1、2019 年河北省张家口市、沧州市高考数学一模试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x ，Bx|1（ ） x 2，则（ RA）B（ ）A x| x0 Bx| x0 C x|1x D x|1x 2 （5 分）复数 z ，则|z|（ ）A B5 C D3 （5 分）随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害， “低头族”由此而来为了了
2、解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的 1500 人中采用分层抽样的方法抽取 50 人进行调查，已知这 50 人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）A490 B390 C1110 D4104 （5 分）已知直线 a，b 和平面 ，a，则 b 是 b 与 a 异面的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）若变量 x，y 满足 ，则使 zx +2y 取得最小值的最优解为（ ）A （3，1） B （ ） C （2，1） D （ ）6 （5 分）在ABC 中
3、，O 为ABC 的重心，若 + ，则 2（ ）A B1 C D第 2 页（共 27 页）7 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（ ）cos（ ） （0） ，且满足f（x+ ）f（x） ，把 f（x）的图象上各点向左平移 个单位长度得到函数 g（x ） ，则 g（x ）的一条对称轴为（ ）Ax0 Bx Cx Dx 8 （5 分）已知函数 f（x ）（ ） |x|x ，且满足 f（2a1）f（3） ，则 a 的取值范围为（ ）Aa1 或 a2 B1a2 Ca2 Da29 （5 分）已知点 F（c ，0）为双曲线 1（a0，b0）的左焦点，圆O：x 2+y2c
4、 2 与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于 A，B 两点若AF OB，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D10 （5 分）中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，设内一衡直径为 a1，衡间距为 ，则次二衡直径为 a2a 1+d，次三衡直径为a1+2d，执行如图程序框图，则输出的 Ti 中最大的一个数为（ ）第 3 页（共 27 页）AT 1 BT 2 CT 3 DT 411 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，cos （A+ ） ，AB7，AC2 ，
5、则（ ）A40 B40 C34 D3412 （5 分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A8 B9 C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有 3 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 3 次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 p，若该同学本次测试合格的概率为 0.784，则 p 14 （5 分）在（ ） 6 的展开式中 x3 的系数为 第 4 页（共 27 页）15 （5 分
6、）点 F 为抛物线 y22px （p0）的焦点，E 为其准线上一点，且EF 若过焦点 F 且与 EF 垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，且 3 ，则p 16 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）ax2（aR） ，满足： 当 x0 时，方程 f（x ）g（x）无解；当 x0 时，至少存在一个整数 x0使 f（x 0）g（ x0） 则实数 a 的取值范围为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60分
7、17 （12 分）已知数列a n满足 an+1a n0（nN *） ，且 a2，a 3+2，a 4 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn （n N*） ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的取值范围18 （12 分）如图，在三棱台 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，上、下底面的面积之比为 1：4，侧面 A1ABB1底面 ABC，并且A1AA 1B1，AA 1B90（1）平面 A1C1B平面 ABCl ，证明：A 1C1l ；（2）求平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值19 （12 分）近年来，随着互联网技术的快速发展
8、，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿” 、 “农家乐”等形式开始在很多平台上线某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐” ，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天，得到的统计数据如表，x 为收费标准（单位：元/ 日） ，t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入第 5 页（共 27 页）住率” ，收费标准 x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 为“入住率”超过 0.6 的农家乐的个数，求 的概率分布列；（2）令 zlnx，由散点图判断 bx+ 与
9、z+ 哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程 （ 结果保留一位小数）（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L365入住率收费标准 x） x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20参考数据： ， ， 200， xiyi377.5， x 325000， 5.1， yizi12.7， z 158.1，e 3148.420 （12 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 8 ， 4，斜率为 k 的直线 l 交 y 轴于点 P，且 2 ，以线段 BD 为长轴，AC 为短轴的椭圆
10、与直线 l 相交于 M，N 两点（M 与 A 在 x 轴同侧） （1）求椭圆的方程；（2）求证：AN 与 CM 的交点在定直线 y1 上第 6 页（共 27 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（ax+1） （1）讨论 f（x ）在（0，+）上的单调性；（2）令 g（x）xlnx x2x+e，当 a ，0m 时，证明：对x1，x 2（0，e 2，使 g（x 1） f（x 2） (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一道作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半
11、轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 （1cos2）8cos，直线 cos1 与曲线 C 相交于 M，N两点，直线 l 过定点 P（2，0 ）且倾斜角为 ，l 交曲线 C 于 A，B 两点（1）把曲线 C 化成直角坐标方程，并求 |MN|的值；（2）若|PA|，| MN|，|PB|成等比数列，求直线 l 的倾斜角 选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x1|+|x2|（1）解不等式 f（x ）2；（2）若 f（x） 2x 2+m，求实数 m 的最大值第 7 页（共 27 页）2019 年河北省张家口市、沧州市高考数学一模试卷（理科） （A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：
12、本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x ，Bx|1（ ） x 2，则（ RA）B（ ）A x| x0 Bx| x0 C x|1x D x|1x 【分析】可求出集合 B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：Bx| 1x 0， ； ； 故选：B【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算2 （5 分）复数 z ，则|z|（ ）A B5 C D【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解：z 2+i，则|z| ，故选：A【点评】
13、本题主要考查复数的模长计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键3 （5 分）随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害， “低头族”由此而来为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的 1500 人中采用分层抽样的方法抽取 50 人进行调查，已知这 50 人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数第 8 页（共 27 页）为（ ）A490 B390 C1110 D410【分析】由分层抽样得：这个群体里老年人人
14、数为 26%1500390，得解【解答】解：由图可知这 50 人里老、中、青三个年龄段的分配比例为26%：34%：40%，则这个群体里老年人人数为 26%1500390，故选：B【点评】本题考查了分层抽样，算出比例关系即可，属简单题4 （5 分）已知直线 a，b 和平面 ，a，则 b 是 b 与 a 异面的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当 b，则 a 与 b 可能相交，即 b 与 a 异面不一定成立，即充分性不成立，若 b 与 a 异面，则 b 成立
15、，即必要性成立，即 b 是 b 与 a 异面的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键5 （5 分）若变量 x，y 满足 ，则使 zx +2y 取得最小值的最优解为（ ）A （3，1） B （ ） C （2，1） D （ ）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论第 9 页（共 27 页）【解答】解：作出变量 x，y 满足 对应的平面区域如图：由 zx +2y 得 y x+ ，平移直线 y x+ 由图象可知当直线 y x+ 经过点 A 时，直线 y x+ 的截距最小，
16、此时 z 最小，由 ，解得 A（2，1） ，则 zx +2y 取得最小值的最优解为（2，1） ，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6 （5 分）在ABC 中，O 为ABC 的重心，若 + ，则 2（ ）A B1 C D【分析】平面向量的基本定理得： + ，得解【解答】解：设 AC 的中点为 D，因为 O 为ABC 的重心，所以 + ，所以 ， ，第 10 页（共 27 页）所以 2 ，故选：D【点评】本题考查了三角形的重心及平面向量的基本定理，属简单题7 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（ ）cos（ ） （0） ，
17、且满足f（x+ ）f（x） ，把 f（x）的图象上各点向左平移 个单位长度得到函数 g（x ） ，则 g（x ）的一条对称轴为（ ）Ax0 Bx Cx Dx 【分析】根据条件求出函数的周期为 ，结合三角函数的倍角公式，以及函数图象的变化关系，结合函数的对称性进行求解即可【解答】解：由 f（x + ）f（x） ，得 f（x+）f（x+ ）f（x） ，即函数的周期是 ，且函数关于（ ，0）对称，f（x）2sin（ ）cos（ ）sin（2x ） ，T ，即 1，则 f（x ）sin（2x ） ，将 f（x）的图象上各点向左平移 个单位长度得到函数 g（x） ，即 g（x）sin2（x
18、+ ） sin2x ，由 2xk+ ，kZ，即 x + ，当 k1 时，对称轴为 x + ，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的周期，以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键8 （5 分）已知函数 f（x ）（ ） |x|x ，且满足 f（2a1）f（3） ，则 a 的取值范围为（ ）Aa1 或 a2 B1a2 Ca2 Da2第 11 页（共 27 页）【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：f（x ）（ ） |x|x （ ） |x| ，则 f（x）f（x） ，即函数f（x）是偶函数，当
19、 x0 时，f（ x）（ ） xx 为减函数，则不等式 f（2a1）f（3） ，等价为 f（|2 a1|）f （3） ，即|2 a 1|3，得32a13，得1a2，故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键9 （5 分）已知点 F（c ，0）为双曲线 1（a0，b0）的左焦点，圆O：x 2+y2c 2 与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于 A，B 两点若AF OB，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【分析】画出图形，判断渐近线的倾斜角然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：点 F（c ，0）为双曲线 1（a0，
20、b0）的左焦点，圆O：x 2+y2c 2 与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于 A，B 两点若AFOB ，如图：可得渐近线的倾斜角为 60或 120，可得 ，b 23a 2，所以 c24a 2，可得 e 2故选：C第 12 页（共 27 页）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，考查计算能力10 （5 分）中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，设内一衡直径为 a1，衡间距为 ，则次二衡直径为 a2a 1+d，次三衡直径为a1+2d，执行如图程
21、序框图，则输出的 Ti 中最大的一个数为（ ）AT 1 BT 2 CT 3 DT 4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 Ti 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得第 13 页（共 27 页）i1 时，T 1a 1a7a 1（a 1+6d）a 12+6da1，i2 时，T 2a 2a6（a 1+d） （a 1+5d）a 12+6da1+5d2，i3 时，T 3a 3a5（a 1+2d） （a 1+4d）a 12+6da1+8d2，i4 时，T 4a 4a4（a 1+3d） 2a 12+
22、6da1+9d2，可得：T 4T 3T 2T 1故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11 （5 分）在锐角三角形 ABC 中，cos （A+ ） ，AB7，AC2 ，则（ ）A40 B40 C34 D34【分析】由 cos（A+ ） 解得 cosA ，再由余弦定理得 BC ，cos B，再根据向量数量积可得结果【解答】解：由 cos（A+ ） 得：cos Acos sinAsin ，得 cosAsinA ，两边平方得： cos2A sin2A sinA+ ，整理得 sin2A sinA+ 0，解得 sinA 或
23、sinA （舍去） ，又 A 为锐角，cosA ，BC 2AB 2+AC22ABAC cosA7 2+（2 ） 22 43，BC ，cosB ， ABBCcos （ B）7 （ ）40故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题12 （5 分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）第 14 页（共 27 页）A8 B9 C D 【分析】先作出棱锥的实物图，并建立空间直角坐标系，写出各顶点的坐标，设球心的坐标为（x，y，z） ，利用球心到各顶点的距离相等列方程组，求出球心的坐标，然后利用空间中的两点间的距离公式可求出外接球的半径，最后由球体的表面
24、积公式可得出答案【解答】解：作出该棱锥的实物图如下图所示，该几何体为三棱锥 PABC，且ABC为等腰直角三角形，腰长为 BC2，如下图所示，过点 P 作 PD 平面 ABC，则 ADCD，以点 D 为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyx，则点 A（1，0，0） 、B（2，1，0） 、C（0，1 ，0） 、P（0，0，2） ，设球心的坐标为（x，y ，z） ，则 ，解得第 15 页（共 27 页），所以，该棱锥的外接球的半径为 ，因此，该棱锥的外接球的表面积为 故选：C【点评】本题考查几何体外接球的表面积，考查球体体积的公式，本题球心的位
25、置不容易找，可以采用坐标法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有 3 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 3 次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 p，若该同学本次测试合格的概率为 0.784，则 p 0.4 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该同学每次投篮投中的概率【解答】解：每位同学有 3 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 3 次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为
26、 p，该同学本次测试合格的概率为 0.784，p+（1p）p+ （1p） 2p0.784，解得 p0.4故答案为：0.4【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算能力，是基础题14 （5 分）在（ ） 6 的展开式中 x3 的系数为 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x3的系数【解答】解：（ ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）rx123 r，令 123r3，求得 r3，第 16 页（共 27 页）故展开式中 x3 的系数为 （1） ，故答案为： 【点评】本题主要
27、考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）点 F 为抛物线 y22px （p0）的焦点，E 为其准线上一点，且EF 若过焦点 F 且与 EF 垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，且 3 ，则p 1 【分析】设|BF|m，则| AF|3m 由抛物线的性质BAH 60EFK30即可得 从而求得 p【解答】解：设|BF|m过抛物线 C：y 22px（p0）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|3|BF |，O 为坐标原点，| AF|3m如图，作出准线 l，AM l，BMl ，过 B 作 BHAM，交 AM 于 H，由抛物线的性质得：|AB
28、|4m ，| AH|2m BAH60，EFK30 FKp，p 故答案为：1【点评】题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题第 17 页（共 27 页）16 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）ax2（aR） ，满足： 当 x0 时，方程 f（x ）g（x）无解；当 x0 时，至少存在一个整数 x0使 f（x 0）g（ x0） 则实数 a 的取值范围为 （ ，3 【分析】 根据当 x0 时，方程 f（x ）g（x）无解，利用参数分离法，构造函数求出函数的极值进行求解即可作出当 x0 时，f（x ）的图象，根据
29、当 x0 时，至少存在一个整数 x0 使 f（x 0）g（x 0） 确定 a 满足的条件进行求解即可【解答】解：当 x0 时，f（x ）g（x）即ln |x|ax2 无解，即 ax2ln（ x） ，a 无解设 h（x） ，则 h（x） ，由 h（x）0 得 ln（x）30，得 ln（x ）3，得xe 3，即 xe 3，此时函数 h（x）为增函数由 h（x）0 得 ln（x）30，得 ln（x ）3，得xe 3，即e 3x0，此时函数 h（x）为，减函数，即当 xe 3 时，函数 h（x ）取得极大值 h（e 3） ，当 x0 且 x0，f（x），则要使 a 无解，则 a ，当 x0 时，f（x
30、 ）的图象如图：当 a0 时，满足 f（x 0）g（x 0）的整数由很多，满足条件，当 a0 时，函数 f（x ）过 A（1，1） ，要至少存在一个整数 x0 使 f（x 0）g（x 0） 则 g（1）a21，即 0a3，综上 a3，第 18 页（共 27 页）同时满足 的实数 a 的范围满足 ，即 a3，即实数 a 的取值范围是（ ，3，故答案为：（ ，3，【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式，利用转化法以及数形结合是解决本题的关键三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考
31、生根据要求作答(一) 必考题：共 60分17 （12 分）已知数列a n满足 an+1a n0（nN *） ，且 a2，a 3+2，a 4 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn （n N*） ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的取值范围【分析】 （1）由等比数列的定义和通项公式，以及等差数列中项性质，解方程可得首项，即可得到所求通项公式；（2）求得 bn ，运用数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）数列a n满足 an+1a n0（nN *） ，可得数列 an为公比为 2 的等比数列，第 19 页（共 27 页）a2，a 3+2，a
32、4 成等差数列，可得 2（a 3+2）a 2+a4，即有 2（4a 1+2）2a 1+8a1，解得 a12，则 an2 n；（2）b n ，可得 Tn + + + 1，由 2n+14，可得 （0， ，则 Tn 的取值范围为（1， 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在三棱台 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，上、下底面的面积之比为 1：4，侧面 A1ABB1底面 ABC，并且A1AA 1B1，AA 1B90（1）平面 A1C1B平面 ABCl ，证明：A
33、 1C1l ；（2）求平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值【分析】 （1）证明 A1C1平面 ABC，且 A1C1 与 l 共面，即可证明 A1C1l；（2）根据题意建立空间直角坐标系 Oxyz ，用坐标表示向量，求出平面 ABC 和平面A1C1B 的法向量，利用法向量求平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：三棱台 ABCA 1B1C1 中，A 1C1AC，且 A1C1平面 ABC，AC 平面 ABC，所以 A1C1平面 ABC，又平面 A1C1B平面 ABCl ，所以 A1C1平面 A1C1B，且 l平面 A1C1B，所以 A1C1l；（
34、2）根据题意，以 AB 的中点为原点，AB 为 x 轴，OC 为 y 轴，建立空间直角坐标系第 20 页（共 27 页）Oxyz，如图所示；由题意知，平面 ABC 的法向量为 （0，0，1） ，AB2，AA 1A 1B11，AA 1B90，B（1，0，0） ，A 1（ ，0， ） ，C 1（0， ， ） ；则 （ ，0， ） ， （1， ， ） ；设平面 A1C1B 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，化简得 ；令 x1，得 z ，y ， （1， ， ） ；cos ， ，sin ， ，即平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值为 【点评】本题考查了线面平行的性质应用问题，也考
35、查了二面角的余弦值、正弦值的计算问题，和利用空间直角坐标系求夹角问题，是中档题19 （12 分）近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿” 、 “农家乐”等形式开始在很多平台上线某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐” ，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天，得到的统计数据如表，x 为收费标准（单位：元/ 日） ，t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入住率” ，收费标准 x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 为“
36、入住率”超过 0.6 的第 21 页（共 27 页）农家乐的个数，求 的概率分布列；（2）令 zlnx，由散点图判断 bx+ 与 z+ 哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程 （ 结果保留一位小数）（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L365入住率收费标准 x） x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20参考数据： ， ， 200， xiyi377.5， x 325000， 5.1， yizi12.7， z 158.1，e 3148.4【分析】 （1） 的所有可
37、能取值为 0，1，2，利用超几何分布求得概率，则分布列可求；（2）由散点图可知， z+ 更适合于此模型，分别求得 与 ，则回归方程可求；（3）L365（0.5lnx+3）x ，再由导数求最值【解答】解：（1） 的所有可能取值为 0，1，2，第 22 页（共 27 页）则 P（0） ，P（1） ，P（2） 的分布列为： 0 1 2P （2）由散点图可知， z+ 更适合于此模型其中 ， ，所求回归方程为 ；（3）L365（0.5lnx+3）x ，L ，令 L0，得 lnx5，xe 5148.4若一年按 365 天计算，当收费标准约为 1
38、48.4 元/日时，年销售额 L 最大，最大值约为27083 元【点评】本题考查离散型随机变量分布列的求法，考查回归方程的求法，训练了利用导数求最值，是中档题20 （12 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 8 ， 4，斜率为 k 的直线 l 交 y 轴于点 P，且 2 ，以线段 BD 为长轴，AC 为短轴的椭圆与直线 l 相交于 M，N 两点（M 与 A 在 x 轴同侧） （1）求椭圆的方程；（2）求证：AN 与 CM 的交点在定直线 y1 上【分析】 （1）设BAD2，菱形 ABCD 的边长为 m，根据菱形 ABCD 的面积为8 ， 4，即可求出 a28，b 24 可得椭圆方程，第 23
39、页（共 27 页）（2）先求出直线 l 的方程，再分别求出直线 AN 的方程，直线 CM 的方程，联立，消 x整理可得 y ，根据韦达定理化简整理可得线 y1【解答】解：（1）设BAD2 ，菱形 ABCD 的边长为 m，菱形 ABCD 的面积为 8 ， 4，|AB| |AD|sin2m 2sin28 ， | | |cos2m 2cos24，m 212，tan2 2 ，tan2 2 ，tan ，线段 BD 为长轴，AC 为短轴的椭圆，BD2a，AC2b， ，a 2+b212，a 28，b 24，椭圆的方程为 + 1，证明（2） 2 ，|OA|2，|OP |4，直线 l 的方程为 ykx+4，由（
40、1）可得 A（0，2） ，C（ 0，2） ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立方程组 ，消 y 可得（1+2k 2）x 2+16kx+240，（16k） 2424（1+2k 2）32（2k 23）0，解得 k 或 k ，又 x1+x2 ，x 1x2 ，直线 AN 的方程为 y x+2，即 x直线 CM 的方程为 y x2，即 x第 24 页（共 27 页）消 x 整理可得 ，即 ，整理可得 y +1 +11，故 AN 与 CM 的交点在定直线 y1 上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21 （12 分）已
41、知函数 f（x ）e x（ax+1） （1）讨论 f（x ）在（0，+）上的单调性；（2）令 g（x）xlnx x2x+e，当 a ，0m 时，证明：对x1，x 2（0，e 2，使 g（x 1） f（x 2） 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于 g（x） minf （x） max，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论【解答】解：（1）f（x ）e x（ax+a+1 ） ， （x 0） ，当 a0 时，由于 x0，故 f（x）0 恒成立，f（x ）在（0，+）递增，当 a0 时，若 1+a0，a 1，f （x）0 恒成立， f（
42、x）在（0，+）递减，若 1+a0，a1，令 f（x）0，得 x ，故 f（x）在（0 ， ）递增，在（ ，+）递减，综上，当 a0 时，f（x ）在（0，+）递增，当1a0 时，f（x ）在（0， ）递增，在（ ，+）递减，a1 时，f（x ）在（0，+）递减，（2）证明：此时原题目等价于 g（x） minf （x） max，第 25 页（共 27 页）当 a 时，f（x ）e x（ x+1） ，由（1）知 f（x ）在（0，1）递增，在（1，e 2递减，故 f（x） maxf（1） ，g（x）lnxmx，令 p（x）lnx mx ，p（x） m ，令 p（x）0，解得：x e 2，故 p（
43、x）0 在（0，e 2恒成立，p（x）在（0，e 2递增，即 g（x）在（0，e 2递增，当 x0 时，g（x ），g（e 2）lne 2me 22me 2，由于 0m ，故 g（e 2）0，故存在 x0 使得 g（x 0）0，即 lnx0mx 00，m ，g（1）m0，g（e）1me0，故 x0（1，e） ，g（x）在（0，x 0）递减，在（x 0，e 2递增，g（x） ming（x 0）x 0lnx0 x 0+e x 0+e，令 h（x） x +e（1 xe） ，h（x） 0 恒成立，故 h（x）在（1，e ）递减，h（x）h（e） ，从而 g（x ） min ，故命题成立【点评】本题考查
44、了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一道作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 （1cos2）8cos，直线 cos1 与曲线 C 相交于 M，N两点，直线 l 过定点 P（2，0 ）且倾斜角为 ，l 交曲线 C 于 A，B 两点第 26 页（共 27 页）（1）把曲线 C 化成直角坐标方程，并求 |MN|的值；（2）若|PA|，| MN|
45、，|PB|成等比数列，求直线 l 的倾斜角 【分析】 （1）由 （1cos2）8cos 得2 2cos2+2sin28 cos，x 2+y2x 2+y28x，即 y24x由 cos1 得 x1，联立直线与抛物线解得 MN 的坐标后可求得|MN| ；（2）因为|PA|，| MN|，|PB|成等比数列，| PA|PB|MN |216，联立直线 l 的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 （1cos2 ）8cos 得 2 2cos2+2sin28cos ，x 2+y2x 2+y28x，即 y24x由 cos1 得 x1，由 的 M（1，2） ，N（1，2） ，|MN| 4（2）直线 l 的参数方程为： ，联立直线 l 的参数方程与曲线C：y 2 4x，得 t2sin24tcos80，设 A，B 两点对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t2 ，因为|PA|，| MN|，|PB|成等比数列，|PA|PB| |MN| 216，|t 1|t2|16， | t1t2|16， 16，sin 2 ，sin ，0 ， 或 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲
