答】证明：DEAB，DFBC， AEDCFD90， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC， 在AED 和CFD 中， ， AEDCFD（AAS）， AECF 四、本大题共四、本大题共 2 个小
25、题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分 20某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图 1 和图 2 是整 理数据后绘制的两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）该校随机抽查了 200 名学生？请将图 1 补充完整； （2）在图 2 中，“视情况而定”部分所占的圆心角是 72 度； （3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“马上救助”，现准备从这四人中随机抽取两人进 行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率 【分析】（1）由 D 共 24 人，占 12%，即可求得答案；继而求得 C 类人数，补全
26、条形统计图； （2）首先求得“视情况而定”的百分比，然后乘以 360，即可求得答案； （3） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两人恰好是甲和乙的情况， 再利用概率公式即可求得答案 解：（1）该校随机抽查了：2412%200（名）； C 累：200161202440（名）； 如图： 故答案为：200； （2）4020036072； 故答案为：72； （3）画树形图得： 共有 12 种等可能的结果，抽取的两人恰好是甲和乙的有 2 种情况， P（抽取的两人恰好是甲和乙） 21某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40 元
27、， 用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相同 （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次 进货的总资金不超过 1000 元，求商场共有几种进货方案？ 【分析】（1）设甲种玩具进价 x 元/件，则乙种玩具进价为（40 x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进 价与一件乙种玩具的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相 同可列方程求解 （2）设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具（48y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件
28、数， 商场决定此次进货的总资金不超过 1000 元，可列出不等式组求解 解：设甲种玩具进价 x 元/件，则乙种玩具进价为（40 x）元/件， x15， 经检验 x15 是原方程的解 40 x25 甲，乙两种玩具分别是 15 元/件，25 元/件； （2）设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具（48y）件， ， 解得 20y24 因为 y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， y 取 20，21，22，23， 共有 4 种方案 五、每小题五、每小题 8 分，共分，共 16 分分 22如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 出发，沿水平方向行走 了 5
29、2 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DCBC在点 D 处放置测角仪，测角仪支 架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角AEF 为 27（点 A，B，C，D 在同一平面 内），斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，求建筑物 AB 的高度（精确到个位） （参考数据：sin270.45，cos270.89，tan270.51） 【分析】 过点 E 作 EMAB 与点 M， 根据斜坡 CD 的坡度 （或坡比） i1： 2.4 可设 DGx， 则 CG2.4x， 利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 CG 与 DG 的长，故可得出 EG 的长
30、由矩形的判定定理得出四 边形 EGBM 是矩形，故可得出 EMBG，BMEG，再由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得 出结论 解：过点 E 作 EMAB 与点 M，延长 ED 交 BC 于 G， 斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，BCCD52 米， 设 DGx，则 CG2.4x 在 RtCDG 中， DG2+CG2DC2，即 x2+（2.4x）2522，解得 x20， DG20 米，CG48 米， EG20+0.820.8 米，BG52+48100 米 EMAB，ABBG，EGBG， 四边形 EGBM 是矩形， EMBG100 米，BMEG20.8 米 在 RtAEM 中，
31、AEM27， AMEMtan271000.5151 米， ABAM+BM51+20.872（米） 答：建筑物 AB 的高度约为 72 米 23如图，已知函 y（x0）的图象与一次函数 ykx+b 的图象交于点 A（1，m），B（n，2）两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将一次函数 ykx+b 的图象沿 x 轴负方向平移 a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与 函数 y（x0）的图象只有一个交点 M 时 a 的值及交点 M 的坐标 【分析】（1）将点 A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得 m、n 的值，然后将其代入 一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；
32、（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得 a 值最后将 a 值代入其中，求得 M 的坐标即可 解：（1）点 A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上， m4，2，解得 n2， 一次函数 ykx+b 的图象交于点 A（1，4），B（2，2）两点 ， 解得， 一次函数的解析式是 y2x+6； （2）一次函数 ykx+b 的图象沿 x 轴负方向平移 a（a0）个单位长度得到新图象的解析式是：y2 （x+a）+6 根据题意得 ， x2+（a3）x+20； 这个新图象与函数 y的图象只有一个交点， （a3）280， 解得 a32； 当 a32时， 解方程 x2+
33、（323）x+20 得 x ， y2， M（，2）； 当 a3+2时， 解方程 x2+（3+23）x+20 得 x ， y2， M（，2） M 点在第一象限，故 x0， x不符合题意，舍去， 综上所述，a32，M（，2） 六、每小题六、每小题 12 分，共分，共 24 分分 24如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，点 C 是O 上一点，AG 交 CD 于点 K，延长 KD 至点 E， 使 KEGE，分别延长 EG、AB 相交于点 F （1）求证：EF 是O 的切线 （2）若 ACEF，求证：KG2KDGE （3）在（2）的条件下，若 sinE，AK2，求 FG 的长 【分析】（1）
34、如图 1，连接 OG根据切线性质及 CDAB，可以推出KGEAKHGKE，根据 等角对等边得到 KEGE； （2）如图 2，根据平行得角相等，证明GKDEKG，列比例式可得结论； （3）如图 3 所示，连接 OG，OC，先求出 KEGE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求 解；然后在 RtOGF 中，解直角三角形即可求得 FG 的长度 解：（1）如图 1，连接 OG EG 为切线， KGE+OGA90， CDAB， AKH+OAG90， 又OAOG， OGAOAG， KGEAKHGKE， KEGE （2）证明：连接 GD，如图 2， ACEF， CE， CAGD， EAGD， GKD
35、GKD， GKDEKG， ， KG2KDEK， 由（1）得：EKGE， KG2KDGE； （3）连接 OG，OC，如图 3 所示， sinEsinACH， 设 AH3t，则 AC5t，CH4t， KEGE，ACEF， CKAC5t， HKCKCHt 在 RtAHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2AK2， 即（3t）2+t2（2）2， 解得 t2 设O 半径为 r，在 RtOCH 中，OCr，OHr3t，CH4t， 由勾股定理得：OH2+CH2OC2， 即（r3t）2+（4t）2r2， 解得 rt， EF 为切线， OGF 为直角三角形， 在 RtOGF 中，OGr，tanOFGtanCAH
36、， FG 25如图，抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A（2，0）和 B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 为直线 BC 下方抛物线上一动点（不与点 B、C 重合），PMBC 于点 M，PDAB 于点 D， 交直线 BC 于点 N，当 P 点的坐标为何值时，PM+PN 的值最大？ （3）点 P 在第四象限的抛物线上移动，以 PC 为边作正方形 CPEF、当抛物线的对称轴经过点 E 时，求 出此时点 P 的坐标 【分析】（1）用待定系数法确定抛物线解析式即可； （2） 求出直线 BC 的解析式为 y 设 P 点坐标为 （n，） ， N 点的坐标
37、为 （n，） ， 则 PN，由锐角三角函数表示 PMPN，则由二次函数的性质可 得解； （3）过点 P 作 PKy 轴于 K，交抛物线的对称轴于 G，证明PEGCPK（AAS），得出 CKPG， 设 P（x，x2x3），抛物线的对称轴为直线 x1，则 G（1，x2x3），K（0，x2x 3），可得出 PG|1x|，CK|x2x3+3|x2x|，解方程即可得解 解：（1）依题意得： ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx3； （2）设直线 BC 的解析式为 ykx+m， ， 解得：， yx3 设 P 点坐标为（n，n3），N 点的坐标为（n，n3）， PNn， PMBC，PDAB， PMNPDB，
38、 PNMBND， MPNOBC， OB4，OC3， BC5， PMPNcosMPNPNcosOBCPN， PM+PNPNn 即当 n2 时，PM+PN 的值最大，此时 P 点坐标为（2，3） （3）过点 P 作 PKy 轴于 K，交抛物线的对称轴于 G，如图， 四边形 PEFC 为正方形， PEPC，EPC90 PGEPKC90， PEGCPK， PEGCPK（AAS）， CKPG， 设 P（x，x2x3），抛物线的对称轴为直线 x1， 则 G（1，x2x3），K（0，x2x3）， PG|1x|，CK|x2x3+3|x2x|， |1x|x2x|， 解方程 1xx2x 得，x1，x22（舍去）； 解方程 x1x2x 得，x1，x24（舍去）； P 点坐标为（，）或（，）
