1、滨海新区滨海新区 2020-2021 学年度第一学期期末质量检测高二数学试题学年度第一学期期末质量检测高二数学试题 第 I 卷 选择题 （60 分） 一一. 选择题选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320 xy的倾斜角为（ ） （A）30 （B）60 （C）120 （D）150 （2）经过 0,2A， 10B, ,两点的直线的方向向量为 1k，则k的值是（ ） （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 （3）抛物线22xy 的焦点坐标为（ ） （A） 1,0 （B） 0,1 （C）1,02 （D）10,2 （
2、4）等差数列 na的前n项和为nS，已知58a ，36S ，则107SS 的值是（ ） （A）24 （B）48 （C）60 （D）72 （5）已知等比数列 na中，17a ，435aa a ，则7a （ ） （A）19 （B）17 （C）13 （D）7 （6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款 1200 元.他们第一天只得到 10 元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多 10 元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A）15 天 （B）16 天 （C）17 天 （D）18 天 （7）圆Cxy221:9与圆222:(1)(2)36
3、Cxy的位置关系是（ ） （A）相交 （B）相离 （C）内切 （D）内含 （8）已知A为抛物线2:2(0)Cypx p上一点，点A到C的焦点的距离为15，到y轴的距离为12，则p的值为（ ） （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （9）已知等差数列na的前n项和为nS，110,a 公差3.5,d nS取得最大值时n的值为（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （10）如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,则OGuuu r等于（ ） （A）111333OAOBOCuu u ruuu ruuu r （B）111234OAOBOCuu u ruuu ruuu r （C
4、）111244OAOBOCuu u ruuu ruuu r （D）111446OAOBOCuu u ruuu ruuu r （11） 已知2222:02xyC xy e， 直线:220lxy，M为直线l上的动点， 过点M作Ce的切线,MA MB，切点为,A B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ） （A）210 xy （B）210 xy （C）210 xy （D）2 +10 xy （12）已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，且2122bF Fa ，点P为双曲线右支一点，I为PF F12 的内心，若1212IPFIPFIF FSSS 成立，
5、给出下列结论： 当2PFx 轴时，1230PF F 离心率152e 512 点I的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 第 II 卷 （90 分） 二. 填空题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. （13） 已知直线l与平面 平行， 直线l的一个方向向量为 1,3,uz r， 向量 4, 2,1v r与平面 垂直，则z . （14）若直线3x 与圆2220 xyxa相切，则a . （15）已知数列 na满足11a ，111+)nnanNa ( (，则4a . （16）已知方程22121xymm表示双曲线，则实数m的取值范围为_. （17）在棱长
6、为1的正方体1111ABCDA B C D 中，求点B到直线1AC的距离为_. （18）已知抛物线2:2(0)Cypx p的焦点为F，并且经过点(2, 2 2)M ，经过焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C交于,A B两点，则p= ，线段AB的长为 . （19） 已知数列 na为等比数列，132a ， 公比12q ， 若nT是数列 na的前n项积， 则当n 时，nT有最大值为 . （20）已知椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点( ,0)F c，点P在椭圆C上，线段PF与圆22239cbxy相切于点Q，且2PQQF uuu ruuu r，则椭圆C的离心率为 . 三. 解答题：本大题共 4
7、 小题，共 50 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21） （本小题满分 12 分） 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点 3 0A , ,， 1,2B （）求圆C的标准方程； （）过点 0,2P斜率为34的直线l与圆C相交于,M N两点，求弦MN的长 （22） （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD 中，PD 底面ABCD， 底面ABCD是边长为2的正方形，PDDC ，F，G分别是PB，AD的中点 （）求证：GF 平面PCB； （）求平面PAB与平面PCB的夹角的大小； （III）在线段AP上是否存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30 ？若存在，求出M点坐标，
8、若不存在，请说明理由 （23）（本小题满分 13 分） 已知等差数列na的前n项和为nS，且4224,21,nnSS aanN . ()求数列na的通项公式； ()若13nnb ，令11=nnnnncabaa ，求数列nc的前n项和nT. （24）（本小题满分 13 分） 如图， 在平面直角坐标系xoy中， 已知椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率1,2e 左顶点为( 2,0)A ，过点A作斜率为(0)k k 的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E. （）求椭圆C的方程； （） 已知P为AD的中点， 是否存在定点Q， 对于任意的(0)k k 都有OPEQ ，若存在，求出点Q的坐标；若不存
9、在说明理由； （III）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求ADAEOM 的最小值. 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B B A D B A C B D 二. 填空题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.（双空题答对一空得 3 分，答对两空得 5 分） 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 53 21mm 或 63 2,8pAB 5n 或或6 6，15232768 53 三. 解答题：本大题共 4 小题，共 50 分解
10、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (21） （本小题满分 12 分） 解： （）设AB的中点为D，则 2,1D ， 由圆的性质得CDAB ，所以1CDABkk ，得1CDk ，2 分 所以线段AB的垂直平分线方程是1yx ，3 分 设圆C的标准方程为 222xayr，其中 ,0C a，半径为r（0r ） ， 由圆的性质，圆心 ,0C a在直线CD上，化简得1a ，5 分 所以圆心 1,0C ，2rCA，所以圆C的标准方程为 2214xy6 分 （）则直线l的方程为324yx8 分 圆心 1,0C 到直线l的距离为232-41314d （ ）10 分 所以，2222 4 12 3MNrd12
11、 分 （22） （本小题满分 12 分） （）证明：以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)ABCPGF1 分 (0,1,1),(2,2, 2),(0,2, 2)GFPBPCuuu ruuu ruuu r 设平面PCB的法向量为111(,)mxy z u r，则1111122200,2200 xyzm PByzm PC u r uuu ru r uuu r即即3 分 令1=1z，则110,1xy，(0,1,1)mu r / /GFmuuu ru r， 故GF 平
12、面PCB4 分 ()解：由（）知，平面PCB的法向量为(0,1,1)m u r， (2,2, 2),(2,0, 2)PBPAuuu ruu u r 设平面PAB的法向量为222(,)nxy z r， 则2222222200,2200 xyzn PBxzn PA r uuu rr uu u r即即， 令2=1z，则221,0 xy， 所以平面PAB的法向量(1,0,1)n r6 分 11cos,222m nm nmn u r ru r ru rr7 分 平面PAB与平面PCB的夹角大小为60o8 分 （III）解：假设线段AP上存在一点M,设AMAP uuu u ruuu r， 0 1 ，则(2
13、20 2M ， ）， (220 2DMuuuu r， ）,设平面ADF的法向量为333(,)txy z r (2,0,0),(1,1,1)DADFuuu ruuu r由0,0DA tDF t uuu r ruuu r r得到(0, 1,1)t r9 分 DMQ与平面ADF所成角为30 DM与tr所成角为60 ，222,(22 )42cos60cosDM ttMtDMD uuuu r ruuuu r ruuuu rr，解得12 ，11 分 故在线段AP上存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30 ， 点M的坐标为1 0 1（ ， ）.12 分 （23） （本小题满分 13 分） 解: ()设等
14、差数列 na的公差为d，则由4224,21,nnSS aanN 可得 11114684 ,(21)22(1)1.adadandand 2 分 解得11,2.ad 因此21()nannN 4 分 ()由()及1=3nnb ，知11(21) 3(21)(21)nncnnn 5 分 数列nc的前n项和为nT， 0121111=1 3 +3 3 +5 3 +(2131 33 5(21)(21)nnTnnn ）.7 分 则令 01211 33 35 3(21) 3,11111(1)1 33 5(21)(21)22121nnAnnBnnnnTAB 8 分 012112311 33 35 3(21) 3,3
15、1 33 35 3233(21) 3nnnAnAnn 9 分 两式相减得 1231212 (3333)(21) 32(33 )21+(21) 33(22 )213nnnnnAnAnn 10 分 所以 131nAn12 分 综合知 13121nnnTABnn 13 分 （24） （本小题满分 13 分） 解： （）因为椭圆 C：22221xyab0ab（）的离心率1,2e 左顶点为( 2,0)A ， 所以2a ，又12e ，所以1c ，可得2223bac， 所以椭圆 C的标准方程为22431xy；3 分 ()直线l的方程为(2)yk x， 由22431(2)xyyk x 消元整理可得：22(2)
16、 (43)860 xkxk， 所以12x ，2228643kxk ， 当 228643kxk 时，2228612(2)4343kkykkk， 所以2228612(,)4343kkDkk，5 分 因为点 P 为 AD 的中点，所以 P点坐标为22286(,)43 43kkkk ，6 分 则3(0)4OPkkk ， 直线l的方程为(2)yk x，令0 x ，得E点坐标为(0,2 )k, 假设存在定点(, )(0)Q m n m 使得OPEQ ， 则1OPEQkk ，即32()14nkkm 恒成立， 所以(46)30mkn， 所以46030mn ，即320mn ， 所以定点Q的坐标为3(,0)2 .8 分 （III）因为/ /OMl，所以OM的方程可设为ykx ， 和22431xy联立可得M点的横坐标为22 343xk ，9 分 由/ /OMl可得：22249=3 43DAEADAMMxxxxxxADAEkOMxxk 2216( 43)2 2343kk ，11 分 当且仅当2264343kk ， 即32k 时取等号，12 分 所以当32k 时，ADAEOM 的最小值为2 2.13 分
