1、2022届（全国乙卷）高考数学（理）模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足，则( )A.B.C.5D.82.设全集，集合，则集合( )A.B.C.D.3.已知命题p：是周期函数；命题q：若，则关于x的方程有两个不相等的实数根.下列说法正确的是( )A.“”为真命题B.“”为真命题C.“”为真命题D.“”为假命题4.已知定义在R上的奇函数，且当时，则( )A.B.C.-1D.15.在直三棱柱中，M，N分别是，的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.6.为了进一步提高广大市民的生态文明建
2、设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日.现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有( )A.50种B.60种C.70种D.80种7.已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为( )A.B.C.D.8.在区间上任取两个数x，y，则的概率是( )A.B.C.D.9.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，则使成立的n的最大值为( )A.5B.6C.7D.810.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )A.B
3、.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为M，倾斜角为的直线过点，直线上存在一点N满足，则椭圆离心率最小值为( )A.B.C.D.12.已知，且，则下列结论一定正确的是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_.14.已知向量，.若，则_.15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则_.16.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，则球O的表面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生
4、都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.某部门对辖区企业员工进行了一次疫情防控知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分100)数据，统计结果如表所示.得分男性人数15901301001256030女性人数1060701501004020（1）把员工分为对疫情防控知识“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业员工对疫情防控知识的了解程度与性别有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）为增加员工疫情防控知识，现开展一次“疫情
5、防控知识”竞赛.若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每道题的概率都相同，并且相互之间没有影响，若甲连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.18.已知在四棱柱中，AC与BD相交于点F，.（1）求证：平面平面ABCD；（2）若与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.19.已知是等比数列，是等差数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2
6、）设，求数列的前n项和.20.已知函数.（1）若函数在上恒成立，求a的取值范围；（2）若是函数的两个零点，证明：.21.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为(其中O为坐标原点)，不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.（1）求抛物线C的方程；（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐
7、标方程为.（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值.23. 选修45：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求m的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：令复数，则，解得，故选B.2.答案：B解析：因为集合，则.又，所以，故选B.3.答案：B解析：显然命题p为真命题.由，得或，命题q为假命题.“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为真命题4.答案：A解析：解法一：因为为奇函数，所以，由得，所以，故选A.解法二：因为为奇函数，所以，由得，则，即，所以，则函数的周期为2，所以，故选A.5.
8、答案：C解析：如图，取BC的中点E，连接MN，EN，AE.因为M，N分别是，的中点，故且.又因为E为BC的中点，所以，所以四边形MNEB为平行四边形，所以.所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角.设，则，所以，.在中，.6.答案：A解析：携带工具方案有两类：第一类：1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有(种)；第二类：1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有(种)，所以不同的安排方案有(种)，故选A.7.答案：C解析：，即，解得，为最小正值，故选C.8.答案：C解析：由题意可得，点的取值区域是以为顶点的正方形边界及内部，且表示的区域为以坐标原点为圆心，以
9、1和为半径的两圆之同的圆环的一部分，如图所示，由图可知，阴影部分的面积.记“在区间上任取两个数x，y，”为事件A，则，故选C.9.答案：D解析：设等比数列的公比为q，由题意可知当时，；当时，.，n的最大值为8，故选D.10.答案：A解析：易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.11.答案：C解析：由可得，.设，则，所以由，可得，整理得，即，设椭圆的离心率为e，则，解得.又因为，所以，所以椭圆的离心率的最小值为，故选
10、C.12.答案：D解析：令，则，当时，在上单调递增；由得：，即，即，即，D正确；由知：，A错误；，未必正确，B错误；，未必正确，C错误.故选D.13.答案：解析：由题意可得，则，所以双曲线的方程为.14.答案：解析：本题考查平面向量的坐标运算和垂直.由，可知，.15.答案：2或4解析：，.由题知，则由正弦定理得，或，由余弦定理可得或4，或4.16.答案：解析：如图，取AB中点O，连接OD.在中，由，得，则.又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则.在中，则.，平面ACD，得.则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.故答案为.17.答案：（1）表格见解析，有99%的把握认
11、为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关.（2）分布列见解析，数学期望为.解析：（1）补全22列联表如表所示，不太了解比较了解合计男性235315550女性140310450合计3756251000所以，所以有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关.（2）设甲答对每道题的概率为p，则，所以，易知的所有可能取值为3，4，5，所以的分布列为：345P所以.18.答案：（1）证明过程见解析.（2）正弦值为.解析：（1）证明：在四棱柱中，则，又，.又，且平面ABCD，平面ABCD.又，平面ABCD，平面，平面平面ABCD.（2）由（1）可知，平面ABCD，与平面ABCD所成角为，底
12、面ABCD为正方形.以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，.设平面CEF的法向量为，则即令，则.设平面BEF的法向量为，则即令，则，二面角的正弦值为.19.答案：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为d，依题意有，即，解得或（舍去）.，.（2）由（1）得，-，得，.20.答案：（1）取值范围是.（2）证明过程见解析.解析：（1）定义域为，即在上恒成立.令，则.当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，.若函数在上恒成立，则，a的取值范围是.（2）证明，.是的两个零点，故，两式相减得.要证，只需证，即证，即证，证，即成立，即证成立.不妨设，则，故
13、只需证.令，设.，在上单调递增，则，故，即成立，不等式成立.21.答案：（1）.（2）.解析：（1）由题意得，故，解得，故拋物线C的方程为.（2）易得，由题意可设直线PQ的方程为，由，消去x，得，故.因为，所以，即.整理得，即，即，所以，所以或.当，即时，直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；当，即时，直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.设，则由，即，得，即，即轨迹是以MH为直径的圆(除去点).22.答案：（1）圆C的普通方程为：直线l的直角坐标方程为：（2）解析：（1）由方程消去参数得圆C的普通方程为：，由得：，将代入得直线l的直角坐标方程为：.（2）由直线l的直角坐标方程为：，故直线l的倾斜角为120，点P坐标为，所以直线l的标准参数方程为(t为参数)，将直线l的标准参数方程代入圆C的普通方程得，整理得，由，设A，B两点对应的参数分别为，则，且，异号，.23.答案：（1）当时，由，得或或解得或，故不等式的解集是.（2）当时，因此恒成立，即恒成立，整理得.当时，成立，.当时，令，故综上，m的取值范围为.
