1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念对数的概念 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.3.1 节对数的概念 。 从内容上看它是学生了指数幂运算的基础上， 通过实际问题的提出， 从而建立对数的概念。其研究和学习过程，与先前学习加法与减法、乘法与除法类似。由指数运算进而提出对数运算，本节为后续的对数函数奠定基础。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化； 2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。 3
2、、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。 a.数学抽象：对数的概念； b.逻辑推理：指数式与对数式的转化； c.数学运算：对数的运算； d.直观想象：指数与对数的关系； e.数学建模：在实际问题中建立对数概念； 教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化 教学难点：由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生 接受，因此，对对数符号的认识会形成教学中的难点。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一） 、创设创设问题情境问题情境 问题提出：在 4.2.1 的问题 1 中，通过指数幂运算，我们能从 y1.11x中求出经过 4 年后地
3、景区的游客人次为 2001 年的倍数 y反之，如果要求经过多少年游客人次是 2001 年的 2 倍，3 倍，4 倍，那么该如何解决？ 上述问题实际上就是从 2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ， 中分别求出 x，即已知底数和幂的值，求指数这是本节要学习的对数 对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550 年1617 年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于 1614 年在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成就。 （二） 、探索新知（二） 、探索新知 1对数 (
4、1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数 a 的范围是_. 2常用对数与自然对数 3对数的基本性质 (1)负数和零没有对数 (2)loga 10(a0， 且 a1) (3)logaa1(a0， 且 a1) 思考：为什么零和负数没有对数？ 提示 由对数的定义：axN(a0 且 a1)，则总有 N0，所以转化为对数式 xlogaN 时， 不存在 N0 的情况 1思考辨析 (1)logaN 是 loga与 N 的乘积( ) (2)(2)38 可化为 log(2)(8)3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数( ) 答案 (1) (2) (3) 2若 a2M(a0 且 a1)，则有( ) A
5、log2Ma BlogaM2 开门见山， 通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。 通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养； Clog22M Dlog2aM B a2M，logaM2，故选 B. （三）典例解析（三）典例解析 例 1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式： (1) 54625; (2)271128； (3) ( 12)m5.73 (4)log12325；(5)lg 1 0003； (6)ln 102.303 解 (1) 由 54625，
6、可得 log56254. (2)由 271128，可得 log211287. (3) 由( 12)m5.73 ，可得 log12 5.73m， (4)由 log12 325，可得12532. (5)由 lg 1 0003，可得 1031 000. (6)由 ln 102.303，可得 e2.30310. 规律方法 指数式与对数式互化的方法 将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式； 1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3219； (2)14216；(3)log1327
7、3; (4)logx646. 解 (1)log3192；(2)log14 162； (3)13327；(4)( x)664. 例 2 求下列各式中的 x 的值： (1)log64x23； (2)logx 86； (3)lg 100 x; (4)ln e2x. 解 (1)x(64)23(43)2342116. (2)x68，所以 x(x6)16816(23) 16212 2. (3)10 x100102，于是 x2. (4)由ln e2x，得xln e2，即 exe2， 所以 x2. 规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式， 通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对
8、数式的转化。深化对对数概念的理解。 通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性再利用指数幂的运算性质求解。 探究问题 1你能推出对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1，N 0)吗？ 提示：因为 axN，所以 xlogaN，代入 axN 可得 alogaNN. 2如何解方程 log4(log3x)0? 提示：借助对数的性质求解，由 log4(log3x)log41，得 log3x1，x3. 例 3 设 5log5(2x1)25，则 x 的值等于( ) A10 B13 C100 D 100 (2)若 log3(lg x)0，则 x 的值等于_. 思路探究：(1)利用对数恒等式 alo
9、gaNN 求解； (2)利用 logaa1，loga10 求解 (1)B (2)10 (1)由 5log5(2x1)25 得 2x125，所以 x13，故选 B. (2)由 log3(lg x)0 得 lg x1，x10. 归纳总结:1.利用对数性质求解的 2 类问题的解法 （1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求 logalogbc的值，先求 logbc 的值， 再求 logalogbc的值. （2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.性质 alogaNN 与 logaabb 的作用 （1）alogaNN 的作用在于能把任意一个正实数转化为以
10、a,为底的指数形式. （2）logaabb 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数 质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养； 三、当堂达标 1在 blog3(m1)中，实数 m 的取值范围是( ) AR B(0，) C(，1) D(1，) 【答案】D 由 m10 得 m1，故选 D. 2下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A1001 与 lg 10 B271313与 log271313 Clog392 与 9123 Dlog551 与 515 【答案】C C 不正确，由 log392 可得 329. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算
11、、逻辑推理的核心素养。 3若 log2(logx9)1，则 x_. 【答案】3 由 log2(logx9)1 可知 logx92，即 x29，x3(x3 舍去) 4 log333log32_. 【答案】3 log333log32123. 5求下列各式中的 x 值： (1)logx2732； (2)log2 x23； (3)xlog2719； (4)xlog1216. 【答案】(1)由 logx2732，可得 x3227， x2723(33)23329. (2)由 log2x23，可得 x223，x1223314322. (3)由 xlog2719，可得 27x19，33x32，x23. (4)由 xlog1216，可得12x16，2x24，x4. 四、小结 1、对数的概念，指数式与对数式的转化； 2、对数的性质及运用； 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
