1、第第 28 章章 锐角三角函数锐角三角函数 专项训练专项训练 专训专训 1 求锐角三角函数值的常用方法求锐角三角函数值的常用方法 名师点金： 锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比 直接用锐角三角函数的定义 1如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD5，AC6， (第 1 题) 则 tan B 的值是( ) A.45 B.35 C.34 D.43 2如图，在ABC 中， ADBC，垂足是 D，若 BC14，AD12，tan BA
2、D34，求 sin C 的值 (第 2 题) 3如图，直线 y12x32与 x 轴交于点 A，与直线 y2x 交于点 B. (1)求点 B 的坐标； (2)求 sinBAO 的值 (第 3 题) 利用同角或互余两角三角函数间的关系 4若A 为锐角，且 sin A32，则 cos A( ) A1 B.32 C.22 D.12 5若 为锐角，且 cos1213，则 sin(90 )( ) A.513 B.1213 C.512 D.125 6若 为锐角，且 sin2cos230 1，则 _ 巧设参数 7在 RtABC 中，C90 ，若 sin A45，则 tan B 的值为( ) A.43 B.34
3、 C.35 D.45 8已知，在ABC 中，A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 a，b，c 满足 b2(ca)(ca)若 5b4c0，求 sin Asin B 的值 利用等角来替换 9如图，已知 RtABC 中，ACB90 ，CD 是斜边 AB 的中线，过点 A 作 AECD，AE 分别与 CD，CB 相交于点 H，E 且 AH2CH，求 sin B 的值 (第 9 题) 专训专训 2 同角或互余两角的三角函数关系的应用同角或互余两角的三角函数关系的应用 名师点金： 1同角三角函数关系：sin2 cos21，tan sin cos . 2互余两角的三角函数关系：sin cos(90
4、)，cos sin(90 )，tan tan(90 )1.21cnjy 同角间的三角函数的应用 1已知sin Acos A4，求sin A3cos A4sin Acos A的值 2若 为锐角，sin cos 22，求 sin cos 的值 余角间的三角函数的应用 3若 45 和 45 均为锐角，则下列关系式正确的是( ) Asin(45 )sin(45 ) Bsin2(45 )cos2(45 )1 Csin2(45 )sin2(45 )1 Dcos2(45 )sin2(45 )1 4计算 tan 1 tan 2 tan 3 tan 88 tan 89 的值 同角的三角函数间的关系在一元二次方程
5、中的应用 5已知 sin cos 1225( 为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为 sin 和 cos . 6已知 为锐角且 sin 是方程 2x27x30 的一个根，求 12sin cos 的值 专训专训 3 用三角函数解与圆有关问题用三角函数解与圆有关问题 名师点金： 用三角函数解与圆有关的问题， 是近几年中考热门命题内容， 题型多样化； 一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视 一、选择题 1如图，已知ABC 的外接圆O 的半径为 3，AC4，则 sin B( ) A.13 B.34 C.45 D.23 (第 1 题) (第 2 题) 2如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆
6、O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交AB 于 D，已知 cosACD35，BC4，则 AC 的长为( ) A1 B.203 C3 D.163 3在ABC 中，ABAC5，sin B45.O 过 B，C 两点，且O 半径 r 10，则 OA的长为( ) A3 或 5 B5 C4 或 5 D4 4如图，在半径为 6 cm 的O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧 BC 上一点，且D30 .下列四个结论： (第 4 题) OABC； BC6 3 cm； sinAOB32； 四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题 5如图，AB 是O
7、 的直径，AB15，AC9，则 tanADC_. (第 5 题) (第 6 题) 6如图，直线 MN 与O 相切于点 M，MEEF 且 EFMN，则 cos E_. 7如图，在半径为 5 的O 中，弦 AB6，点 C 是优弧 AB 上的一点(不与 A，B 重合)，则 cos C 的值为_ (第 7 题) (第 8 题) 8如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是直角梯形，BCOA，P 分别与 OA，OC，BC 相切于点 E，D，B，与 AB 交于点 F，已知 A(2，0)，B(1，2)，则 tanFDE_. 三、解答题 9如图，RtABC 中，C90 ，AC 5，tan B12，半径为 2
8、的C 分别交 AC，BC于点 D，E，得到DE. (1)求证：AB 为C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积 (第 9 题) 10如图，AB 是O 的直径，ABT45 ，ATAB. (1)求证：AT 是O 的切线； (2)连接 OT 交O 于点 C，连接 AC，求 tanTAC 的值 (第 10 题) 11.如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DEAD且与 AC 的延长线交于点 E. (1)求证：DCDE； (2)若 tanCAB12，AB3，求 BD 的长 (第 11 题) 12如图，以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC，BC
9、的交点分别为 D，E，且DEBE. (1)试判断ABC 的形状，并说明理由； (2)已知半圆的半径为 5，BC12，求 sinABD 的值 (第 12 题) 13如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 E，点 O 在线段 AE上，O 过 B，D 两点，若 OC5，OB3，且 cosBOE35. 求证：CB 是O 的切线 (第 13 题) 答案答案 专训1 1C 2解：ADBC，tan BADBDAD. tan BAD34，AD12，34BD12，BD9. CDBCBD1495， 在 RtADC 中，AC AD2CD2 1225213， sin CADAC1213.
10、3解：(1)解方程组y12x32，y2x，得x1，y2， 点 B 的坐标为(1，2) (第 3 题) (2)如图，过点 B 作 BCx 轴于点 C，由12x320，解得 x3， 则 A(3，0)，OA3， AB AC2BC22 5， sin BACBCAB22 555， 即 sin BAO55. 4D 5.B 6.30 7.B 8解：b2(ca)(ca)，b2c2a2， 即 c2a2b2，ABC 是直角三角形 5b4c0，5b4c， 则bc45，设 b4k，c5k，那么 a3k. sin Asin B3k5k4k5k75. 9解：CD 是斜边 AB 的中线， CDADBD. DCBB. ACD
11、DCB90 ，ACDCAH90 ， DCBCAHB. 在 RtACH 中，AH2CH， AC 5CH.sin Bsin CAHCH5CH55. 专训2 1分析：本题可利用sin Acos A求解，在原式的分子、分母上同时除以 cos A，把原式化为关于sin Acos A的代数式，再整体代入求解即可也可直接由sin Acos A4，得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值 解：(方法 1)原式（sin A3cos A） cos A（4sin Acos A） cos Asin Acos A34sin Acos A1. sin Acos A4，原式43441117. (方法
12、 2)sin Acos A4，sin A4cos A. 原式4cos A3cos A44cos Acos Acos A17cos A117. 2分析：要求 sin cos 的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解 解：sin cos 22，(sin cos )212， 即 sin2cos22sin cos 12. 12sin cos 12，即 2sin cos 12. (sin cos )2sin2cos22sin cos 11232. 又 为锐角，sin cos 0. sin cos 62. 3C 点拨：(45 )(45 )90 ，sin (45 )cos (45 )
13、，sin2(45 )sin2(45 )cos2(45 )sin2(45 )1. 4解：tan 1 tan 2 tan 3 tan 88 tan 89 (tan 1 tan 89 ) (tan 2 tan 88 ) (tan 44 tan 46 ) tan 45 1.www-2-1-cnjy-com 点拨：互余的两角的正切值的积为 1，即若 90 ，则 tan tan 1. 5解：sin2cos21，sin cos 1225， (sin cos )2sin2cos22sin cos 1212254925. 为锐角，sin cos 0.sin cos 75. 又sin cos 1225， 以 si
14、n ，cos 为根的一元二次方程为 x275x12250. 点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式 sin2cos21 与完全平方公式的综合运用；(2)若 x1x2p，x1x2q，则以 x1，x2为两根的一元二次方程为 x2pxq0.2-1-c-n-j-y 6解：sin 是方程 2x27x30 的一个根， 由求根公式，得 sin （7） （7）2423227 54. sin 12或 sin 3(不符合题意，舍去) sin2cos21，cos2112234. 又cos 0，cos 32. 12sin cos sin2cos22sin cos （sin cos ）2|sin cos |123231
15、2. 专训3 一、1.D 2D 点拨：AB 为直径，ACB90 .又CDAB，BACD.cos BBCAB35，AB203.AC AB2BC2163. 3A 4.B 二、5.34 6.12 7.45 8.12 三、 (第 9 题) 9(1)证明：如图，过点 C 作 CFAB 于点 F，在 RtABC 中，tan BACBC12，BC2AC25.ABAC2BC2（ 5）2（2 5）25，CFAC BCAB52 552.AB 为C 的切线 (2)解：S阴影SABCS扇形CDE12AC BCnr236012 52 590223605. 10(1)证明：ABAT，ABTATB45 ，BAT90 ，即
16、AT 为O 的切线 (2)解：如图，过点 C 作 CDAB 于 D，则TACACD，tan TOAATAOCDOD2，设 ODx， 则 CD2x， OC 5xOA.ADAOOD( 51)x， tan TACtan ACDADCD（ 51）x2x512. (第 10 题) (第 11 题) 11(1)证明：连接 OC，如图，CD 是O 的切线， OCD90 ，ACODCE90 . 又EDAD，EDA90 ，EADE90 .OCOA，ACOEAD，故DCEE，DCDE. (2)解： 设 BDx， 则 ADABBD3x， ODOBBD1.5x.在 RtEAD 中， tan CAB12， ED12AD
17、12(3x) 由(1)知， DC12(3x) 在 RtOCD 中， OC2CD2DO2，则 1.5212（3x）2(1.5x)2，解得 x13(舍去)，x21，故 BD1. 12解：(1)ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE，如图， DEBE，DAEBAE，即 AE 平分BAC. AB 为直径，AEB90 ，AEBC， ABC 为等腰三角形 (2)ABC 为等腰三角形，AEBC， BECE12BC12126. 在 RtABE 中，AB10，BE6，AE102628. AB 为直径，ADB90 ， SABC12AE BC12BD AC，BD81210485. 在 RtABD 中，AB10，BD485， AD AB2BD2145，sin ABDADAB14510725. (第 12 题) (第 13 题) 13证明：如图，连接 OD，可得 OBOD. ABAD，AE 垂直平分 BD. 在 RtBOE 中，OB3，cos BOE35，OE95. CEOCOE165. 根据勾股定理得 BEBO2OE2125. 在 RtCEB 中，BCCE2BE24. OB3，BC4，OC5，OB2BC2OC2， OBC90 ，即 BCOB，CB 为O 的切线
