1、1 第第 3 课时课时 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点) 2区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异(易混点) 3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点) 借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、 数学建模的素养. 三种函数模型的性质 yax(a1) ylogax(a1) ykx(k0) 在(0，)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随 x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度越来越快，
2、会远远大于 ykx(k0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢； 存在一个 x0，当 xx0时，有 axkxlogax 1已知变量 y12x，当 x 减少 1 个单位时，y 的变化情况是( ) Ay 减少 1 个单位 By 增加 1 个单位 Cy 减少 2 个单位 Dy 增加 2 个单位 C 结合函数 y12x 的变化特征可知 C 正确 2下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( ) Ayex Byln x Cy2x Dyex A 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确 2 3某工厂 8 年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图所示 以下
3、四种说法： 前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变 其中说法正确的序号是_ 结合图象可知正确，故填. 几类函数模型的增长差异 【例 1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) Ay2 019x By2019 Cylog2 019x Dy2 019x (2)下面对函数 f(x)log12x，g(x)12x与 h(x)2x 在区间(0，)上的递减情况说法正确的是( ) Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
4、Cf(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 (1)A (2)C (1)指数函数 yax，在 a1 时呈爆炸式增长，并且随 a 值的增大，增长速度越快，应选 A. (2)观察函数 f(x)log12x，g(x)12x与 h(x)2x 在区间(0，)上的图象(如图)可知： 3 函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数 g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数 h(x)的图象递减速度不变
5、 常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型 线性函数模型 ykxbk0的增长特点是直线上升，其增长速度不变. 2指数函数模型 指数函数模型 yaxa1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. 3对数函数模型 对数函数模型 ylogaxa1的增长特点是随着自变量的增大， 函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 1四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05106 3.361
6、07 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指数函数变化的变量是_ y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化故填 y2. 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 【例 2】 函数 f(x)2x和 g(x)2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
7、且 x1x2. (1)请指出图中曲线 C1，C2分别对应的函数； 4 (2)结合函数图象，判断 f32与 g32，f(2 019)与 g(2 019)的大小 解 (1)C1对应的函数为 g(x)2x，C2对应的函数为 f(x)2x. (2)f(1)g(1)，f(2)g(2) 从图象上可以看出，当 1x2 时，f(x)g(x)， f32g32； 当 x2 时，f(x)g(x)， f(2 019)g(2 019) 由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数. 2函数 f(x)lg x，
8、g(x)0.3x1 的图象如图所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较) 解 (1)C1对应的函数为 g(x)0.3x1，C2对应的函数为 f(x)lg x. (2)当 xf(x)；当 x1xg(x)；当 xx2时，g(x)f(x)；当 xx1或 xx2时，f(x)g(x) 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线 ykxb(k0)、指数函数 yax(a1)、对数函数 ylogbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其
9、增长量固定不变. 5 1思考辨析 (1)函数 y2x 比 y2x增长的速度更快些( ) (2)当 a1，n0 时，在区间(0，)上，对任意的 x，总有 logaxkxax成立( ) (3)函数 ylog12x 衰减的速度越来越慢( ) 答案 (1) (2) (3) 2下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( ) Ay1 Byx Cy3x Dylog3x C 结合函数 y1，yx，y3x及 ylog3x 的图象可知(图略)，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y3x. 3某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案甲：y0.2x，乙：ylog2x100，丙：y1.005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择_方案 乙、甲、丙 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较 y 值的大小即可求出 4 画出函数 f(x) x与函数 g(x)14x22 的图象， 并比较两者在0， )上的大小关系 解 函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示 根据图象易得：当 0 xg(x)； 当 x4 时，f(x)g(x)； 当 x4 时，f(x)g(x)
