1、2022年中考数学复习专题27：不等式的性质与线性规划一、不等式的性质【一】不等式的性质 1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc,acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)2.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0. a0bb0,0c. 0axb或axb0b0，m0，则(bm0) ；0)1.例题【例1】若a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa+cbcB（ab）c20CacbcD【解析】a，b，cR，且ab，可得ab0，因为c20，所以（ab）c2
2、0 故选：B【例2】三个正整数，满足条件: ，若，则的最大值是（ ）A12B13C14D15【答案】B【解析】由不等式的性质结合题意有：，即，由于都是正整数，故的最大值是13.故选：B.【例3】下列不等式正确的是（）A若ab，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ab，则D若ac2bc2，则ab【解答】解：Ac0不成立； Bc0时不成立；C取a2，b1不成立； Dac2bc2，可得ab 故选：D 2.巩固提升综合练习【练习1】设ba0，cR，则下列不等式中不一定成立的是（）AabBCDac2bc2【解答】解：因为yx在（0，+）上是增函数，所以ab，因为yc在在（0，+）上是减函数，所以cc，
3、因为0，所以，当c0是，ac2bc2，所以D不成立，故选：D【练习2】对于实数a、b、c，有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ababb2；若cab0，则；若ab，则a0，bb，可得acbc，故为假命题；对于，由ac2bc2，得c0，故c20，所以可得ab，故为真命题；对于，若，则，且，所以，故为真命题；对于，若，则，则，则，故为真命题；对于，若ab，则，故ab0,所以，选A.【练习3】已知a，b，x均为正数，且ab，则_（填“”、“”或“”）【答案】0,x+a0,b-a0,所以 所以.故答案为：【练习4】设0x1，a0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小。解析
4、：方法一：作差比较当a1时，由0x1知，loga(1x)0，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，01x21，loga(1x2)0，从而loga(1x2)0，故|loga(1x)|loga(1x)|。当0a1时，同样可得 |loga(1x)|loga(1x)|。方法二：平方作差|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)logaloga(1x2)loga0。|loga(1x)|2|loga(1x)|2，故|loga(1x)|loga(1x)|。方法三：作商比较|log(
5、1x)(1x)|，0x1，log(1x)(1x)0，故log(1x)(1x)log(1x)1log(1x)1log(1x)。由0x1知，1x1及1，log(1x)0，故1，|loga(1x)|loga(1x)|。 二、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 【一】二元一次不等式组表示的平面区域 1.解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解2.根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表
6、示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案1.例题【例1】不等式组表示的平面区域的面积为_【答案】4【解析】如图阴影部分，可知【例2】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含yx1上的点，只需要可行域的边界点(m，m)在yx1下方，也就是mm1，即m0时，直线z=x+my经过B时，取得最小值-5；当m0时，由平移可知当直线y=-1mx+zm经过点A时，目标函数
7、取得最小值-5，此时满足条件，由x-y+2=05x-y-6=0，解得A2,4，同时A也在直线x+my=-5上，代入可得m=-74；由5x-y-6=0x+y=0，解得B1,-1，同时B也在直线x+my=-5上，代入可得m=6.则实数m取值的集合是-74,6.故选：B. 【练习3】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A B C2或1 D【答案】D【解析】解法一由题中条件画出可行域，可知三交点，则，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要或或，解得或解法二目标函数可化为，令：，平移，则当 或时符合题意，故或【四】简单线性规划问题的实际运用 1.解线性规划应用题3步骤转化设元
8、，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题求解解这个纯数学的线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式1.例题【例1】某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A，B两种饮品.生产1吨A饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B饮品，需1小时，获利1200元.每天B饮品的产量不超过饮品A产量
9、的2倍，每天生产B饮品的时间不低于生产A饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为_元【答案】4400【解析】设每天A,B两种饮品的生产数量分别为x,y，目标函数为z=900x+1200y，则有2x-y0x-y0y+x-40，可行域为三直线三交点为A0,0,B2,2,C43,83组成的三角形，z=900x+1200y变形为y=-34x+z1200，平移直线y=-34x+z1200，当直线y=-34x+z1200经过C43,83，即当x=43,y=83时，直线l:y=-34x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利zmax=43900+831200=4400，故答案为4
10、400.【例2】自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所
11、花的成本最低？【解析】【分析】设每天派出A型卡车辆，则派出B型卡车辆，由题意列出约束条件，作出可行域，求出使目标函数取最小值的整数解，即可得解.【详解】设每天派出A型卡车辆，则派出B型卡车辆，运输队所花成本为元，由题意可知，整理得，目标函数，如图所示，为不等式组表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，最小，解方程组，解得，然而，故点不是最优解.因此在可行域的整点中，点使得取最小值，即，故每天派出A型卡车辆，派出B型卡车辆，运输队所花成本最低.【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意
12、整点的选取，属于中档题.【例3】某运输公司计划装运甲乙两种货物（单位：箱），已知两种货物的体积、重量、可获利润和装载能力限制数据如表所示，甲乙两种货物各装运多少箱可使公司获利最大？最大利润为多少？货物体积/箱重量/箱利润/箱甲2（吨）20（百元）乙5（吨）10（百元）装载能力限制13（吨）【解析】【分析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为，列出约束条件，目标函数，利用线性规划求解即可【详解】解：设甲、乙两种货物应各托运的箱数为，则，目标函数，画出可行域如图：由图可知，当直线平移经过点时，取得最大值，且，答：当托运2箱甲货物1箱乙货物时，可使获利最大，最大利润为50百元【点睛】本题主要考查线性规划
13、在实际问题中的应用，列出约束条件，画出可行域是解题的关键，考查数形结合以及计算能力，属于基础题2.巩固提升综合练习【练习1】现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利_元【答案】设每天安排电脑机和普通机各x，y台，则一天可获利z=128x+106y=96x+60y，线性约束条件为x+y
14、102x+y1512x+10y1000x7，0y5，画出可行域（如图），可知当目标函数经过A（5，5）时，zmax=780故答案为780. 【练习2】某人有一幢楼房，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大客房每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，由题意可得即目标函数为z200x
15、150y，即yx，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示当直线yx平移到经过B点时，z取得最大值，但B并非整点，故要进一步搜索利用B附近的网格，可在B附近找到A(2,9)，C(2,8)，D(3,8)等这几个整点因为斜率为，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知(0,12)，(3,8)为最优整点解所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，都可以获得最大收益二、课后自我检测1已知非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】选项A.由不等式性质可知；是两个正数存在，才有，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若，显然结论不正确
16、，所以本选项是错误的；选项C: ，可以判断的正负性，但是不能判断出的正负性，所以本选项不正确；选项D:若，由，可以得到，若时，由不等式的性质可知：，故由可以推出，故本选项正确，所以本题选D.2若，下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【解析】若，则，错误；，则，错误；，则，错误；，则等价于，成立，正确. 本题正确选项：3设，若，则下列不等式正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】,A项，则b-a0,故B项正确；C项，则,故C项错误；D项，a|b|，即，故D项错误. 故选：B4下列命题中，正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】时，若，则，排除；时，成立，不成立，排
17、除；时，成立，不成立，排除；故选D.5若，则下列选项中正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由 故选D.6若ab，cd，下列不等式正确的是（）ABCD【答案】A【解析】由题意，因为，所以，即，又因为，所以， 故选：A7已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于A，若，则，两边平方得到，故A不正确；对于B，若，则，则，故B不正确；对于C， ，由于为非零数，则，故，即，所以C正确。对于D，若，则，则，故D不正确；故答案选C8设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以选B.9若，且，则，从小到大的排列顺序是_【答案】【解析】， ,， 故答案
18、为10若x，y满足2yxy-1，则y-2x的取值范围是()A(-,12)32，+) B(12,32 C(-,1232,+) D12,32【答案】B【解析】由x，y满足2yxy-1，作可行域，如图所示，联立2y=xx=y-1，解得A(-2,-1)y-2x的几何意义为可行域内的动点与Q(0,2)连线的斜率，动点位于A时，(y-2x)max=-1-2-2=32，直线2y=x的斜率为12，则y-2x的最小值满足(y-2x)min12，所以y-2x的取值范围：(12,32，故选：B11若，满足约束条件，则的取值范围为_【答案】【解析】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率
19、，所以由图像可得或，由解得；由解得；所以，因此的取值范围是.故答案为12若变量，满足，则的取值范围为_【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图示的阴影部分），由题意得，而表示阴影区域内点与定点两点连线的距离的平方，结合图形可得最小，最大，由，解得，由，解得，的最大值为，的最小值为，所求的取值范围为 故答案为：13.设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3 C5或3 D5或3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V字型在顶点处z有最小值，顶点为，则a7，解得a3或a5.当a5时，如图2.图1图2虚线向上移动时z减小，故z
20、，没有最小值，故只有a3满足题意故选B.14.若x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()来源:Zxxk.ComA. B. C1 D2【答案】D【解析】若z3xy的最大值为2，则此时目标函数为y3x2，直线y3x2与3x2y20和xy1分别交于A(2,4)，B，mxy0经过其中一点，所以m2或m，当m时，经检验不符合题意，故m2，选D.15.已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.当a0时，yxz，作直线l0：yx，平移l0，易知当直线y
21、xz与4xy80重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax3；当a0时，数形结合知，目标函数zxay取得最小值的最优解不可能有无数多个综上所述zmax.16.在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为 。【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知r2，解得r2.z1，表示可行域内的点与点P(3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin1.
22、17设变量x，y 满足约束条件x+y4,3x-2y6,y-1,则(x-1)2+y2的取值范围是_【答案】913,17【解析】由约束条件作出可行域，(x-1)2+y2的取值范围就是可行域里面的点与点（1，0）的距离的平方的取值范围，最小值为点（1，0）到直线3x-2y=6的距离的平方等于913，最大值为直线x+y=4与直线y=-1的交点（5，-1）与（1，0）的距离平方等于17.18.已知实数x，y满足条件则z|2x3y4|的最大值为 。【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(2,1)，B(1，4)设t2x3y，平移直线yx，则直线经过点B时，t2x3y取得最小值10
23、，直线经过点A时，t2x3y取得最大值1，所以6t45，所以0z6.所以z的最大值为6.19.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A12万元 B16万元 C17万元 D18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润，由题意可列，其表示如图阴影部分区域，当直线过点时，取得最大值，所以，故选D20.某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生
24、产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为元【答案】216000【解析】设、两种产品分别是件和件，获利为元，由题意，得，作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得，解得：，由图知，经过时，目标函数取得最大值：元21学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容学校规定学生每学期收看选修课不超过140
25、0分钟，研讨时间不得少于1000分钟两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？【解析】试题分析：设选择两套课程分别为次， 为学分，根据两套选修课所得学分可得目标函数，根据学校规定学生每学期收看选修课不超过分钟，研讨时间不得少于分钟及为正数，可得表示约束条件的二元一次不等式组，画出可行域，平移目标函数所表示的直线，结合最优解为整数点，可得最优解，从而可得结果.试题解析：设选择A、B两套课程分别为X、Y次，z为学分，则 目标函数 由方程组解得点A(15,25) , B(25,12.5)由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分
