1、2019-2020 学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）为调查学生观看电影我和我的祖国的情况，采用分层抽样的方法，从某中学 3000 人（其中高一年级 1200 人，高二年级 1000 人，高三年级 800 人）中抽取 n 人已知从高一年级抽取了 18 人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A24 B27 C30 D32
2、 2 （5 分）已知命题 p：x0R，x02+10，那么命题 p 的否定是（ ） Ax0R，x02+10 Bx0R，x02+10 CxR，x2+10 DxR，x2+10 3 （5 分）从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A B C D 4 （5 分）已知定点 M（2，a） ，N（2，a） ，a 为常数，且|PM|PN|2，则动点 P 的轨迹是（ ） A一条射线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 5 （5 分）命题“若” ，则 tana1“的否命题是（ ） A “若“，则 tana1” B “若“，则 tana1” C “若，则 tana
3、1” D “若 tana1，则” 6 （5 分）将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ） A事件 A1： “恰有两次正面向上” ，事件 B1： “恰有两次反面向上” B事件 A2： “恰有两次正面向上” ，事件 B2： “恰有一次正面向上” C事件 A3： “至少有一次正面向上” ，事件 B3： “至多一次正面向上” D事件 A4： “至少有一次正面向上” ，事件 B4： “恰有三次反面向上” 7 （5 分）若双曲线1（a0，b0）的一条渐近线为 yx，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 8 （5 分）奖饭店推出甲乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度
4、，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到如图的茎叶图下列说法中，不正确的是（ ） A甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小 B甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小 C甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大 D甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大 9 9 （5 分）过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为，则|AB|（ ） A B C13 D9 10 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，E 为棱 AA1的中点，则直线 C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（ ） A B C D 11 （5 分）已知 F1
5、，F2分别是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以线段 F1，F2为直径的圆与双曲线 C 的右支交于 P，Q 两点若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B C D 12 （5 分）已知 A 为椭圆 C：的左顶点，直线 ykx（k0）与该椭圆相交于 P，Q 两点，连接AP，AQ设直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，的取值范围为（ ） A （，+） B （2，+） C （3，+） D （4，+） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知某 5 个数 a，b，c，d，e 的平均数为 8，方差
6、为 1，现加入一个新数据 8，此时这 6 个数的方差为 s2，则 s2 1（填“”或“” ） 14 （5 分）在区间上随机取一个数 x，则 ycosx 的值在 0 到之间的概率为 15 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上一点，则 b 16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且 AB2，DAB60，PAD 是等边三角形，点是侧面PBC内的一个动点， 且满足DQAC， 则Q点所形成的轨迹长度是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤.） 17 （10 分）已知命题 p： “实数 m 满足：方程表示双曲线” ，命题 q： “实数 m 满足：m22m+1t20（t0） ，且 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 t 的取值范围 18 （10 分）初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩 90 分以上的学生也越来越多用 y 表示 x 月后体育成绩 90 分以上的学生的百分比，得到了如表数据 x 1 2 3 4 5 体育成绩 90 分以上 学生的百分比 y 30% 40% 45% 50% 65% （1）求出 y 关于 x 的回归直线方程
8、； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测 7 个月后，体育成绩 90 分以上的学生的百分比是多少？ 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是， 其中， ， 19 （10 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 A 是抛物线 C 上任意一点，且|AF|min1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设经过点（0，2） 、倾斜角为的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，抛物线 C 的准线与 y 轴交于E 点，求MEN 的面积 20 （12 分）近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用
9、一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各 100 人进行抽样分析，制成如图的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数； （2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高 21 （14 分）如图，四棱柱 ABCDABCD的底面是菱形，AA平面 ABCD，AB2，BAD60点 P是侧棱 CC上的点 APPB （1）证明：平面 APD平面 PBD； （2）若 P 是 CC的中点，求二面角 ABPD的余弦值 22 （14 分）已知点 M
10、（1，0） ，N（1，0） ，设TMN 的面积为 S，内切圆半径为 r，且 S3r （1）求点 T 的轨迹 W 的方程； （2）已知 B（2，0） ，C（2，0） ，点 P 是直线 x4 上的动点，直线 PB 与曲线 W 的一个交点为 E直线 PC 与曲线 W 的一个交点为 F，并且 P，E，F 都不在坐标轴上求证：直线 EF 经过定点 2019-2020 学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出
11、的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）为调查学生观看电影我和我的祖国的情况，采用分层抽样的方法，从某中学 3000 人（其中高一年级 1200 人，高二年级 1000 人，高三年级 800 人）中抽取 n 人已知从高一年级抽取了 18 人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A24 B27 C30 D32 【分析】由题意利用分层抽样的定义，求出 n 的值，可得结论 【解答】解：从高一抽取了 18 人，n45（人） ， 故从高二和高三年级共抽取的人数为 451827， 故选：B 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题
12、 2 （5 分）已知命题 p：x0R，x02+10，那么命题 p 的否定是（ ） Ax0R，x02+10 Bx0R，x02+10 CxR，x2+10 DxR，x2+10 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】解：命题的特称命题，则否定是：xR，x2+10， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础 3 （5 分）从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 nC 10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数 m3由此能求出这两个
13、数的积为奇数的概率 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个不同的数， 基本事件总数 n10， 这两个数的积为奇数包含的基本事件个数 m3 这两个数的积为奇数的概率是 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）已知定点 M（2，a） ，N（2，a） ，a 为常数，且|PM|PN|2，则动点 P 的轨迹是（ ） A一条射线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 【分析】先计算|MN|，可得|PM|PN|MN|，由双曲线的定义可得 【解答】解：由题意|MN|2（2）4 |PM|PN|2 |PM|PN|MN| 点 P
14、的轨迹是双曲线靠近 N 的一支， 故选：D 【点评】本题考查利用定义法求轨迹方程，若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等） ，可用定义直接探求 5 （5 分）命题“若” ，则 tana1“的否命题是（ ） A “若“，则 tana1” B “若“，则 tana1” C “若，则 tana1” D “若 tana1，则” 【分析】根据否命题的定义即可求出 【解答】解：命题“若” ，则 tana1“的否命题是“若“，则 tana1” 故选：A 【点评】本题考查四种命题，属基础题 6 （5 分）将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ） A事
15、件 A1： “恰有两次正面向上” ，事件 B1： “恰有两次反面向上” B事件 A2： “恰有两次正面向上” ，事件 B2： “恰有一次正面向上” C事件 A3： “至少有一次正面向上” ，事件 B3： “至多一次正面向上” D事件 A4： “至少有一次正面向上” ，事件 B4： “恰有三次反面向上” 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解 【解答】解：将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次， 在 A 中，事件 A1： “恰有两次正面向上” ，事件 B1： “恰有两次反面向上”是互斥而不对立事件，故 A 错误； 在 B 中，事件 A2： “恰有两次正面向上” ，事件 B2： “恰有一次正面向上
16、”能同时发生，不是互斥事件，故 B 错误； 在 C 中，事件 A3： “至少有一次正面向上” ，事件 B3： “至多一次正面向上”能同时发生，不是互斥事件，故 C 错误； 在 D 中，事件 A4： “至少有一次正面向上” ，事件 B4： “恰有三次反面向上”是对立事件，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）若双曲线1（a0，b0）的一条渐近线为 yx，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由 a，b，c 的关系和离心率公式计算即可得到 【解答】
17、解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 yx， 由题意可得， 则 c2a， 则 e2 故选：B 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质， 考查渐近线方程和离心率的求法， 考查运算能力， 属于基础题 8 （5 分）奖饭店推出甲乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到如图的茎叶图下列说法中，不正确的是（ ） A甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小 B甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小 C甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大 D甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大 9 【分析】根据茎叶图，对应估计和求出相应的值，判断即可 【解答】解
18、：根据题意甲的众数为 61，乙的众数为 62，故 A 正确； 甲，乙的中位数各为 61，62，故 B 正确； 根据图象，乙平均数显然比甲大，甲的方差比乙大， 故 C 不正确， 故选：C 【点评】考查茎叶图判断众数，平均数，方差等，中档题 9 （5 分）过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为，则|AB|（ ） A B C13 D9 【分析】由题意可得弦 AB 的纵坐标之和，再由由焦点的弦长转化为到准线的距离之和，求出弦长 【解答】解：由题意可得抛物线的标准形式为：x28y，所以准线方程为 y2， 由题意可得 AN 的纵坐标之和为5，所以弦长|AB|5+49
19、， 故选：D 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 10 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，E 为棱 AA1的中点，则直线 C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 CB1D1的法向量及直线 C1E 的方向向量，利用向量公式得解 【解答】解：以 A 为坐标原点，AD，AB，AA1分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（1，1，0） ，B1（0，1，2） ，D1（1，0，2） ，C1（1，1，2） ，E（0，0，1） ， 设平面 CB1D1的法向量为， 由，可取， 设直线C1E与平
20、面CB1D1所成角为，又，则， 故，即直线 C1E 与平面 CB1D1所成角的余弦值为 故选：A 【点评】本题考查利用空间向量求解线面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题 11 （5 分）已知 F1，F2分别是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以线段 F1，F2为直径的圆与双曲线 C 的右支交于 P，Q 两点若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】利用已知条件求出 OP 的斜率，推出 P 的坐标，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：F1，F2分别是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以线段 F1，F2为直径的圆与双曲线 C 的右支交于 P，Q
21、两点 若，可得 OP 直线的斜率为：，所以 P（，c） ， 可得：，e1 解得 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 12 （5 分）已知 A 为椭圆 C：的左顶点，直线 ykx（k0）与该椭圆相交于 P，Q 两点，连接AP，AQ设直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，的取值范围为（ ） A （，+） B （2，+） C （3，+） D （4，+） 【分析】 由题意可得 P， Q 的坐标关于原点对称， 及 A 的坐标， 联立直线与椭圆的方程可得横坐标的值，进而求出 AP，AQ 的斜率，可得的表达式，求出它的范围 【解答】解：由题意可得
22、A（2，0） ，设 P（x，y） ，Q（x，y）设 x0， 连立直线与椭圆的方程可得：， 整理得（1+4k2）x24，x2， 解得 x， k1，k2， 所以则， 故选：B 【点评】考查椭圆的性质，属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知某 5 个数 a，b，c，d，e 的平均数为 8，方差为 1，现加入一个新数据 8，此时这 6 个数的方差为 s2，则 s2 1（填“”或“” ） 【分析】根据题意，对于数据 a，b，c，d，e，由平均数、方差公式分析可得 a+b+c+d+e40 和 a8）2
23、+（b8）2+（c8）2+（d8）2+（e8）25，加入新数据后，求出其平均数以及方差，即可得答案 【解答】解：根据题意，某 5 个数 a，b，c，d，e 的平均数为 8，则有 （a+b+c+d+e）8，即a+b+c+d+e40， 其方差为 1，则有 s2（a8）2+（b8）2+（c8）2+（d8）2+（e8）21，即（a8）2+（b8）2+（c8）2+（d8）2+（e8）25 现加入一个新数据 8，数据变为：a，b，c，d，e，8； 其平均数 （a+b+c+d+e+8）8， 其方差 s2（a8）2+（b8）2+（c8）2+（d8）2+（e8）2+（88）2， 则有 s21； 故答案为： 【点
24、评】本题考查数据的方差的计算，关键是掌握数据方差计算公式，属于基础题 14 （5 分）在区间上随机取一个数 x，则 ycosx 的值在 0 到之间的概率为 【分析】解出关于三角函数的不等式，使得 cosx 的值介于 0 到 之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率 【解答】解：0cosx， 当 x，时， x（，）（ ，） ，此区间的长度为， 在区间，上随机取一个数 x，则 cosx 的值介于 0 到之间的概率为 P， 故答案为 【点评】本题考查的知识点是几何概型，余弦型函数的图象和性质，其中求出 cosx 的值介于 0 到之间时，自变量 x 的取值范围，
25、是解答的关键 15 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上一点，则 b 【分析】通过已知条件求出|PF2|，利用余弦定理，求解 c，然后求出 b 即可 【解答】解：|PF1|F1F2|2c，|PF2|1， 4c29+127 b 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题 16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且 AB2，DAB60，PAD 是等边三角形，点是侧面 PBC 内的一个动点，且满足 DQAC，则 Q 点所形成的轨迹长度是 【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出 Q 的轨迹，利用转化思想
26、，求解距离即可 【解答】解：连接 AC，BD 交点为：O，取 AD 的中点 E，BC 的中点 H，连接 EH，PH，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且 AB2，DAB60，PAD 是等边三角形，PAPDADAB2，PE，BE，所以 PEBE，点是侧面 PBC 内的一个动点，且满足 DQAC，ACBD，所以 AC平面 BDG，过 O 作 OG平面 ABCD，交 PH 于 PH 的中点，G 在 PH 的中点与 B的连线上，侧面 PBC 中，PH，BH1，PB，PBBC，PC，BF 的方程：yx，PC 的方程为：，联立可得 F（，） 所以 BF 故答案为： 【点评】 本题考查空间
27、图形的应用， 涉及直线与平面的位置关系， 轨迹方程以及平面直角坐标系的应用，是难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知命题 p： “实数 m 满足：方程表示双曲线” ，命题 q： “实数 m 满足：m22m+1t20（t0） ，且 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 t 的取值范围 【分析】根据题意，求出 m 的范围，再根据 q 是 p 的必要不充分条件，求出 t 的范围即可 【解答】解：方程表示双曲线，（m5） （m+2）0，2m5， 由 m22
28、m+1t20（t0） ，得 1tm1+t q 是 p 的必要不充分条件， 或， 解得 t4 【点评】考查双曲线的性质，二次函数问题，考查必要不充分条件，中档题 18 （10 分）初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩 90 分以上的学生也越来越多用 y 表示 x 月后体育成绩 90 分以上的学生的百分比，得到了如表数据 x 1 2 3 4 5 体育成绩 90 分以上 学生的百分比 y 30% 40% 45% 50% 65% （1）求出 y 关于 x 的回归直线方程； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预
29、测 7 个月后，体育成绩 90 分以上的学生的百分比是多少？ 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是， 其中， ， 【分析】 （1）求出 x，y 的平均数，代入公式 ， ，求出即可； （2）令 x7 代入即可 【解答】解： （1）， 由公式得 ， 0.460.0830.22， 关于 x 的回归直线方程为， （2）当 x7 时， 故体育成绩 90 分以上的学生的百分比是 78% 【点评】考查线性回归方程的计算和应用，中档题 19 （10 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 A 是抛物线 C 上任意一点，且|AF|min1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设经过点（0，
30、2） 、倾斜角为的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，抛物线 C 的准线与 y 轴交于E 点，求MEN 的面积 【分析】 （1）由抛物线的性质可得顶点到准线的距离最小，即到焦点的距离最小，由题意求出 p 的值，进而求出抛物线的方程； （2）由题意设直线 MN 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，及 E 的坐标，由面积公式求出面积 【解答】解： （1）由抛物线定义及|AF|min1，可得2p4 抛物线 C 的方程为 x24y 与 x24y 联立，消 y 得.， 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 20 （12 分）近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求
31、更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各 100 人进行抽样分析，制成如图的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数； （2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高 【分析】 （1）利用中位数两边频率相等，列方程求出男生使用手机年限的中位数， 根据频率分布直方图中最高小矩形底边的中点坐标求出众数的值； （2）根据频率分布直方图，计算男、女大学生使用手机年限的平均
32、值，比较大小即可 【解答】解： （1）设男大学生使用手机年限的中位数为 a， 则 0.11+0.21+（a2）0.50.5，解得 a2.4； 所以估计男大学生使用手机年限的中位数为 2.4， 由（2+3）2.5， 估计女大学生使用手机年限的众数为 2.5 （2）根据频率分布直方图，计算男大学生使用手机年限的平均值是 0.50.1+1.50.2+2.50.5+3.50.15+4.50.052.35； 女大学生使用手机年限的平均值是 0.50.05+1.50.2+2.50.6+3.50.1+4.50.052.4； 因为 2.42.35，所以男大学生更换手机的频率更高 【点评】本题考查了利用频率分布
33、直方图求样本的数字特征问题，是基础题 21 （14 分）如图，四棱柱 ABCDABCD的底面是菱形，AA平面 ABCD，AB2，BAD60点 P是侧棱 CC上的点 APPB （1）证明：平面 APD平面 PBD； （2）若 P 是 CC的中点，求二面角 ABPD的余弦值 【分析】 （1）先证明 AP平面 PBD，再根据面面垂直的判定定理证明出结论； （2）设 BD，BD的中点分别为 O，O，分别以直线 OB，OC，OO为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 CC2a，根据题意，求出 a，再求出平面 ABP 和平面 BPD的法向量，利用夹角公式求出即可 【解答】解： （1）证明：由
34、AA平面 ABCD，BD平面 ABCD，得 AABD， 又底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC， 而 ACAAA所以 BD平面 ACCA，所以 BDAP 又 APPB，PBBDB，所以 AP平面 PBD， 又 AP平面 APD，所以平面 APD平面 PBD； （2）解：设 BD，BD的中点分别为 O，O，分别以直线 OB，OC，OO 为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当 P 是 CC中点时，设 CC2a，则 PCPCa， 则有 AP2AC2+PC212+a2，PB2PC2+CB2a2+4， AB2AA2+AB24a2+4， 又APB90，所以 AP2+PB2AB2， 即 12
35、+a2+a2+44+4a2，得， 则有， ， 设平面 PBA的法向量为 （x1，y1，z1） ， 则，即， 不妨取，则， 设平面 PBD的法向量 （x2，y2，z2） ， 则，即， 不妨取 z21，则 （，0，1） ， 设的夹角为 ， 则 所以二面角 ABPD的余弦值为 【点评】考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查了空间想象力和运算能力，中档题 22 （14 分）已知点 M（1，0） ，N（1，0） ，设TMN 的面积为 S，内切圆半径为 r，且 S3r （1）求点 T 的轨迹 W 的方程； （2）已知 B（2，0） ，C（2，0） ，点 P 是直线 x
36、4 上的动点，直线 PB 与曲线 W 的一个交点为 E直线 PC 与曲线 W 的一个交点为 F，并且 P，E，F 都不在坐标轴上求证：直线 EF 经过定点 【分析】 （1）根据已知条件转化到椭圆的定义即可求解； （2）求出 E，F 的坐标以及向量的坐标结合向量共线即可得到结论 【解答】解： （1）设TMN 的周长为 l，则由 S3r，得，即 l6 所以|TM|+|TN|4， 即 T 在以 M，N 为焦点，以 4 为长轴长的椭圆上 设该椭圆方程为 则 a2，b2a213 所以点 T 的轨迹 W 的方程为+1； （ 2）证明： 设 P（ 4， t） ，E（ x2， y2） ，F（ x2， y2） ，则直 线 PB 的方程 为，即 直线 PC 的方程为，即 设直线 EF 与 x 轴交点为 K（m，0） ，则共线 又 则 化简得 m1 所以直线 EF 经过定点（1，0） 【点评】本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题
