专题4.2 与球相关的外接与内切问题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)
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1、一方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过
2、作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时,注意球心到各面的距离相等即球的半径,求球的半径时,可用球心与多面体的各顶点连接,球的半径为分成的小棱锥的高,用体积来求球的半径.二解题策略类型一 构造法(补形法)【例1】已知是球上的点, , , ,则球的表面积等于_【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时,可将三棱锥补成一个长方体,将问题转化为长方体(正方体)来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图,是一个阳马的三视图
3、,则其外接球的体积为()ABCD【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时,可以构造正方体,在正方体中构造三棱锥或四面体,利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为ABCD2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中,则三棱锥外接球的表面积为()ABCD3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(五)】某多面体的三视图如图所示,其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形,侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形,俯视图
4、为一矩形,则该多面体的外接球的表面积为( )ABCD类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( )A B C D【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积,应先求其半径,在棱锥的高上取一点作为外接球的球心,构造直角三角形,利用勾股定理求半径.【举一反三】1、球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,平面SAB平面ABC,则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为,则正四面体ABCD的外接球的体积为_3
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