1、 7.6用锐角三角函数解决问题 专项练习1、 单选题1如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( )ABCD2如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )ABCD103如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DFAE于点F，连接CF，FGCF交AD于点G，下列结论：CF=CD；G为AD中点；DCFAGF；，其中结论正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个4如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点
2、O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tanAON的值为（）ABCD5如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米（，结果保留两位有效数字）A11B8.5C7.2D106某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北编东53°方向请计算一下南门与历下亭之间的距离约为（）（参考数据：，）A225B275C300D3
3、157如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，己知旗杆所在平台的高度为3.5米，则旗杆的高度为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，）A19.8米B19.7米C18.3米D16.2米8如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是( )A
4、74cmB64cmC54cmD44cm9在ABC中，B45°，AC4，则ABC面积的最大值为（ ）A4B44C8D8+810如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）.ABCD11如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设CAB，那么拉线BC的长度为（）ABCD12如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB20米，AC30米，A150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（）A450a元B225a元C150a
5、元D300a元2、 填空题13如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_14如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线于点B3，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为_15如图，在ABC中，A=90°，B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_16如图在ABC中，ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点若DE平分ABC的周长，则DE的长是_17如图，在正方形ABCD中，B
6、PC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H给出下列结论：ABEDCF；DP2=PHPB；其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）18 已知：在ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_19如图，在边长为4的菱形ABCD中，A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，则线段AC长度的最小值是_20如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间
7、的距离均为，则图中阴影部分的面积为_(结果保留根号) 21如图，直线l1x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O，B的直线l4交l 2于点E当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2（1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为_；（2）若点B在直线l1上，且S2=S1，则BOA的度数为_22图1是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OCOD10分米，展开角COD60°，晾衣臂OAOB1
8、0分米，晾衣臂支架HGFE6分米，且HOFO4分米当AOC90°时，点A离地面的距离AM为_分米；当OB从水平状态旋转到OB（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处，则BEBE为_分米23如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上则甲船追赶乙船的速度为_海里/小时？24已知：如图，在ABC中，cosABC=，sinACB
9、=，AC=2，分别以AB，AC为边向ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则AM的长为_三、解答题25如图1和图2，在中，点在边上，点，分别在，上，且点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒若，请直接写出点被扫描到的总时长26如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线
10、上一点，求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，求CF的长27如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上（1） 求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高（参考数据：）28如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面（点在同
11、一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）（参考数据）参考答案1A【分析】根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.【详解】四边形OABC是正方形，且，将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，继续旋转则，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，发现是8次一循环，所以余3，点的坐标为，故选A【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的
12、关键.2B【分析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题【详解】如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB=90°，tanA=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，a2=20，a=2或-2（舍弃），BE=2a=4，AB=AC，BEAC，CMAB，CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等）DBH=ABE，BHD=BEA，DH=BD，CD+BD=CD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4故选B【点睛】本题考查
13、解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型3D【分析】如图，作CMDF于M首先证明DAFCDM，推出DM=AF，再证明DF=2AF，推出DM=MF，推出CD=CF，再证明GDF=GFD，推出GD=GF，再证明GF=GA即可证明GA=GD，由此即可一一判断.【详解】如图，作CMDF于M四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，DAB=B=ADC=90°，ADF+CDF=90°，CDF+DCM=90°，ADF=DCM，DFAE，CMDF，AFD=CMD=90°，DAFCDM，
14、CM=DF，DM=AF，ADF+DAE=90°，DAE+BAE=90°，BAE=ADF，BE=CE，AB=2BE，tanBAE=tanADF=，DM=MF，CMDF，CD=CF，故正确，CDF=CFD，CDG=CFG=90°，GFD=GDF，GF=GD，GDF+DAF=90°，GFD+AFG=90°，GAF=GFA，GF=GA，GD=GA，G是AD中点，故正确，AFD=GFC，AFG=CFD，GAF=CDF，DCFAGF，故正确，设AF=a，则DF=2a，AB=a，BE=a，AE=a，EF=a，故正确，故选D【点睛】本题考查正方形的性质、全等三
15、角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.4A【分析】过O作OCAB于C，过N作NDOA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在RtNDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tanAON=求出即可【详解】过O作OCAB于C，过N作NDOA于D，N在直线y=x+3上，设N的坐标是（
16、x，x+3），则DN=x+3，OD=-x，y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在AOB中，由勾股定理得：AB=5，在AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，3×4=5OC，OC=，在RtNOM中，OM=ON，MON=90°，MNO=45°，sin45°=，ON=，在RtNDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（x+3）2+（-x）2=()2，解得：x1=-，x2=，N在第二象限，x只能是-，x+3=，即ND=，OD=，tanAON=故选A【
17、点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强5D【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度CHAE=EH即为AC长度【详解】过点B作BEAC于点E，延长DG交CA于点H，得RtABE和矩形BEHGi=，设BE=4x，则AE=3x，AB=5xAB=10.5，x=2.1，BE=8.4，AE=6.3DG=1.6，BG=0.7，DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7
18、在RtCDH中，C=FDC=30°，DH=10，tan30°=，CH17又CH=CA+7，即17=CA+7，CA=177=10（米）故选D【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键6C【分析】如图，作于设，构建方程组求出，即可解决问题【详解】如图，作于设，在中，即，在中，即，解得，（），故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型7C【分析】作于点G，作
19、的延长线于点H，根据勾股定理和坡度比求得CH和DH的长，然后根据两个正切值分别表示处AF，并求得AF的长，最终根据AF-BF即可求解AB的长【详解】作于点G，作的延长线于点H，设CH=3x，则DH=4x，在中解得x=0.7CH=2.1，DH=2.8根据题意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF，FG=CH=2.1AG=0.7CG又AF=2.1EF解得EF=10.4AB=AF-BF=21.8-3.5=18.3（米）故选C【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，关键是作出辅助线，用两种方法表示AF并求解AF8B【解析】【分析】首先过A作AM垂直PC于点M，过点B作BN垂
20、直DQ于点N，再利用三角函数计算AM和BN，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A作AM垂直PC于点M，过点B作BN垂直DQ于点N 所以 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.9B【解析】：B=45°，AC=b=4，由余弦定理cosB= 得： ， ，即 （当且仅当a=c时取等号），ac ,ABC面积S= ,则ABC面积的最大值为,故选B【点睛】利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sin
21、B的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值10B【分析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可.【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= ， 所以可得 因此可得 故选B.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.11B【详解】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由CAD+ACD=90°，ACD+BCD=90°，可求得CAD=BCD，然后在RtBCD中 cosBCD=，可得BC=.故选B点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键12C【解析】【分析】
22、过点C作CDBA交BA的延长线于点D，则DAC=30°，由AC=30m，求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式推出ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果【详解】如图，过点C作CDBA交BA的延长线于点D，BAC=150°，DAC=30°，CDBD，AC=30m，CD=15m，AB=20m，SABC=AB×CD=×20×15=150m2，草皮的售价为a元/米2，购买这种草皮的价格：150a元故选C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据
23、相关的性质求出高CD的长度，正确的计算出ABC的面积13【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决【详解】联立得，解得，或，点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，得，直线的函数解析式为，当时，即点的坐标为，将代入直线中，得，直线与轴的夹角是，点到直线的距离是：，的面积是：，故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答14【详解】解：AnBn+1x轴，tanAn
24、Bn+1Bn=当x=1时，=，点B1的坐标为（1，），A1B1=1，A1B2= =11+A1B2=，点A2的坐标为（，），点B2的坐标为（，1），A2B2=1，A2B3=，点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，）同理，可得：点An的坐标为（，）故答案为【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型，通过解直角三角形找出点A2、A3、An的坐标是解题的关键156【分析】取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案【详解】解：如图， 取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，
25、使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短， 过A作于H，则由 为BC的中点， 即的最小值为6故答案为：6【点睛】本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键16 【解析】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可【详解】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，DE平分ABC的周长， AD=DB，BE=CE+AC，ME=EB，又
26、AD=DB，DE=AM，DEAM，ACB=60°，ACM=120°，CM=CA，ACN=60°，AN=MN，AN=ACsinACN=，AM=，DE=，故答案为【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键17【分析】由正方形的性质易得到A=ADC，ABE=DCF，AB=CD，即可证全等；证DFPBPH，可得证DPHCPD可推出，而PB=CD，则可得如图，过P作PMCD，PNBC，设边长为4，先求出PM，PN，再求出BPD的面积，即可得出比值【详解】BPC是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=P
27、CB=BPC=60°，在正方形ABCD中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90°，ABE=DCF=30°，在ABE与CDF中，A=ADC，ABE=DCF，AB=CD，ABEDCF，故正确；PC=CD，PCD=30°，DF=,根据勾股定理CD=FCPDC=75°，FDP=15°，DBC=45°，PBD=15°，FDP=PBD，DFP=BPC=60°，DFPBPH，故错误；PDH=PDC-BDC=30°PDH=PCD=30°，DPH=DPC，DPHCPD，PB=CD，故正确；如图，过
28、P作PMCD，PNBC，设正方形ABCD的边长是4，BPC为正三角形，PBC=PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，PCD=30°PN=PBsin60°=4×=，PM=PCsin30°=2，SBPD=S四边形PBCDSBCD=SPBC+SPDCSBCD=，故答案为【点睛】本题考查了1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质，是一道综合性很强的几何题，难度较大，关键是找出相似三角形.18或【详解】解：分两种情况：ABC为锐角三角形时，如图1作ABC的高AD，BE为AC边的中线在直角ACD中，AC=a，cosC=，CD
29、=a，AD=a在直角ABD中，ABD=45°，BD=AD=a，BC=BD+CD=a在BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BCECcosCBE=；ABC为钝角三角形时，如图2作ABC的高AD，BE为AC边的中线在直角ACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a在直角ABD中，ABD=45°，BD=AD=a，BC=BD+CD=a在BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BCECcosCBE=综上可知AC边上的中线长是或19 【详解】解：如图所示：MA是定值，AC长度取最小值时，即A在MC上时，过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A=
30、60°，M为AD中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60°，FMD=30°，FD=MD=1，FM=DM×cos30°=，AC=MCMA=故答案为【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A点位置是解题关键20【分析】过顶点A作AB大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可【详解】如图：过顶点A作AB大直角三角形底边由题意： =cm小等腰直角三角形的直角边为cm大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2小等腰直角三角形面积为=3
31、6-16cm2 【点睛】本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算21（2，0） 15°或75° 【解析】（1）设B的坐标是（2，m），则BCD是等腰直角三角形，设直线l4的解析式是y=kx，则2k=m，解得：直线l4的解析式是根据题意得：，解得：E的坐标是（，）当S1=S2时，解得：m=0，m=4（不在线段AC上，舍去），m=3（l2和l4重合，舍去）B的坐标是（2，0）（2）分三种情况：当点B在线段AC上时（如图1），由S2=S 1得：解得：或（不在线段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）AB=在OA上取
32、点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x，则AF=2x，根据勾股定理，得，解得sinBFA=BFA=30°BOA=15°当点B在AC延长线上时（如图2），此时，,由S2=S 1得：解得：或（不在AC延长线上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）AB=在AB上取点G，使BG=OG，连接OG，设BG=OG=x，则AG=，根据勾股定理，得，解得sinOGA=OGA =30°OBA=15°BOA=75°当点B在CA延长线上时（如图3），此时，,由S2=S 1得：解得： m=3（l2和l4重合，舍去）此时满足条件的点B不存在综上所述，BOA的度
33、数为15°或75°考点：一次函数综合题，单动点问题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类的应用22 4 【分析】如图，作OPCD于P，OQAM于Q，FKOB于K，FJOC于J解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，BE即可【详解】解：如图，作OPCD于P，OQAM于Q，FKOB于K，FJOC于JAMCD，QMPMPOOQM90°，四边形OQMP是矩形，QMOP，OCOD10，COD60°，COD是等边三角形，OPCD，COPCOD30°，QMOPOCcos30°5（分米），AOCQOP
34、90°，AOQCOP30°，AQOA5（分米），AMAQMQ55OBCD，BODODC60°在RtOFK中，KOOFcos60°2（分米），FKOFsin60°2（分米），在RtPKE中，EK2（分米），BE1022（82）（分米），在RtOFJ中，OJOFcos60°2（分米），FJ2（分米），在RtFJE中，EJ2，BE10（22）122，BEBE4故答案为55，4【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型23【分析】根据题意画图，过O向AB作垂线，根据特殊角的三角
35、函数值求得AC、BC的值，从而求得AB的值根据追及问题的求法求甲船追赶乙船的速度【详解】如图：乙沿南偏东30°方向航行则DOB=30°，甲沿南偏西75°方向航行，则AOD=75°，当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船，则2=90°60°=30°3=AOD=75°，1=90°75°=15°，故1+2=15°+30°=45°过O向AB作垂线，则AOC=90°12=90°15°30°=45°OA=
36、10，OAB=AOC=45°，OC=AC=OAsin45°=10×=10在RtOBC中，BOC=AOD+BODAOC=75°+30°45°=60°，BC=OCtan60°=10，AB=AC+BC=10+10因为OC=10海里，B=30°，所以OB=2OC=2×10=20，乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时，由于甲从O到A所用时间为1小时，则从A到B所用时间为21=1小时，甲船追赶乙船的速度为（10+10）海里/小时【点睛】本题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形
37、的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想24【分析】过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，构造全等三角形，得出AE=FH=AC，AM=MH=AH，再根据AFHBAC（SAS），即可得到AM=BC，最后过A作APBC于P，求得BC的值，即可得到AM的长【详解】如图，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，则HFM=AEM，H=EAM，点M是EF的中点，FM=EM，FHMEAM，AE=FH=AC，AM=MH= AH，四边形ABCF是正方形，AF=BA，AFH+FAE=180°，CAB+HFA=180°，AFH=BAC，在AFH和BAC中， ，AFHBAC（SAS），
38、AH=BC=2AM，即AM= BC，如图，过A作APBC于P，cosABC= ，sinACB= ，AC=2，AP=AC×sinACB=2× = ，CP= AC=1，BAP=45°=ABP，BP=AP= ，BC= +1，AM= BC= ，故答案是： 【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及直角三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算25（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）【分析】（1）根据当点在上时，PABC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证
39、明APQABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0x3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3x9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间【详解】（1）当点在上时，PABC时PA最小，AB=AC，ABC为等腰三角形，PAmin=tanC·=×4=3；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，S上=SAPQ，S下=S四边形BPQC，PQ
40、BC，APQABC，当=时，AE=·，根据勾股定理可得AB=5，解得MP=；（3）当0x3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，d=PQ，AP=x+2，PQ=，d=，当3x9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，综上；（4）AM=2<AQ=，移动的速度=，从Q平移到K，耗时：=1秒，P在BC上时，K与Q重合时CQ=CK=5-=，APQ+QPC=B+BAP，QPC=BAP，又B=C，ABPPCQ，设BP=y，CP=8-y，即，整理得y2-8y=，（y
41、-4）2=，解得y1=，y2=，÷=10秒，÷=22秒，点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键26证明见解析；【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；先根据三角函数计算，证明，得，设，利用勾股定理列方程可得x的值，证明，列比例式可得CF的长【详解】（1）如图，连接OC，为的直径，即，为的切线；中，设，中，舍或，设，【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握
42、相似三角形的判定与性质是解题的关键.27（1）古树BH的高为11.5米；（2）教学楼CG的高约为25米【分析】（1）由知，据此得；（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得x的值，代入计算可得【详解】解：（1）在中，古树的高为11.5米；（2）在中，设米，则米，在中，解得：，答：教学楼CG的高约为25米【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型六、拓展探索题28（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米【分析】（1）在RtACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度（2）在RtBCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可【详解】解：（1）垂直于桥面在中，（米）答：大桥主架在桥面以上的高度为米 （2）在中，（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提
