1、1.51.5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.5.11.5.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.5.21.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定 本课是高中数学第一章第 5 节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.通过生活和数
2、学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词 B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义， 并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性 C.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。 D. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力 1.数学抽象：全称量词与存在量词的含义； 2.逻辑推理： 全称量词命题和存在量词命题的真假； 3.直观想象： 全称量词命题和存在量词命题的否定。 1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定； 2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。 多媒体 教学过
3、程 落实核心素养目标 一、情景引入，温故知新 情景 1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如 77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确， 并且认为： 每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想200 多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数， 都能表示成一个质数加上两个质数相乘， 或者表示成一个质数加上一个质数从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没
4、有被推翻的命题要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例 情景 2：我们学校为了迎接 10 月 28 号的秋季田径运动会,正在排练由 1000 名学生参加的开幕式团体操表演.这 1000 名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高二年级； （2）至少有 30 名学生来自高二.一班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词. 二、探索新知 通过实例，让学生感知、了解全称量词、存在量词。让学生了解量词对实际生活和数学的作用，提高学生用数学的思维方式思考并解决问题的能力
5、。 通过思考，理解全称量词、全称量词命题的含义，教会学探究一 全称量词命题的含义 1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x3 (2)2x+1 是整数 (3)对所有的 xR,x3 (4)对任意一个 xZ,2x+1 是整数 【答案】（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x 进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量 x 进行限定. 2、归纳新知 （1）全称量词及表示: 定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称
6、量词。 表示：用符号“”表示。 （2）全称量词命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示：全称命题“对 M 中任意一个 x，有含变量 x 的语句 p(x）成立”表示为: xM,p(x)xM,p(x)。 读作:“对任意 x 属于，有 p(x)成立”。 例如:命题(1)对任意的 nZ,2n+1 是奇数; (2)所有的正方形都是矩形。都是存在量词命题。 3.练习：用量词“ ”表达下列命题: (1)实数都能写成小数形式; (2)凸多边形的外角和等于 2； （3）任一个实数乘以-1 都等于它的相反数。 【解析】（1）,xR x 能写成小数形式; （2）x x|x 是凸 n 边形,x
7、的外角和等于2; (3),xR x(-1)= -x. 例 1.判断下列全称量词命题的真假 生解决和研究问题。 通过练习进一步巩固全称量词的含义，提高学生解决问题的能力。 通过例题进一步巩固全称量词命题的含义，学会判断全称量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。 通过思考，总结方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。 通过思考，理解存在量词、存在量词命题的含义，教会学生解决和研究问题。 (1) 所有的素数都是奇数; (2) xR , |x|+11 (3) 对每一个无理数 x,x2也是无理数 【解析】（1）2 是素数,但不是奇数,全称命题(1)是假命题; (2)xR ,|x|0,从而|x|+11,
8、全称命题(2)是真命题; （3） 2是无理数,但222是有理数， ,全称命题(3)是假命题; 4、思考：如何判断全称量词命题的真假？ 【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x=x0 ,使得 P(x)不成立即可。 探究二 存在量词命题的含义 1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x 能被 2 和 3 整除; (3)存在一个 xR,使 2x+1=3; (4)至少有一个 xZ,x 能被 2 和 3 整除. 【解析】(
9、1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量 x 的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量 x 的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 2.存在量词命题的定义 （1）存在量词及表示: 定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示：用符号“”表示。 （2）存在量词命题及表示： 定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示：存在量词命题“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立”可用符号简记为xM,p
10、(x). 读作:“存在一个 x 属于 M,使 p(x)成立”. 3.练习：下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数 通过练习进一步巩固存在量词命题的含义，提高学生解决问题的能力。 通过例题，使学生学会区别全称量词命题及存在量词命题，提高学生的抽象概括能力。 通过例题进一步巩固存在量词命题的含义，学会判断存在量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。 通过思考，总结判断命题真假的方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。 介绍新定义，为进一步讲解全称量词命题和存在量词命题的否定打基础。 【答案】都是存在量词命题。 4.练习： 设 q(x):x2=x,使用不
11、同的表达方法写出存在量词命题“xR,q(x)” 【解析】存在实数 x,使 x2=x 成立； 至少有一个 xR,使 x2=x 成立； 对有些实数 x,使 x2=x 成立； 有一个 xR,使 x2=x 成立； 对某个 xR,使 x2=x 成立。 例 2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。 (1) 有一个实数 a，a 不能取倒数； (2) 所有不等式的解集 A,都是 AR； (3) 有的四边形不是平行四边形。 【解析】（1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题 例 3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数 x,使 x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直
12、于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 【解析】(1)由于 224 380 ， , 因此使 x2+2x+3=0 的实数 x 不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。 （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 5.思考：如何判断存在量词命题的真假 【答案】要判断存在量词命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0， 使 p(x0)成立即可.如果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素
13、x 不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 牛刀小试：说出下列命题的否定。 （1） 56 是 7 的倍数； 通过思考，总结写全称量词命题否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 通过例题进一步理解怎么写全称量词命题的否定。 通过思考，总结写存在量词命题的否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 （2） 空集是集合 A=1,2,3的真子集； 【解
14、析】（1）否定： 56 不是 7 的倍数；（2）否定： 空集不是集合 A=1,2,3的真子集。 2.思考： 1)写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； 3),0 xR x+|x| 。 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 【解析】(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数表示奇数； (3),0 xR |x|+x 。 从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。 【结论】含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。 例4 写出下列全称量词命题的否定：(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p:每一个四
15、边形的四个顶点在同一个圆上 2(3）p:对任意xZ，x的个位数字不等于3。 【解析】（1）否定： 存在一个能被 3 整除的整数不是奇数. （2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上； （3）否定：200,xZ x的个位数字等于 3. 3.思考：(1)写出下列命题的否定存在一个实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； 2(3),230 xR xx 。 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 【答案】否定: （1）所有实数的绝对值都不是正数; （2）每一个平行四边形都不是菱形; （3）2,230 xR xx - 从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
16、通过例题进一步巩固怎么写全称量词命题的否定，提高学生解决问题的能力。 【结论】存在量词命题的否定是全称量词命题。 0 x 例5 写出下列存在量词命题的否定：(1）p:R,x+2； 2）p:有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数. 【解析】(1):R20.xx 该命题否定， （2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形 （3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数 例 6 写出下列命题的否定，并判断真假； （1）任意两个等边三角形都相似； 22,10 xR xx （ ） 【解析】（1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例， 所以任意两
17、个等边三角形都 相似。因此这是一个假命题。 （2）该命题的否定：2,10.xR xx 2213,1()024xR xxx 因为对任意. 所以这是一个假命题。 三、达标检测 1下列说法中，正确的个数是( ) 存在一个实数 x0，使2x20 x040； 所有的素数都是奇数； 至少存在一个正整数，能被 5 和 7 整除 A0 B1 C2 D3 【解析】 方程2x2x40 无实根；2 是素数，但不是奇数；正确故选 B. 【答案】 B 2设命题 p：nN，n22n，则命题 p 的否定为( ) AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 【解析】 因为“xM，p(x)”的否定是
18、“xM， p(x)”， 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 本节课是在初中所讲命题的基础上讲解，学生对命题的了解较少。学生对命题的否定的学习有较大的困难，学生会简单地认为，命题的否定就是否定结论。应给学生强调全称量词命题、存在量词命题的否定，要先变量词，然后结论否定。 所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”故选 C. 【答案】 C 3判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定 (1)有一个奇数不能被 3 整除； (2)xZ，x2与 3 的和不等于 0； (3)有些三角形的三个内角都为 60 ； (4
19、)每个三角形至少有两个锐角； (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 【解】 (1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除 (2)是全称量词命题，否定为：x0Z，x20与 3 的和等于 0. (3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60. (4)是全称量词命题， 否定为： 存在一个三角形至多有一个锐角 (5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线 四、小结 1、（1）全称量词、全称量词命题； （2）存在量词、存在量词命题。 2、 全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题。 五、作业 习题 1.5 3，4 题 通过总结，让学生进一步巩固全称量词、全称量词命题、 存在量词、存在量词命题的概念，命题的否定，提高语言转换和抽象概括能力。
