1、1 1.1 集合的概念集合的概念 第第 1 课时课时 集合的含义集合的含义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过实例了解集合的含义(难点) 2掌握集合中元素的三个特性(重点) 3体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用(重点、易混点) 1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养 2 借助集合中元素的互异性的应用， 培养逻辑推理素养. 1元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，表示 (2)集合： 一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)， 常用大写拉丁字母 A， B， C， 表示 (3)集合相等：指构成两个集合的元素
2、是一样的 (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性 思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？ 提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准 (2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定 2元素与集合的关系 (1)属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA. (2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA. 3常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或
3、 N Z Q R 1下列给出的对象中，能构成集合的是( ) A一切很大的数 2 B好心人 C漂亮的小女孩 D清华大学 2019 年入学的全体学生 D “很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项 A、B、C 中的元素均不能构成集合，故选 D. 2用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A1 B2 C3 D4 C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素 3用“”或“”填空： 12_N；3_Z； 2_Q；0_N*； 5_R. 答案 4已知集合 M 有两个元素 3 和 a1，且 4M，则实数 a_. 3 由题意可知 a14，即 a3. 集合的基本概念 【例
4、1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( ) 中国各地最美的乡村； 直角坐标系中横、纵坐标相等的点； 不小于 3 的自然数； 2018 年第 23 届冬季奥运会金牌获得者 A B C D B 中“最美”标准不明确， 不符合确定性， 中的元素标准明确， 均可构成集合，故选 B. 判断一组对象能否组成集合的标准 3 判断一组对象能否组成集合， 关键看该组对象是否满足确定性， 如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1判断下列说法是否正确，并说明理由 (1)大于 3 小于 5 的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些
5、点组成一个集合； (3)方程(x1)2(x2)0 所有解组成的集合有 3 个元素 解 (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合 (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合 (3)不正确，方程的解只有 1 和2，集合中有 2 个元素 元素与集合的关系 【例 2】 (1)下列所给关系正确的个数是( ) R； 2Q；0N*；|5|N*. A1 B2 C3 D4 (2)已知集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 aA，有 6aA，那么 a 为( ) A2 B2 或 4 C4 D0 (1)B (2)B (1) 是实数，所以 R 正确； 2是无理数，所以 2Q 正确；0 不
6、是正整数，所以 0N*错误；|5|5 为正整数，所以|5|N*错误故选 B. (2)集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 aA，有 6aA，a2A,6a4A， 所以 a2， 或者 a4A,6a2A， 所以 a4， 综上所述，a2 或 4.故选 B. 判断元素与集合关系的 2 种方法 1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. 4 2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2集合 A 中的元素 x 满足63xN，xN，则集合 A 中的元素为_ 0,1,2 63xN，
7、 3x1 或 2 或 3 或 6， 即 x2 或 1 或 0 或3. 又 xN，故 x0 或 1 或 2. 即集合 A 中的元素为 0,1,2. 集合中元素的特性及应用 探究问题 1若集合 A 中含有两个元素 a，b，则 a，b 满足什么关系？ 提示：ab. 2若 1A，则元素 1 与集合 A 中的元素 a，b 存在怎样的关系？ 提示：a1 或 b1. 【例 3】 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若 aA，求实数 a 的值 思路点拨 A中含有元素：1和a2 aAa1或a2a 求a的值检验集合中元素的互异性 解 由题意可知，a1 或 a2a， (1)若 a1，则 a21，这与 a21
8、相矛盾，故 a1. (2)若 a2a，则 a0 或 a1(舍去)，又当 a0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意 综上可知，实数 a 的值为 0. 1(变条件)本例若去掉条件“aA”，其他条件不变，求实数 a 的取值范围 解 由集合中元素的互异性可知 a21，即 a 1. 5 2(变条件)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1A，求实数 a 的值 解 若 1A，则 a1 或 a21，即 a 1. 当 a1 时，集合 A 有重复元素， 所以 a1； 当 a1 时，集合 A 含有两个元素 1，1，符合集合中元素的互异性，所以 a1. 1解决含有字母的问题，常
9、用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准 2 本题在解方程求得 a 的值后， 常因忘记验证集合中元素的互异性， 而造成过程性失分 提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形 1判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合 2集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求 3解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识 1思考辨析 (1)接近于 0 的数可以组成集合( ) (2)分别由元素 0,1,2 和 2,0,1 组成的两个集合是相
10、等的( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素( ) 答案 (1) (2) (3) 2已知集合 A 由 x1 的数构成，则有( ) A3A B1A C0A D1A C 01，0 是集合 A 中的元素，故 0A. 3下列各组对象不能构成一个集合的是( ) A不超过 20 的非负实数 6 B方程 x290 在实数范围内的解 C. 3的近似值的全体 D某校身高超过 170 厘米的同学的全体 C A 项， 不超过 20 的非负实数， 元素具有确定性、 互异性、 无序性， 能构成一个集合 B项， 方程 x290 在实数范围内的解， 元素具有确定性、 互异性、 无序性， 能构成一个集合 C项， 3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合D 项，某校身高超过 170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合故选 C. 4已知集合 A 含有两个元素 a3 和 2a1，若3A，试求实数 a 的值 解 3A，3a3 或32a1， 若3a3， 则 a0， 此时集合 A 中含有两个元素3，1，符合题意； 若32a1，则 a1， 此时集合 A 中含有两个元素4，3，符合题意 综上所述，a0 或 a1.
