1、人教人教2019版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.5.3 4.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 课程目标课程目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题； 2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型； 3.数学运算：解答数学问题,求得结果； 4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答； 5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课
2、本148-150页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限？其中待定系数有哪些限制条件？制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？解决实际问题的基本过程是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1 1. .常常见的数学模型有哪些的数学模型有哪些? ? (1)(1)一次函数一次函数模型模型: :f f( (x x) )= =kx+bkx+b( (k k, ,b b为常数常数, ,k k0);0);
3、(2)反比例函数模型:f(x)= +b(k,b为常数,k0);(3)(3)二次函数模型二次函数模型: :f f( (x x) )=ax=ax2 2+bx+c+bx+c( (a a, ,b b, ,c c为常数常数, ,a a0);0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见. (4)(4)指数函数模型指数函数模型: :f f( (x x) )= =a ab bx x+c+c( (a a, ,b b, ,c c为常数常数, ,a a0,0,bb0,0,且且b b1);1); (5)(5)对数函数模型数函数模型: :f f( (x x) )= =m mlog
4、loga ax+nx+n( (m m, ,n n, ,a a为常数常数, ,m m0,0,aa0,0,且且a a1);1); (6)(6)幂函数模型函数模型: :f f( (x x) )= =axaxn n+b+b( (a a, ,b b, ,n n为常数常数, ,a a0,0,n n1);1); (7)(7)分段函数模型分段函数模型: :这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? (1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相
5、应的数学模型； (3)求模求解数学模型，得出数学模型； (4)还原将数学结论还原为实际问题 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)在一次函数模型中，系数在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性的取值会影响函数的性质质 ( ) (2)在幂函数模型的解析式中，在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的的正负会影响函数的 单调性单调性 ( ) 小试身手小试身手 2某自行车存车处在某一天总共存放车辆某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次，存车费辆次，存车费为：电动自行车为：电动自行车 0.3 元元/辆，普通自行车辆，普通自行车 0.2 元元/辆若
6、该天普辆若该天普通自行车存车通自行车存车 x 辆次，存车费总收入为辆次，存车费总收入为 y 元，则元，则 y 与与 x 的函的函数关系式为数关系式为 ( ) Ay0.2x(0 x4 000) By0.5x(0 x4 000) Cy0.1x1 200(0 x4 000) Dy0.1x1 200(0 x4 000) 答案：C3某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1个分裂成个分裂成2个，个，2个分裂成个分裂成4个个，现有现有2个这个这样的细胞，分裂样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数次后得到细胞的个数y与与x的函数关系是的函数关系是 ( ) Ay2x By2x1 Cy2x Dy2x1 答案：D4 4某
7、物体一天内的温度某物体一天内的温度T T是时间是时间t t的函数的函数T T( (t t) )t t3 33 3t t6060，时，时间单位是间单位是 h h，温度单位为，温度单位为，t t0 0 时表示中午时表示中午 1212：0000，则上午，则上午 8 8：0000 时的温度为时的温度为_. 答案：8 题型一题型一 一次函数与二次函数模型的应用一次函数与二次函数模型的应用 题型分析题型分析 举一反三举一反三 例例1 1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少
8、销售3箱. 求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解:根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50 x55,xN). 因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x55,xN). 因为w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大. 又50
9、x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 解题方法解题方法（一次、二次函数模型的应用） 1.一次函数模型的应用 利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 2.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一 1、商店出售茶壶和茶杯,茶
10、壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法: 买一个茶壶赠一个茶杯; 按总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠? 解:由优惠办法可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN). 由优惠办法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN). y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN), 令y1-y2=0,得x=34. 所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同; 当4x3
11、4时,y134时,y1y2,优惠办法更省钱. 题型二题型二 分段函数模型的应用分段函数模型的应用 例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大? 12解:(1)当05时,产品只能售出500件. 所以, 所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大
12、值,f(x)max=10.781 25(万元). 当x5时,f(x)12-0.255=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. f(x)= 5-122 -(0.5 + 0.25)(0 5), 即 f(x)= -122+ 4.75-0.5(0 5). (2)当 0 5. 解:(1)由题意得G(x)=2.8+x. f(x)=R(x)-G(x)= -0.42+ 3.2-2.8,0 5,8.2-, 5. (2)当x5时,函数f(x)单调递减, f(x)8.2-5=3.2(万元). 当0 x5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当x=4时,f(x)有最大值为3.6万
13、元. 故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元. 题型三题型三 指数或对数函数模型的应用指数或对数函数模型的应用 例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年, 为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1),则 a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得 x=1-12110.(2)设经过 m年剩余面积为原来
14、的22,则 a(1-x)m=22a,即12 10 1212, 10 12,解得 m=5,故到今年为止,已砍伐了 5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐 n年,则 n年后剩余面积为22a(1-x)n.令22a(1-x)n14a,即(1-x)n24,12 101232, 1032,解得n15.故今后最多还能砍伐15年. 解题方法解题方法（指数或对数函数模型注意事项） 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N (1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式. 2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型.
15、 跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3 成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v关于Q的函数解析式; (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数; (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 100解:(1)设 v=k log3 100, 当 Q=900 时,v=1,1=k log3900100,k=12. 故 v 关于 Q 的函数解析式为 v=12log3 100. (2)令 v=1.5,则 1.5=12log3 100,解得 Q=2 700. 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位. (3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2, 由题意知 v2-v1=1,即12log3 210012log3 1100=1. 12log3 2 1=1, 2 1=9,即 Q2=9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
