1、小题压轴题专练10双曲线（1）1、 单选题1已知双曲线的左、右焦点分别为，且，三点共线，点在线段上，且，则双曲线的渐近线方程为ABCD解：取的中点，连接，如图所示：由，可知，所以四边形为平行四边形；又为的角平分线，所以四边形为菱形；又，所以为线段的中点；因为，所以为线段的中点，所以；而轴，所以，所以，所以解得，所以；又，所以，解得；所以双曲线的渐近线方程为故选：2过双曲线右焦点的直线与交于，两点，若，则的离心率为AB2CD解：设双曲线的左焦点为，由，可得，可得，可设，可得，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，可得，在中，在中，由，化为，由，可得，由消去，可得，即，则，故选：3已知双曲线，斜率为
2、的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点若直线的斜率为，则的离心率为ABCD解：设，线段的中点，则，两式相减得：设，线段的中点，同理可得易知，三点共线，代入得，即，故选：4已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若双曲线上存在一点使得，则的最小值为ABCD解：双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为，令，解得，可得，即有，由，解得，即有双曲线的方程为，由题意可知若在左支上，由双曲线的定义可得，当且仅当，共线时，取得最小值；若在右支上，由双曲线的定义可得，当且仅当，共线时，取得最小值综上可得，所求最小值为故选：5已知
3、，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）设点，分别为，的内心，则的取值范围是A，B，C，D，解：记边、上的切点分别为、，有、横坐标相等，则，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同样内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角为，则，在中，双曲线的，可得，由于直线为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，可得，即，可得的范围是，故选：6已知直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为ABC2D解：以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，在
4、双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，则离心率，方法2：设双曲线的左焦点为，由图象的对称性得，圆经过点，且，设，则，则，即，则，即离心率，故选：7设，为双曲线的左右焦点，点，为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为ABCD解：如图设在第一象限，内切圆的圆心为，内切圆与，分别切与点，根据圆的切线的性质得：，根据双曲线的定义知：，即，又，联立解得，内心的横坐标为，的重心和内心的连线与轴垂直，的重心的横坐标为，由三角形的重心坐标公式可得，解得，将的坐标代入双曲线可得：，即，化简得，所以离心率故选：8过双曲线左焦点的直线与交于，两点，且，若，则的离心率为A2BC3
5、D解：设，由，可得，设直线的方程为，联立双曲线方程可得，可得，即为，即有，可得，化为，即为，另解：设双曲线的右焦点为，取的中点，连接，可得，设，则，由可得，进而，可得，即有，直角三角形中，可得，则，在直角三角形中，即有，即有故选：9如图，已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且点、分别为，的内心，则的取值范围是A，B，C，D解：记边、上的切点分别为、，易见、横坐标相等，则，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同样内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角设为，则，在中，双曲线的，可得，由于直线为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，可得，即，可得的范围是
6、，故选：10已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足|OQ|OF1|，直线F1Q与该双曲线的左支交于P点，且P恰好为线段F1Q上靠近F1的三等分点，则双曲线C的渐近线方程为（）AyxBy2xCyxDyx解：设|QF1|m，则|PQ|m，|PF1|m，由双曲线的定义知，|QF1|QF2|2a，|PF2|PF1|2a，|QF2|m2a，|PF2|m+2a，又|OQ|OF1|F1F2|，QF1F2为直角三角形，且F1QF290，在RtQF1F2中，有，m2+（m2a）24c2，在RtPQF2中，有，（m）2+（m2a）2（m+2a）2，由化简可得，m4a，将其代入中，得
7、20a24c24（a2+4b2），即b2a，双曲线的渐近线方程为yx2x故选：B2、 多选题11已知点在双曲线上，是双曲线的左、右焦点，若的面积为20，则下列说法正确的有A点到轴的距离为BC为钝角三角形D解：由双曲线方程得，则，由的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，则，由双曲线的定义知，则，则，故正确，在中，则，则为钝角三角形，故正确，则错误，故正确的是，故选：12已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点交轴于点，则下列说法正确的是A与的面积相等B若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为C若，则的渐近线方程为
8、D若，则的离心率，解：对于，由题可知，不妨记，由可得的方程为，与的方程联立可解得，即点，对于，令，可得，即点，所以，所以，故正确；对于，设点的坐标为，则，即，所以到两条渐近线的距离之积为，因为的焦距为4，所以，所以，因为，所以，所以，所以点到两条渐近线的距离之积的最大值为1，故错误；对于，由，得为的中点，则，即点，代入曲线的方程得，即，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故正确；由与，得，所以，得，所以，故错误故选：13已知双曲线与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，的左、右焦点分别为，若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是AB的离心率为C若，则的面积为2D若
9、的面积为，则为钝角三角形解：设点，则，且，两式相减得，所以因为，所以，故双曲线的渐近线方程为因为焦点到渐近线的距离为1，所以，所以，离心率为，故正确，错误对于，不妨设在的右支上，记，则因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为，故不正确对于，设，因为，所以，将代入，得，即由对称性，不妨取的坐标为，则，因为所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确故选：14已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为A恒成立B若，则C面积的最小值为1D对每一个确定的，若，则的面积为定值解：设，代入，得，显然，即，设，则，是方程的两
10、个根，有，设，由，得；由，得；，即和的中点重合，则恒成立，故正确和的中点重合为，又，则，故正确当过点且垂直于轴时，的面积最小值为1，则当无限小时，存在不垂直与轴的直线与双曲线右支交于点，与双曲线渐近线交于点，使得的面积大于1，故错误，得，即，是定值，故正确故选：3、 填空题15 已知双曲线的两焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于，两点，若且为等腰三角形，则双曲线的离心率为或解：当时，设，则，即，得，由，得，得；当时，设，则，得，则，由，得，得故答案为：或16已知，分别为双曲线的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，则双曲线的渐近线方程为解：，分别为双曲线的两个焦点，不妨设双曲线的焦点坐标为、，
11、所以，双曲线上的点到原点的距离为，所以，过作，垂足为，设，把点的坐标代入双曲线方程可得，即，该双曲线的渐近线方程故答案是：17设双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与交于，两点，若是以为底边的等腰三角形，且，则双曲线的离心率是解：由题意知，点在以为圆心，为半径的圆上，当点在左支，点也在左支，即直线交于左支两点时，取的中点，连接，由题可知，且，由双曲线的定义知，又，由勾股定理知，整理得，解得或1（舍；当点在右支，点在左支，即直线交于左、右两支各一个点时，与矛盾，不符合题意综上，离心率故答案为：18已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是或解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，直线的方程为，将其与联立，解得，即，点，到直线的距离为，所围图形面积等于1，即，化简得，点，在双曲线上，即，又，或，离心率或故答案为：或
