1、2022年中考数学复习专题3：空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体（以为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1） 先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;（2） 把垂直上移到点，使得点到顶点的距离等于到的距离相等，此时点是几何体外接球球心；（3） 连接，那么,由勾股定理得：.1.例题【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PAAB2，连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO面ABCD，OAOBOCOD，OP，O是球心，球O的半径r，球O的表面积为S4r28故选：
2、C2.巩固提升综合练习【练习1】在三棱锥中.，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.【二】高不过外心高不过心顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥，（1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;（2）把垂直上移到点，使得，此时点是几何体外接球球心；（3）连接，那么,由勾股定理得：.1.例题【例1】（1）长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1
3、=1，则球的表面积为_（2）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）A.B.C.D.（3）已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为（ ）ABCD【答案】（1）8 （2）D （3）A【解析】（1）因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB=2，AD=3，AA1=1，所以4R2=22+32+12=8，球的表面积为4R2=8，故答案8.（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为 外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示在三
4、角形中， 解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D.（3）取中点，连接且 四边形为平行四边形，又 为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足为 四边形为矩形，设，则，解得： 球的体积：本题正确选项：2.巩固提升综合练习【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，所以在中，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。【练习2】四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）A3
5、B2C1D【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OEPA,OE底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，且，则此球的表面积等于（）ABCD【答案】C【解析】如图，由已知可得，底面四边形为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为，连接，则，又，设四棱锥外接球的球心为，则，即四棱锥外接球的半径为此球的表面积等于故选：C常见空间几何体外接球【一】长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径：（为正方体棱长）
6、；3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径：1.例题【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为_【解析】长方体外接球半径：，所以外接球面积：【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【解析】设正方体棱长为，则，.设球的半径为，则由题意知.故球的体积.2.巩固提升综合练习【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是_.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.该几何
7、体的外接球的表面积为.故答案为.【练习2】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B CD【解析】平面截面所得圆面的半径为，直线被球截得的线段为球的截面圆的直径，为【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法汉堡模型1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理 1） 第一步：求底面外接圆的半径：（为角的对边）；2） 第二步：由勾股定理得外接球半径：（为直棱柱侧棱高度）1.例题【例1】直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABBC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都
8、在同一球面上，则该球的表面积为_【解析】ABBC，AB=3，BC=4，所以底面外接圆的半径：，是直三棱柱，所以几何体外接球半径；故该球的表面积为:【例2】直三棱柱的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）A12B16C28D36【解析】由直三棱柱的底面边长为23，得底面外接圆的半径：，又由直三棱柱的侧棱长为23，则，所以外接球半径，外接球的表面积故选：C2.巩固提升综合练习【练习1】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，则此直三棱柱的高是_.【解析】设边长为，则外接圆半径为，因为所以 即直三棱柱的高是.【三】 棱锥的外接图2图1类型一：正棱锥型 （如下图1，以正三棱锥
9、为例，顶点的投影落在的外心上） 1) 求底面外接圆半径：（为角的对边）； 2) 求出，求出棱锥高度;3) 由勾股定理得外接球半径:. 类型二：侧棱垂直底面型 （如上图2） 1）求底面外接圆半径：（为角的对边）； 2）棱锥高度; 3）由勾股定理得外接球半径:.类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径） 题设：,且则外接球半径：类型五：折叠模型1.例题【例1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）A. B. C. D. 【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为 正四
10、棱锥的体积为，解得在中，由勾股定理可得： 即，解得故选【例2】在三棱锥中， ， ， 面，且在三角形中，有，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中， 根据正弦定理可得，即.由正弦定理， ，得三角形的外接圆的半径为.面该三棱锥外接球的表面积为故选A.【例3】已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，则球的表面积为 【解析】，和所在平面相互垂直，球的表面积为故选：【例4】三棱锥的底面是等腰三角形，侧面是等边三角形且与底面垂直，则该三棱锥的外接球表面积为A B C D 【解析】 如图， 在等腰三角形中， 由，得，又，
11、设为三角形外接圆的圆心，则，再设交于，可得，则在等边三角形中， 设其外心为，则过作平面的垂线， 过作平面的垂线， 两垂线相交于，则为该三棱锥的外接球的球心， 则半径该三棱锥的外接球的表面积为故选：【例5】在四面体中，则四面体的外接球的表面积为( )A B C D【答案】B【解析】由，所以， 可得，所以，即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：.故选：B【例6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为，则球的体积为ABCD【解析】如下图所示，设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，由于，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，且的面积为，为的
12、中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱锥的体积为，因此，球的体积为，故选：【例7】在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A7B8CD【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为ABD与CBD均为边长为2的等边三角形所以AHBD，CHBD，则AHC为二面角ABDC的平面角，即AHD120设ABD与CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得OHE60所以
13、OE1，则ROA则三棱锥外接球的表面积 故选：D2.巩固提升综合练习【练习1】已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.【练习2】如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是ABCD【解析】如图，设，又，在中，得：，故选：【练习3】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为
14、三棱锥A-BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD底面ABC，BDC=120根据余弦定理可知：BC2-BD2+DC2-2BDDCcos120=42+22-242-12=28可知BC=27根据正弦定理可知BCD外接圆直径2r=BCsinBDC=27sin120=473r=2213，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD作垂线，则垂足H为AD的中点DH=1，在RtODH中，R2=OD2=22132+1=313外接球的表面积S=4R3=4313=1243 故选D【练习4】已知三棱锥中， 平面，且， .则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【解析】， 是以 为斜边的
15、直角三角形其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以C为底面，以 为高的三棱柱的外接球三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.【练习5】已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是（ ）A. 20 B. 1015 C. 25 D. 22【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OGAF.设OM=x,由题得ME=5,在直角OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=32-22=5,AG=R2-1,GF=x,R2-1+x=5(2)，解（
16、1）（2）得R2=10120,S=4R2=1015.故选B.【练习6】九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 81 B. 33 C. 56 D. 41【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P-ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB平面ABCD 设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为PAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直
17、线的交点由于PAB为钝角三角形，故O1在PAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD的两侧由题意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，设球半径为R，则R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,即OE2+(22)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，R2=(32)2+(22)2=414，S球表=4R2=41选D【练习7】已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B. 2 C. 43 D. 4【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为1+1+1=
18、3，故其表面积为S=4(32)2=3选A【练习8】（2020南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）ABCD3【答案】A【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角，ADS，由题意得BC平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R|OA|，由题意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在RtODE中，OEDE，OA
19、2OE2+AE2，球O的表面积为S4R2故选：A【练习9】四面体中，平面，则该四面体外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示：由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，因为,且,所以,所以,所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C【四】墙角型题设：墙角型（三条线两两垂直） 方法：找到3条两两互相垂直的线段途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体途
20、径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体墙角型外接球半径：（分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）1.例题【例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C D【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B【例2】已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB平面BCD，AB=BD=CD=2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）A3B23C43D12【解析】BD=CD=2且BCD为直角三角形 BDCD又AB平面BCD，C
21、D平面BCD CDABCD平面ABD由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即R=1222+22+22=3球O的表面积：S=4R2=12本题正确选项：D2.巩固提升综合练习【练习1】已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是A B C D【解析】该几何体是把正方体 截去两个四面体 与，其外接球即为正方体 的外接球，由外接球的半径该几何体外接球的表面积是故选：【练习2】在三棱锥一中，、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD【解析】在三棱锥一中，、两两垂直
22、，以、为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为：故选：空间几何内切球 1.例题【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积【答案】，得：，【例2】若三棱锥中，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为【答案】【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，取的中点，连接，则平面，解得内切球的表面积为 故答案为：2.巩固提升综合练习【练习1】一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的
23、外接球半径与内切球半径之比为A B C D 【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为，可得：，解得，几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：故选：【练习2】球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是A B C D 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，此圆柱的全面积与球表面积之比是：故选：球与几何体各棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解1.例题【例1】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切
24、的球，此球的半径为【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即,2.巩固提升综合练习【练习1】把一个皮球放入如图 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）A.cm B. cm C. cm D. cm【解析】课后自我检测1已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，则该球的表面积等于 （ ）ABCD【答案】D【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.2如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，
25、已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1，高为设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点， 所以外接球的半径 所以外接球的体积 故选A3九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A6B6C9D24【答案】B【解析】如
26、图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD底面ABCD为矩形，其中PD底面ABCDAB=1，AD=2，PD=1则该阳马的外接球的直径为PB=1+1+4=6该阳马的外接球的表面积为：4(62)2=6故选：B4如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ADE，BEF，CDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A，若四面体AEDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A5B6C8D11【答案】B【解析】由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF三棱锥的底面AEF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个
27、球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=6球的半径为62，球的表面积为4(62)2=6故选：B5某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（ ）A8B123C12D48【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为22+22+22该三棱柱外接球的半径为：3则球O的表面积是：4(3)2=12故选：C6已知三棱锥O-ABC的底面ABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-ABC的体积为43，
28、则球O的体积为（ ）A323B643C1283D2563【答案】D【解析】由O为球心，OAOBOCR，可得O在底面ABC的射影为ABC的外心，AB6，BC=23，AC=43，可得ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得13OM12ABBC=16OM123=43，解得OM2，R2OM2+AM24+1216，即R4，球O的体积为43R3=4364=2563故选：D7我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱中
29、，因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，又由，所以直三棱柱的外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故选C.8一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A6B12C32D48【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA平面ABC,BC平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.所以四面体外接球的表面积为.故选：B9已知在三棱锥中，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该
30、球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意, ，是直角三角形又平面平面，所以，三棱锥外接球半径等于的外接圆半径,球的表面积为故选D。10已知三棱锥的体积为6，在中，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（ ）ABCD【答案】C【解析】在中，由余弦定理得 是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得取边的中点为，则为外接圆圆心连接，则平面，如下图所示：则则球的表面积本题正确选项：11已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离为由
31、为球直径可知： 则球的半径球的表面积本题正确选项：12在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球体积为ABCD【答案】C【解析】平面平面，平面平面，平面，平面， ，所以，是边长为的等边三角形，由正弦定理得的外接圆的直径为，所以，该球的直径为，则，因此，三棱锥的外接球体积为故选：13已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）ABCD【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以r=R，=， 所以球与圆锥的表面积之比为故选：B14体积为的球与正三棱柱的
32、所有面均相切，则该棱柱的体积为_.【答案】6【解析】设球的半径为R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h2.设底面边长为a，则a1，所以a2.所以V(2)226.15在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD面ABCD，且PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_【答案】(146)【解析】四棱锥PABCD的体积为VPDS正方形ABCD122，如图所示，易证PDAD，PDCD，PAAB，PCBC，所以，四棱锥PABCD的表面积为S221222262，所以，四棱锥PABCD的内切球的半径为R，因此，此球的最大表面积为4R242(146).16九章算术中将底面是直角三角形
33、、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为()A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC3，BC4，可得AB5，由等面积法可得：34(345)r，解得r1.此石材d的高为2r2.故选C.17在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，所以r2.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R3，即R.故球的最大体积VR3.
