1、6.2 黄金分割黄金分割 专项练习专项练习 一、单选题一、单选题 1 生活中到处可见黄金分割的美 如图， 点 C 将线段 AB 分成 AC、 CB 两部分， 且 ACBC， 如果ABACACCB，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点 若 C 是线段 AB 的黄金分割点， AB2， 则分割后较短线段长为 （ ） A51 B35 C2 53 D52 2世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高 AB 为 339 米，观光区 P 为塔 AB 的黄金分割点(APPB)，那么 AP 的高度大约为（ ）米 A200 B210 C300 D130 3
2、点C是线段AB的黄金分割点，且6ABcm，则BC的长为（ ） A3 53 cm B93 5 cm C3 53 cm或93 5 cm D93 5 cm或6 56 cm 4已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，则:AP PB的值为（ ） A512 B512 C0.618 D51 5如图，线段 AB1，点 P1是线段 AB 的黄金分割点(且 AP1BP1，即 P1B2AP1AB)，点 P2是线段 AP1的黄金分割点(AP2P1P2)，点 P3是线段 AP2的黄金分割点(AP3P2P3)，依此类推，则线段 AP2017的长度是( ) A(352)2017 B(512)2017 C(12)2017
3、D(52)1008 6古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G 将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足512MGGNMNMG，后人把512这个数称为“黄金分割”数， 把点 G 称为线段MN的“黄金分割”点如图，在ABCV中，已知3ABAC，4BC ，若 D，E 是边BC的两个“黄金分割”点，则ADEV的面积为（ ） A104 5 B3 55 C52 52 D208 5 7有以下命题： 如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有acbd； 如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项
4、； 如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，那么AC是AB与BC的比例中项； 如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且2AB ，则51AC 其中正确的判断有（ ） A B C D 8 采用如下方法可以得到线段的黄金分割点： 如图， 设 AB 是已知线段， 经过点 B 做 BDAB， 使12B DA B；连接 DA，在 DA 上取 DEDB，在 AB 上截取 ACAE点 C 即为线段 AB 的黄金分割点，若 BD2，则BC 的长为（ ） A512 B62 5 C5 1 D2 52 9 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄
5、金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ） A165cm B175cm C185cm D190cm 二、填空题二、填空题 10大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”如图，P为AB的黄金分割点APPB，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是_cm 11人们把512这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数设512a，512b，则1ab，记11111Sab，2221111Sab
6、，1010101111Sab则1210SSSL_ 12点P是线段AB的黄金分割点，APBP，若5BP，则AP _ 13 如图， 线段AB1， 点P1是线段AB的黄金分割点 （AP1BP1） ， 点P2是线段AP1的黄金分割点 （AP2P1P2） ，点 P3是线段 AP2的黄金分割点（AP3BC），且使 AC是 AB 和 BC 的比例中项， 叫做把线段 AB 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， 其中512ACAB 1110 【分析】 先根据1ab求出1111nnnSab（n为正整数）的值，从而可得1210,S SSL的值，再求和即可得 【详解】 解：1abQ， 111111()1
7、nnnnnnnaSabaab（n为正整数）， 11()nnnnaaaab， 111nnnaaa， 1， 12101SSSL， 则121010SSSL， 故答案为：10 【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键 125 552 【分析】 根据黄金分割的定义即可进行计算解答 【详解】 Q点P是线段AB的黄金分割点，且APBP， 512BPAP， 5BP Q， 2 55 55251AP， 故答案为：5 552 【点拨】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和()BC ACBC，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割 13352n 【解析】
8、 试题分析：若点1P是线段1AB 的黄金分割点11()APBP,则15151,22BPAB有15135122AP ,同理点2P是线段1AP的黄金分割点22 1()APPP,则2151(1)2APAP也235()2,点3P是线段2AP的黄金分割点323()APPP,则3325135(1)()22APAP也35=()2nnAP. 考点：黄金分割点. 14（4 54）cm 【分析】 利用黄金分割的定义计算出 AP. 【详解】 PQ为AB的黄金分割点APPB， 515184 5422APABcm 故答案为：（4 54）cm. 【点拨】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的512.
9、156 512 【分析】 根据黄金比值为512进行计算即可得到答案 【详解】 解：点 C 为线段 AB 的黄金分割点，AB=6， AC=512 6=35-3， BC=6-（35-3）=9-35， AC-BC=35-3-（9-35）=65-12； 故答案为：6 512 【点拨】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键 1652 【分析】 过 A 作 AHBC 于 H，先由黄金分割点的定义得 BE=CD=512BC，然后表示出 BD、DE 的长，再由三角形面积公式求解即可 【详解】 解：过 A 作 AHBC 于 H，如图所示：
10、D、E 是边 BC 的两个“黄金分割”点， BECD512BC， BDBCCDBC512BC352-BC， DEBEBD512BC352-BC(52)AB， ADE 与 ABC 的面积之比1212DEAHBCAHDEBC( 52)BCBC52， 故答案为：52 【点拨】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项 （即 AB： AC=AC： BC） ， 叫做把线段 AB 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 其中 AC=512AB，并且线段 AB 的黄金分割点有两个 17错误 【解析】 【分析】 先根据黄金分
11、割的定义列式计算 AC 的长，再进行比较即可判断 【详解】 由已知可得5151555552222ACAB. 故答案为：错误 【点拨】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值5-12叫做黄金比，熟记定义是解题的关键 18512或532 【分析】 根据黄金分割点的定义，分线段 AC 为较长的线段和较短的线段两种情况解答即可. 【详解】 若 AC 是较长的线段，AC=1cm， AB512=AC=1， 解得 AB=512； 若 AC 是较短的线段，AC=1cm， AB352-=AC=1， 解得 AB=532 ，
12、 综上所述，AB 的长是512或532 故答案为512或532 【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，解题时注意这里的 AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算是解题的关键 194 【解析】 【分析】 根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割 【详解】 由题意得：AB BC=AC2=4. 故答案为：4. 【点拨】此题考查黄金分割，解题关键可知与掌握其概念. 20（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）无数条 【解析】解： （1）满足0.618 的矩形是黄金矩形； （2）由=k 得，BP=1 k=
13、k，从而 AP=1k， 由得，BP2=AP AB， 即 k2=（1k） 1， 解得 k=， k0， k=0.618； （3）因为点 P 是线段 AB 的黄金分割点，所以， 设 ABC 的 AB 上的高为 h，则 ， 直线 CP 是 ABC 的黄金分割线 （4）由（2）知，在 BC 边上也存在这样的黄金分割点 Q，则 AQ 也是黄金分割线，设 AQ 与 CP 交于点 W，则过点 W 的直线均是 ABC 的黄金分割线，故黄金分割线有无数条 （1）类比黄金三角形的定义进行定义； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条 213
14、5 【分析】 首先根据正五边形的相关性质判定四边形 ABNE 为平行四边形，进而求出 EN 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到 MN 的长. 【详解】 解：五边形 ABCDE 为正五边形 AEAB，108EAB 36AEBABE 同理可得36CBD 1083672ABD 10872180EABABD AEBD 同理可证明 ECAB 四边形 ABNE 为平行四边形 ENAB2 M、N 为 CE 的黄金分割点 M 点为 EN 的黄金分割点 EM512EN51 2( 51) 35MN， 故答案为：35 【点拨】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，黄金分割点等相关内容，熟练
15、掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键. 22(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算； (2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念 【详解】 解：=,=， 又D 是 AB 的黄金分割点， =，=， CD 是 ABC 的黄金分割线； (2)不是 CD 是 ABC 的中线， AD=DB， =12， 而= 1， ， 中线不是黄金分割线 【点拨】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式 23（1）对；理由见解析；（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；（3）理由见解析
16、；（4）图见解析 【详解】 （1）解：直线CD是ABCV的黄金分割线理由如下： 设ABCV的边AB上的高为 h 则12ADCSAD h，12BDCSBD h，12ABCSAB hV， ADCABCSADSAB，BDCADCSBDSAD 又点 D 为边AB的黄金分割点， ADBDABAD， ADCBDCABCADCSSSS 故直线CD是ABCV的黄金分割线； （2）解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 1212SSS，即121SSSS 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线； （3）解：/DFCE， DFC和DFE的公共边DF上的高也相等， DFCDFESS， ADCADFDFCA
17、DFDFEAEFSSSSSS， BDCBEFCSS四边形 又ADCBDCABCADCSSSS， BEFCAEFABCAEFSSSS四边形 因此，直线EF也是ABCV的黄金分割线； （4）解：画法不唯一，现提供两种画法； 画法一：如解图，取EF的中点 G，再过点 G 作一条直线分别交AB，DC于 M，N 点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线 画法二：如解图，在DF上取一点 N，连接EN，再过点 F 作/FMNE交AB于点 M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线 24512 【分析】 设 AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到
18、答案 【详解】 解：设1AB ，ACx，则1BCx ， 由ACBCABAC，得2ACAB CBg， 则21 (1)xx ， 整理得；210 xx ， 解得：1512x，2512x（不合题意，舍去） 故黄金比为：512 【点拨】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用 25（1）见解析；（2）4，62 5 【分析】 （1）由图形可知512AHAFEFAE，35=2BHABAH，即可求证=BHAHAHAB即证明点H是线段AB的黄金分割点 （2）根据（1）可得512ACAB，又由题意2 52AC ，即可求出AB的长，最后由BCA
19、BAC即可求出 BC 长 【详解】 （1）证明：设正方形ABCD的边长为 1，则1ABAD 点E是AD的中点， 1122AEAD 在RtABE中，由勾股定理得：22215122BEAEABEF ， 则5151222AHAFEFAE， 5135122BHABAH ， 35512=2512BHAH，51512=12AHAB， 即=BHAHAHAB 故点H是线段AB的黄金分割点 （2）解：点C是AB的黄金分割点， 根据（1）可得512 522ACAB，解得4AB ， 则42 5262 5BCABAC 故答案为 4，62 5 【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理以及理解黄金分割的定义解题的关键是正确理解题意，明确黄金分割的意义
