1、考点30 yAsin(x)的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主【基础知识回顾】 1. yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATf_x_2. 用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx_0_2_yAsin(x)0A0A03. 函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(
2、A0，0)的图象的步骤如下：4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式常见的结论有：(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)1函数ysin在区间上的简图是()【答案】A【解析】：令x0得ysin，排除B，D项，由f 0，f 0，排除C项，故选A.2为了得到函数ysin的图象，可以将函数y
3、sin 2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】B【解析】：ysinsin 2，故将函数ysin 2x的图象向右平移个单位长度，可得ysin的图象3、 函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则f的值为( )第1题图A. B. C. D. 1【答案】D【解析】由图象可得A，最小正周期T4×，则2.又fsin，得，则f(x)sin，fsinsin1.故选D.4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)Asin(x)(A>0，>0)的图象与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为_【
4、答案】、. 4【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T，从而4.5、(2018镇江期末） 函数y3sin的图象两相邻对称轴的距离为_【答案】、 【解析】、由题知函数最小正周期T.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期的一半即.6、（2020江苏镇江期中考试）设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为_【答案】【解析】由图象可得最小正周期：，即，又，又，本题正确结果：7、 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在0，上的单调减区间是_【答案】：，【解析】、：由题设可知C2的曲线方程，令，得令k0得C2在0，上的单减区间为，考向一函数yAsin(x)的图象及其变换设函数的周期为(
5、1) 求它的振幅、初相；(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3) 说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到【解析】：(1) , T， ，即2 函数的振幅为2，初相为(2) 令X2x，则列表，并描点画出图象：xX02 0101002020(3) (解法1)把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象；再把的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到的图象；最后把上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到的图象(解法2)将的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到的图象；再将的图象向左平移个单位，得到的图象；再将的图象上
6、每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象变式1、已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到【解析】(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sinX.列表如下：xX02ysinX01010y2sin(2x)02020描点画出图象，如图所示：(3)(方法1)把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象；再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐
7、标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象(方法2)将ysinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin2x的图象；再将ysin2x的图象向左平移个单位长度，得到ysinsin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y2sin的图象变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数的图象，只需把函数的图象（ ）A向左平移个单位B向左平移单位C向右平移个单位D向右平移个单位【答案】A【解析】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象于是，函数平移个单位后得到函数，即，所以有，取，答案为A变式3、（
8、2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（ ）A1B-1CD【答案】D【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，故选：D.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则a的值可以为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知，其图象向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得.答案选C.方法总结：1yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标2由函数y
9、sin x的图象通过变换得到yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”考向二 求函数yAsin(x)的解析式例2、下图为函数的一段图象(1) 请写出这个函数的一个解析式；(2) 求与(1)中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式【解析】：(1) 又A3，由的图象过， (为其中一个值)为所求(2) 设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线的对称点为，则点必在函数的图象上 ，即，与的图象关于直线对称的函数图象的解析式是变式1、(2019苏北四市期末） 函数f(x)2sin(x)(>0)的部分图象如图所示，若AB5，则的值为_【答案】、 【解析】、如图，过点A作垂直于x
10、轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在RtAMB中，AM4，BM·，AB5，由勾股定理得AM2BM2AB2，所以16225，3，.变式2、(1)已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，0<<)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)2sin Bf(x)2sinCf(x)2sin Df(x)2sin(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)_.【答案】、(1)B(2)sin【解析】、(1)由题图可知
11、A2，T2×4，故4，解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又0<<，所以.所以f(x)2sin.(2)依题意得 2，则2，即，所以f(x)sin，由于该函数图象过点，因此sin()，即sin ，而，故，所以f(x)sin.方法总结：确定yAsin(x)B(A>0，>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确
12、定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考向三 三角函数图象与性质的综合问题例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（ ）A是的一个周期B的图象可由的图象向右平移得到C的一个零点为D的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；的图象可由的图象向右平移得到，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数的图象过点，则( )A把的图象向右平移个单位得到函数的图象B函数在区间上单调递减C函数在区间内有五个零点D函数在区间上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数
13、的图象过点，所以，因此，所以，因此；A选项，把的图象向右平移个单位得到函数的图象，故A错；B选项，由得，即函数的单调递减区间是：，故B错；C选项，由得，即，因此，所以，共四个零点，故C错；D选项，因为，所以，因此，所以，即的最小值为1，故D正确；故选：D.变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（ ）A其图象可由的图象向左平移个单位得到B在单调递增C在有2个零点D在的最小值为【答案】ACD【解析】由题：，由的图象向左平移个单位，得到，所以选项A正确；令，得其增区间为在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；解，得：，所以取，所以选项C正确；，所以选
14、项D正确.故选：ACD变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或ya)的交点，即数形之间的转化问题1、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则ABCD【答案】C【解析】为奇函数，；又，又，故选C.2、【2018年高考天津理数
15、】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A在区间上单调递增 B在区间上单调递减C在区间上单调递增 D在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.则函数的单调递增区间满足，即，令可得一个单调递增区间为.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.故选A.3、【2017年高考全国理数】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再
16、把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A函数的值域与的值域不相同B把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C函数和在区间上都是增
17、函数D若是函数的极值点，则是函数的零点【答案】CD【解析】函数f（x）sinxcosxsin（x）g（x）f'（x）cosx+sinxsin（x），故函数函数f（x）的值域与g（x）的值域相同，且把函数f（x）的图象向左平移个单位，就可以得到函数g（x）的图象，存在x0=，使得函数f（x）在x0处取得极值且是函数的零点，函数f（x）在上为增函数，g（x）在上也为增函数，单调性一致，故选：CD5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）A函数在区间上单调递增B函数图象关于直线对称C函数在区间上单调递减D函数图象关于点对称【答
18、案】ABD【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到.由于，故是的对称轴，B选项正确.由于，故是的对称中心，D选项正确.由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.故选：ABD.6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数(A0，0)的部分图象如图所示若函数在区间m，n上的值域为，2，则nm的最小值是_【答案】3【解析】由图象知：，又，当时，或，或，；当时，若最小，则，本题正确结果：7、【2017年高考山东卷理数】设函数，其中.已知.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）因为，所以.由题设知，所以，.故，又，所以.（2）由（1）得.所以.因为，所以，所以当，即时，取得最小值.
