1、2022届（全国甲卷）高考数学（理）模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，则( )A.B.C.D.2.为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数
2、约为323.已知（其中i为虚数单位），则复数( )A.B.C.D.4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到的声音的最低声波强度).设的声音强度为，的声音强度为，则是的( )A.倍B.10倍C.倍D.倍5.已知，是双曲线的左、右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率( )A.B.C.D.26.如图所示是某几何体的三视图，则它的表面积等于( )A.B.C.D.7.已知等比数列的前n项和为，且公比，则( )A.B.C.D.8.如图，某景区欲在两山顶A
3、，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，则两山顶A，C之间的距离为( )A.B.C.D.9.已知，则( )A.B.C.D.10.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.B.C.D.11.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.已知定义在R上的函数，若函数为偶数，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数，则函数在点处的
4、切线方程为_.14.已知向量，且，则_.15.已知椭圆离心率的最小值为，其左、右焦点分别为，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则_.16.已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名
5、学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.（1）若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；（2）请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？优秀不优秀合计理科生文科生合计1000附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.在，且；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，_.（1）求数列的通项公式；（2）
6、设，求数列的前n项和.19.如图，在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为矩形，E，F分别在线段，CD上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20.已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.（1）求抛物线C的方程；（2）点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.21.已知函数，其中常数.（1）若在上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：导函数与函数的图象有两个交点.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修44：坐标系与参数
7、方程在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程和l的极坐标方程；（2）设点，直线l与C交于A，B两点.求.23. 选修45：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：因为集合，集合，则，故选B.2.答案：D解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该
8、校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为160.D是错误的.3.答案：B解析：由题意可得，故选B.4.答案：B解析：依题意可知，所以，则，所以.故选B.5.答案：D解析：本题考查余弦定理的应用、双曲线的几何性质.，由双曲线的定义得，所以，即，即，解得（负值舍去），则该双曲线的离心率.故选D.6.答案：A解析：由三视图可得几何体的直观图，如图所示.所以，所以几何体的表面积.7.答案：B解析：由等比数列的性质知，故，可看作是一元二次方程的两根，解得，或，.又，故选B.8.答案：A解析：已知，.在中，由余弦定理得，则.故两山顶A，C之间的距离为.9.答案：A解析：因为，所以，则，即，所以
9、，故选A.10.答案：B解析：本题考查古典概型.因为每次都有5种选择，所以共有（种）抽取方法，3次中恰有2次抽到黄球，有三种情况：第一次和第二次抽到黄球，有（种）抽取方法；第一次和第三次抽到黄球，有（种）抽取方法；第二次和第三次抽到黄球，有（种）抽取方法，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率.11.答案：A解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.12.答案：A解析：因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称.又对任意，都有，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，解得.故选A.13.答案：解析：，
10、函数在点处的切线斜率，所求的切线方程为，即.14.答案：-7解析：，.，解得.15.答案：5解析：依题意，设，则.由椭圆的定义可知，因此，因为是右焦点，所以，因此，整理，得，于是有，故.16.答案：解析：由对恒成立知，得到或，代入并由检验得，的取值为，所以由，得的单调递增区间是.17.答案：（1）理科学生得分的平均值为73分.（2）表格见解析，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.解析：（1）由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，解得，理科学生得分的平均值为(分).（2）理科学生优秀的人数为，补全22列联表如表所示，优秀不优秀合
11、计理科生150450600文科生50350400合计2008001000，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.18.答案：（1）若选，设数列的公差为.由得解得所以.若选，当时，当时，满足，所以.若选，设数列的公差为.因为，即，所以.又，所以，解得，所以.（2）因为，所以，则，两式相减，得，所以，所以.19.答案：（1）见解析（2）解析：（1）过点E作，交AB于点H，连接FH，所以.又因为，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面.因为，EH，平面EFH，所以平面平面.又因为平面EFH，所以平面.（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，
12、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，则，.设平面的法向量为，则可得令，得.设平面的法向量为，则可得令，得.所以.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.答案：（1）方程为.（2）证明过程见解析.解析：（1）由点在抛物线上可得，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或(舍去).故抛物线C的方程为.（2）由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为.易知，均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为，联立，得消去y，得.则，得，所以，.由直线OE的方程为，得.易知直线OB的方程为，故.数形结合可知，要证，即证，即证，即证，即证，则，此等式显然成立，所以.21.答
13、案：（1）取值范围是.（2）证明过程见解析.解析：（1）因为在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，只需使即可.设，则.当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以的最小值为，所以，解得，故实数a的取值范围是.（2）证明：当时，.令，则.令得；令得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取极小值，.因为，所以存在，使得，所以有两个零点，即导函数与函数的图象有两个交点.22.答案：（1）C的直角坐标方程为；l的极坐标方程.（2）.解析：（1）将代入，得曲线C的直角坐标方程为.将(t为参数)消去参数t，得直线l的普通方程为.将代入，得直线l的极坐标方程.（2）设点A，B对应的参数分别为.因为，所以.将(t为参数)代入，得，所以.，所以.23.答案：（1）解集为.（2）取值范围为.解析：（1）由，得或或解得或-或，因此不等式的解集为.（2）恒成立，只需即可，由（1）可知在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即，所以，即a的取值范围为.
