1、2019-2020 学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）为了了解 1200 名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为 40 的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A12 B20 C30 D40 2 （5 分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的
2、茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x+y 的值为（ ） A7 B10 C9 D8 3 （5 分）椭圆 x2+my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A B C2 D4 4 （5 分）若 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为（ ） A0 B1 C D2 5 （5 分）七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型清陆以湉在冷庐杂识中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ） A B C D 6 （5 分）已知曲线上一点，则点 A
3、 处的切线方程为（ ） A4x3y+40 B3x+4y+40 C3x4y+40 D4x+3y+30 7 （5 分）设命题 p：函数 f（x）2x1在 R 上为单调递增函数；命题 q：函数 f（x）cos2x 为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） Apq B （p）q C （p）（q） Dp（q） 8 （5 分）正四棱锥 PABCD 的侧棱长为，底面 ABCD 边长为 2，E 为 AD 的中点，则 BD 与 PE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 9 （5 分）设 xR，则“x”是“ （12x） （x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
4、 10 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A+ B1+ C D1 11 （5 分）设 P 是椭圆+1 上一点，M、N 分别是两圆： （x+4）2+y21 和（x4）2+y21 上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（ ） A9，12 B8，11 C8，12 D10，12 12 （5 分）已知 f（x）为定义在 R 上的可导函数，f（x）为其导函数，且 f（x）f（x）恒成立，其中 e是自然对数的底数，则（ ） Af（2019）ef（2020） Bef（2019）f（2020） Cef（2019）f（2020） Df（2019）ef（2020） 二、填空
5、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）x33x 的极小值为 14 （5 分）在集合 A2，3中随机取一个元素 m，在集合 B1，2，3中随机取一个元素 n，得到点 P（m，n） ，则点 P 在圆 x2+y29 内部的概率为 15 （5 分）已知椭圆的一个焦点为 F（1，0） ，经过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与该椭圆交于 C，D 两点，则线段 CD 的长为 16 （5 分）已知点 A 是抛物线 yx2的对称轴与准线的交点，点 F 为该抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足|PF|m|PA|，当 m 取最
6、小值时，点 P 恰好在以 A，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级 100 名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数， 将所得的数据整理后画出频率分布直方图， 跳绳个数的数值落在区间55， 65） ， 65，75） ，75，85内的频率之比为 4：2：1 （计算结果保留小数点后面 3 位） （）求这些学生跳绳个数的数值落在区间75，85内的频率； （）用分层抽样
7、的方法在区间45，75）内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取 2 个学生，求这 2 个学生跳绳个数的数值都在区间45，65）内的概率 18 （10 分）已知圆 C 过三点（2，4），直线 l：ax+y+2a0 （）求圆 C 的方程 （）当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且时，求直线 l 的方程 19 （12 分）现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量 x 与单位成本 y 统计数据如表： 月份 1 2 3 4 5 6 产量（千件） 2 3 4 3 4 5 单位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68 （）试确定回归方程； （
8、）指出产量每增加 1000 件时，单位成本平均下降多少？ （）假定单位成本为 70 元/件时，产量应为多少件？ （参考公式： ， ） （参考数据） 20 （12 分） 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， AB2， BC PAPB， 侧面 PAB底面 ABCD （1）证明：PCBD； （2）设 BD 与平面 PAD 所成的角为 45，求二面角 BPCD 的余弦值 21 （12 分）过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，且|MN|2 （1）求 p 的值； （2）抛物线 C 上一点 Q（x0，1） ，直线 l：ykx+m（其中
9、 k0）抛物线 C 交于 A，B 两个不同的点（A，B 均 与点 Q 不重合）设直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，k1k2，直线 l 是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由 22 （14 分）已知函数 f（x）ex（sinxax2+2ae） ，其中 aR，e2.71828为自然数的底数 （1）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当a1 时，求证：对任意的 x0，+） ，f（x）0 2019-2020 学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，
10、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的目要求的. 1 （5 分）为了了解 1200 名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为 40 的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A12 B20 C30 D40 【分析】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔 k 等于个体总数除以样本容量，运算求得结果 【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔 k30， 故选：C 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题 2 （5 分）
11、某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x+y 的值为（ ） A7 B10 C9 D8 【分析】由茎叶图根据甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，列出方程组，求出 x，y，由此能求出 x+y 的值 【解答】解：甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83， ， 解得 x5，y3， x+y5+38 故选：D 【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、众数、中位数的性质的合理运用 3 （5 分）椭圆 x2+m
12、y21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A B C2 D4 【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出 m 的值 【解答】解：椭圆 x2+my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍， 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数 m 的值 4 （5 分）若 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为（ ） A0 B1 C D2 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 zx+2y 对应的直线进行平移，即可求出 z取得最大值 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域， 当 l 经过点 B 时，目
13、标函数 z 达到最大值 z最大值0+212 故选：D 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 zx+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 5 （5 分）七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型清陆以湉在冷庐杂识中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ） A B C D 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论 【解答】解：设正方形的边长为 2，则阴影部分由 2 个小等腰直角三角形构成， 则正方形的对角线长为 2，则等腰
14、直角三角形的边长为， 对应每个小等腰三角形的面积 S 则阴影部分的面积为 2， 又正方形的面积为 4， 该点取自图中阴影部分的概率是 故选：B 【点评】 本题主要考查几何概型的应用， 根据图形， 求出对应区域的面积是解决本题的关键， 是基础题 6 （5 分）已知曲线上一点，则点 A 处的切线方程为（ ） A4x3y+40 B3x+4y+40 C3x4y+40 D4x+3y+30 【分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程 【解答】解：的导数为 y1，可得切线的斜率为 k1， 则点 A 处的切线方程为 y（x2） ， 化为 3x4y+40， 故选：C 【点评】本题考查
15、导数的几何意义，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题 7 （5 分）设命题 p：函数 f（x）2x1在 R 上为单调递增函数；命题 q：函数 f（x）cos2x 为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） Apq B （p）q C （p）（q） Dp（q） 【分析】首先判定出命题 p 和命题 q 的真假，进一步利用真值表的应用求出结果 【解答】解：命题 p：函数 f（x）2x1在 R 上为单调递增函数；故命题 p 为真命题 命题 q：函数 f（x）cos2x 为奇函数，故命题 q 为假命题 所以：pq 为假命题 （p）q 为假命题 （p）（q）为假命题p（q）为真命题 故选：D 【点评】本题
16、考查的知识要点：命题真假的判定，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 （5 分）正四棱锥 PABCD 的侧棱长为，底面 ABCD 边长为 2，E 为 AD 的中点，则 BD 与 PE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】取 AB 的中点 O，连接 PO，OE，则 OEBD，PEO 是 BD 与 PE 所成角，利用余弦定理，即可求解 【解答】解：取 AB 的中点 O，连接 PO，OE，则 OEBD，PEO 是 BD 与 PE 所成角， 正四棱锥 PABCD 的侧棱长为，底面 ABCD 边长为 2， OE，POPE2， cosPEO， 故选：A 【
17、点评】本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，确定PEO 是 BD 与 PE 所成角是关键 9 （5 分）设 xR，则“x”是“ （12x） （x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 （12x） （x+1）0 化为： （2x1） （x+1）0，解得 x 范围即可判断出结论 【解答】解： （12x） （x+1）0 化为： （2x1） （x+1）0，解得：x，或 x1 “x”是“ （12x） （x+1）0”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10 （
18、5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A+ B1+ C D1 【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案 【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为 1，高为 1，故体积为：， 三棱柱的底面是两直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，高为 1，故体积为：1211， 故组合体的体积 V1+， 故选：B 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键 11 （5 分）设 P 是椭圆+1 上一点，M、N 分别是两圆： （x
19、+4）2+y21 和（x4）2+y21 上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（ ） A9，12 B8，11 C8，12 D10，12 【分析】圆外一点 P 到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|r，其中 C 为圆心，r 为半径，故只要连结椭圆上的点 P 与两圆心 M， N， 直线 PM， PN 与两圆各交于两处取得最值， 最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|两圆半径之和 【解答】解：两圆圆心 F1（4，0） ，F2（4，0）恰好是椭圆+1 的焦点， |PF1|+|PF2|10，两圆半径相等，都是 1，即 r1， （|PM|+|P
20、N|）min|PF1|+|PF2|2r1028 （|PM|+|PN|）max|PF1|+|PF2|+2r10+212 故选：C 【点评】本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用 12 （5 分）已知 f（x）为定义在 R 上的可导函数，f（x）为其导函数，且 f（x）f（x）恒成立，其中 e是自然对数的底数，则（ ） Af（2019）ef（2020） Bef（2019）f（2020） Cef（2019）f（2020） Df（2019）ef（2020） 【分析】根据条件，构造函数 g（x），求出导数，分析出 g（x）的单调性，根据选项由单调性得出
21、结论 【解答】解：设 g（x），则 g（x）， f（x）f（x） ，即 f（x）f（x）0，又 ex0； g（x）0， g（x）是 R 上的增函数； g（2019）g（2020） ； ； ef（2019）f（2020） ， 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究函数的性质，解决本题的关键是根据条件的结构，构造出辅助函数，再由单调性得出结论，考查数学运算能力、逻辑推理能力，属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）x33x 的极小值为 2 【分析】首先求导可得 f（x）3x23，解 3x230 可
22、得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值 【解答】解析：令 f（x）3x230，得 x1，可求得 f（x）的极小值为 f（1）2 故答案：2 【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键 14 （5 分）在集合 A2，3中随机取一个元素 m，在集合 B1，2，3中随机取一个元素 n，得到点 P（m，n） ，则点 P 在圆 x2+y29 内部的概率为 【分析】先求点 P（m，n）的结果的个数，而点 P 在圆 x2+y29 内部即 m2+n29 的结果的个数，由概率的计算公式可求 【解答】解：由题意可得点 P（m，n）的所有结果有（2
23、，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）共6 种情况，每种结果等可能出现，属于古典概率 记“点 P 在圆 x2+y29 内部”为事件 A，即 m2+n29，则 A 包含的结果有（2，1） （2，2）共 2 种情况 由古典概率的计算公式可得 P（A） 故答案为： 【点评】本题结合平面几何知识考查了古典概率的求解，属于基础试题 15 （5 分）已知椭圆的一个焦点为 F（1，0） ，经过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与该椭圆交于 C，D 两点，则线段 CD 的长为 【分析】根据题意，求得椭圆方程，求得直线 CD 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD
24、| 【解答】解：由椭圆的焦点在 x 轴上，则 a24，所以椭圆方程：， 则直线 CD 的方程为 yx+1，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 联立方程组，消去 y，整理得：7x2+8x80， 所以2880，x1+x2，x1x2， 所以， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题 16 （5 分）已知点 A 是抛物线 yx2的对称轴与准线的交点，点 F 为该抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足|PF|m|PA|，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 +1 【分
25、析】过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合|PF|m|PA|，可得m，设 PA的倾斜角为 ，则当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率 【解答】解：抛物线的标准方程为 x24y， 则抛物线的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y1， 过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得|PN|PF|， |PF|m|PA|，|PN|m|PA|，则m， 设 PA 的倾斜角为 ，则 sinm， 当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切， 设直线 PA 的方程为 ykx1，
26、代入 x24y， 可得 x24（kx1） ， 即 x24kx+40， 16k2160，k1， P（2，1） ， 双曲线的实轴长为|PA|PF|2（1） ， 双曲线的离心率为+1 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，属中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级 100 名学
27、生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数， 将所得的数据整理后画出频率分布直方图， 跳绳个数的数值落在区间55， 65） ， 65，75） ，75，85内的频率之比为 4：2：1 （计算结果保留小数点后面 3 位） （）求这些学生跳绳个数的数值落在区间75，85内的频率； （）用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取 2 个学生，求这 2 个学生跳绳个数的数值都在区间45，65）内的概率 【分析】 （）设区间75，85内的频率为 x，则区间55，65） ，65，75）内的频率分别为 4x 和 2x依题意得（0.004+0.012
28、+0.019+0.030）10+4x+2x+x1由此能求出区间75，85内的频率 （）区间45，55） ，55，65） ，65，75）内的频率依次为 0.3，0.2，0.1用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为 6 的样本则在区间45，55）内应抽取人，记为 A1，A2，A3在区间55，65）内应抽取人，记为 B1，B2，在区间65，75）内应抽取人，记为 C设“从中任意选取 2 个孩子，这 2 个孩子跳绳数值都在区间45，65）内”为事件 M，利用列举法能求出这 2 个孩子跳绳数值都在区间45，65）内的概率 【解答】解： （）设区间75，85内的频率为 x， 则区间55，65）
29、 ，65，75）内的频率分别为 4x 和 2x 依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）10+4x+2x+x1 解得 x0.05 所以区间75，85内的频率为 0.05 （）由（）得，区间45，55） ，55，65） ，65，75）内的频率依次为 0.3，0.2，0.1 用分层抽样的方法在区间45，75）内抽取一个容量为 6 的样本 则在区间45，55）内应抽取人，记为 A1，A2，A3 在区间55，65）内应抽取人，记为 B1，B2， 在区间65，75）内应抽取人，记为 C 设“从中任意选取 2 个孩子，这 2 个孩子跳绳数值都在区间45，65）内”为事件 M， 则所有的基
30、本事件有： A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，C，A3，B1，A3，B2，A3，C，B1，C，B1，B2，B1，C，B2，C，共 15 种 事件 M 包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10 种 所以这 2 个孩子跳绳数值都在区间45，65）内的概率为 【点评】本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （10 分）已知圆 C 过三点（2，4），直线 l：ax+
31、y+2a0 （）求圆 C 的方程 （）当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且时，求直线 l 的方程 【分析】 （）直接设圆的一般方程求出对应系数即可； （）根据圆中相交弦长的一半与半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，解出参数的值 【解答】解： （）设圆 C 的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0； 把点（2，4），分别代入联立解得； 圆 C 的方程 x2+y28y+120 即圆的圆心为（0，4） ，半径为 2 （）过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质， 得 解得 a7 或 a1 故所求直线方程为 7xy+140 或 xy+20 【点评】本题主要考查圆的相交弦长的计算以及圆的
32、方程的求解，属于基础题 19 （12 分）现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量 x 与单位成本 y 统计数据如表： 月份 1 2 3 4 5 6 产量（千件） 2 3 4 3 4 5 单位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68 （）试确定回归方程； （）指出产量每增加 1000 件时，单位成本平均下降多少？ （）假定单位成本为 70 元/件时，产量应为多少件？ （参考公式： ， ） （参考数据） 【分析】 （1）由题意可知，y 与 x 间呈线性相关关系，再由最小二乘法求得 与 的值，则线性回归方程可求； （2）直接由线性回归方程得结论； （3）在（1）中求
33、得的线性回归方程中，取 x70 求得 y 值得答案 【解答】解： （1）设 x 表示每月产量（单位：千件） ，y 表示单位成本（单位：元/件） ，作散点图如图 由图知 y 与 x 间呈线性相关关系 设线性回归方程为，其中， 由公式可求得， 回归方程为； （2）由回归方程知，每增加 1000 件产量，单位成本下降 1.818 元 （3）当时，701.818x+77.363，得 x4.050 千件 单位成本是 70 元/件时，产量约为 4050 件 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 20 （12 分） 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， AB2， BC P
34、APB， 侧面 PAB底面 ABCD （1）证明：PCBD； （2）设 BD 与平面 PAD 所成的角为 45，求二面角 BPCD 的余弦值 【分析】 （1）证法一：设 AB 中点为 O，连接 PO，由已知 PAPB，所以 POAB，而平面 PAB平面ABCD，交线为 AB，以 O 为原点、OP 为 z 轴，OB 为 y 轴，如图建立空间直角坐标系，并设 POh，求出相关的坐标，利用向量的数量积求解，推出 PCBD 证法二：设 AB 中点为 O，连接 PO，由已知 PAPB，所以 POAB，而平面 PAB平面 ABCD，交线为AB， 证明 BDPO， 连接 CO， 设 CO 与 BD 交于 M
35、， 通过计算BCM+CBMCDB+CBM90，推出 BDCO，然后证明 PCBD （2）由 ADAB，平面 PAB平面 ABCD，交线为 AB，可得 AD平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，交线为 PA 过 B 作 BHPA，垂足为 H，则 BH平面 PAD，BD 与平面 PAD 所成的角即为BDH，通过求解三角形即可得到结果 （也可用向量法求出 PO： ）设 P（0，0，h） ，求出平面 PAD 的一个法向量，通过 cos ，BDsin45可解得 h，求出平面 BPC 的一个法向量，平面 DPC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 （1）证法一：设 AB 中点为 O，连
36、接 PO，由已知 PAPB，所以 POAB， 而平面 PAB平面 ABCD，交线为 AB， 故 PO平面 ABCD， 以 O 为原点、OP 为 z 轴，OB 为 y 轴，如图建立空间直角坐标系，并设 POh， 则 P（0，0，h） ，B（0，1，0） ，C（，1，0） ，D（，1，0） 所以（，1，h） ，（，2，0） ，所以 PCBD（6 分） 证法二：设 AB 中点为 O，连接 PO，由已知 PAPB，所以 POAB， 而平面 PAB平面 ABCD，交线为 AB， 故 PO平面 ABCD，从而 BDPO 在矩形 ABCD 中，连接 CO，设 CO 与 BD 交于 M， 则由 CD：BCBC
37、：MO 知BCDOBC，所以BCOCDB， 所以BCM+CBMCDB+CBM90，故 BDCO 由知 BD平面 PCO， 所以 PCBD （2）解：由 ADAB，平面 PAB平面 ABCD，交线为 AB，可得 AD平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PAD，交线为 PA， 过 B 作 BHPA，垂足为 H，则 BH平面 PAD， BD 与平面 PAD 所成的角即为角 BDH， 所以 BHBD， 从而三角形 PAB 为等边三角形，PO（8 分） （也可用向量法求出 PO： ） 设 P（0，0，h） ，则 A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，D（，1，0） ， 可求得平面 PAD 的一个法向
38、量为 （0，h，1） ， 而，由 cos ，sin45可解得 h， 设平面 BPC 的一个法向量为 ， 则， 可取 （0，1） ， 设平面 DPC 的一个法向量为 ， 则， （0， 2， 0） ， 可取 （，0，） ， 于是 cos，（11 分） 故二面角 BPCD 的余弦值为（12 分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 21 （12 分）过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，且|MN|2 （1）求 p 的值； （2）抛物线 C 上一点 Q（x0，1） ，直
39、线 l：ykx+m（其中 k0）抛物线 C 交于 A，B 两个不同的点（A，B 均 与点 Q 不重合）设直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，k1k2，直线 l 是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由 【分析】 （1） 求得抛物线的焦点 F 和准线方程， 设出 MN 的方程， 联立抛物线方程，可得 x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值； （2）求得抛物线方程和 Q 的坐标，设出 A，B 的坐标，联立直线 l 的方程和抛物线方程，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得 m+13k，即可得到直线 l 恒过的定点 【解答】解： （1）抛物
40、线 C：y22px（p0）的焦点 F（，0） ，准线方程为 x， 过焦点 F（，0）且斜率为 1 的直线方程设为 yx， 代入抛物线的方程可得 x23px+0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可得 x1+x23p， 由抛物线的定义可得|MN|x1+x2+p3p+p2，可得 p； （2）由（1）可得抛物线的方程为 y2x， 从而可得 Q（1，1） ，设 A（x3，y3） ，B（x4，y4） ， 由 ykx+m 与抛物线方程 y2x 联立，可得 ky2y+m0，k0， 14km0，y3+y4，y3y4， k1k2， 即有 m+13k，满足0， 则直线 l：yk（x3）1，即直线 l
41、恒过定点（3，1） 【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题 22 （14 分）已知函数 f（x）ex（sinxax2+2ae） ，其中 aR，e2.71828为自然数的底数 （1）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当a1 时，求证：对任意的 x0，+） ，f（x）0 【分析】 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可 （2）对任意的 x0，+） ，f（x）0 转化为证明对任意的 x0，+） ，sinxax2+2ae0，即可，构造函数，求函数
42、的导数，利用导数进行研究即可 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）ex（sinxe） ， 则 f（x）ex（sinxe）+excosxex（sinxe+cosx） ， sinx+cosxsin（x+）e， sinx+cosxe0 故 f（x）0 则 f（x）在 R 上单调递减 （2）当 x0 时，yex1， 要证明对任意的 x0，+） ，f（x）0 则只需要证明对任意的 x0，+） ，sinxax2+2ae0 设 g（a）sinxax2+2ae（x2+2）a+sinxe， 看作以 a 为变量的一次函数， 要使 sinxax2+2ae0， 则，即， sinx+1e0 恒成立，恒成立， 对于，令 h（x）sinxx2+2e， 则 h（x）cosx2x， 设 xt 时，h（x）0，即 cost2t0 t，sintsin， h（x）在（0，t）上，h（x）0，h（x）单调递增，在（t，+）上，h（x）0，h（x）单调递减， 则当 xt 时，函数 h（x）取得最大值 h（t）sintt2+2esint（）2+2e sint+2esin2t+sint+e（+1）2+e（）2+ee0， 故式成立， 综上对任意的 x0，+） ，f（x）0 【点评】本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键综合性较强，难度较大
