1、考点 06 基本不等式及应用 【命题解读】【命题解读】 基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查. 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、基本不等式 abab2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab. 2、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3、利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，
2、那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p (2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是q24 4、基本不等式的两种常用变形形式 (1)abab22(a，bR R，当且仅当 ab 时取等号) (2)ab2 ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号) 5、几个重要的结论 (1)a2b22ab22. (2)baab2(ab0) (3) abab2 a2b22(a0，b0) 1、 （2021 潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ） Alg(x214)lgx(x0) Bsinx1sin x2(xk，kZ) C212xx xR D211x 1(xR) 【答
3、案】C 【解析】 当 x0 时，x2142x12x，所以 lg(x214)lgx(x0)，故选项 A 不正确； 当 xk，kZ 时，sinx 的正负不能确定，故选项 B 不正确； 因为 22+1()12xxx xR，所以选项 C 正确； 当 x0 时，有211x 1，故选项 D 不正确 故选：C. 2、若正数,m n满足21mn，则11mn的最小值为（ ） A.32 2 B.32 C.22 2 D.3 【答案】A 【解析】由题意，因为21mn， 则111122() (2)33232 2nmnmmnmnmnmnmn ， 当且仅当2nmmn，即2nm时等号成立， 所以11mn的最小值为32 2，故
4、选 A。 3、（2020 湖南雅礼中学期中） （多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A若，则； B若则； C若，则； D若，则. 【答案】AD ,(0,)a b2baab,(0,)x ylglg2 lglgxyxyaR0a44aa , x yR0 xy 2xyyx 【解析】 对于选项 A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A 正确； 对于选项 B， 当时，显然不成立， 即选项 B 错误； 对于选项 C，当时，显然不成立，即选项 C 错误； 对于选项 D，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项 D 正确， 即四个推段中正确的为 AD， 故答案为 AD. 4、已知 a0, b0，且2
5、a3b ab，则 ab 的最小值是_ 【答案答案】 2 6 【解析】 、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式 因为 ab2a3b22a3b，所以 ab2 6，当且仅当2a3b 6时，取等号 5、一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大 【答案答案】15 152 【解析】设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x2y30，所以 Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152时取等号 6、(一题两空)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_
6、【答案答案】2 94 【解析】a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab12a 2b12a2b222，当且仅当 a2b，即a2， b1 时等号成立， ab 的最大值为 2.1a2b1a2ba2b41452ba2ab1452 2ba2ab94，,(0,)a b22babaababbaabab,(0,1)x ylg ,lg(,0)xy lglg2 lglgxyxy0a 44aa 0 xy 0,0yxxy()()2 ()()2xyxyxyyxyxyx ()()xyyx xy 当且仅当 ab 时等号成立，1a2b的最小值为94. 考向一 运用基本不等式求函数的最值 例 1、 （2020 届山东省泰安市
7、高三上期末）若33log21logabab ，则2ab的最小值为（ ） A6 B83 C3 D163 【答案】C 【解析】 33log21logabab ， 33log21 logabab 3log3ab， 23abab，且0a，0b， 123ab， 112223ababab122143baab5233baab 52233b aa b3， 当且仅当baab且123ab即1ab时，等号成立； 故选：C 变式 1、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考） 已知0a，0b， 若不等式41mabab恒成立，则 m 的最大值为（ ） A10 B12 C16 D9 【答案】D 【解析】 由已知0a
8、，0b，若不等式41mabab恒成立， 所以41()mabab恒成立， 转化成求41()yabab的最小值， 4144()5529bab ayabababab，所以9m 故选：D 变式 2、 (1)已知 0 x1，则 x(43x)取得最大值时 x 的值为_ (2)已知 x1)的最小值为_ 【答案】(1)23 (2)1 (3)2 32 【解析】 (1)x(43x)13(3x) (43x)133x43x2243， 当且仅当 3x43x，即 x23时，取等号 故所求 x 的值为23. (2)因为 x0， 则 f(x)4x214x554x154x3231. 当且仅当 54x154x，即 x1 时，取等
9、号 故 f(x)4x214x5的最大值为 1. (3)yx22x1x22x12x23x1 x122x13x1 (x1)3x122 32. 当且仅当 x13x1，即 x 31 时，取等号 方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解 (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 考向二 基本不等式中 1 的运用 例 2、 （2020 届山东
10、省济宁市高三上期末）已知奇函数 f x在 R 上单调,若正实数, a b满足490faf b ，则11ab的最小值是( ) A1 B92 C9 D18 【答案】A 【解析】 奇函数 f x在 R 上单调，490faf b ，则499faf bfb 故49ab即49ab 11111141452 451999baabababab 当4baab即3,32ab时等号成立 故选：A 变式 1、若正实数x y，满足1xy，则4yxy的最小值是 【答案】 、8 【解析】 、因为正实数x y，满足1xy， 所以4()444yyxyyxxyxyxy424448yxxy，当且仅当4yxxy，即2yx，又1xy，即
11、12,33xy，等号成立，即4yxy取得最小值8. 变式 2、 已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则2a3b 的最小值为_ 【答案】25 【解析】 、由于直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，所以 a(b3)2b，即2a3b1(a， b 均为正数)， 所以 2a3b(2a3b)2a3b136baab1362baab25(当且仅当baab即 ab5 时取等号) 变式 3、已知正实数 a，b 满足 ab1，则bbaa421222的最小值为 【答案】 ：.11 【解析解析】 、 1174274)(41()(24212421222ba
12、abbaabbabababbaabbaa当且仅当baab4，即3231ba时取“” ，所以bbaa421222的最小值为.11 方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题 2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值， 求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法 (3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型 考向三 运用消参法解决不等式问题 例 3、(2017 苏北四市期末）. 若实数 x，y 满足 xy3x30 x
13、12，则3x1y3的最小值为_ 【答案答案】. 8 【解析解析】 、解法 1 因为实数 x，y 满足 xy3x30 x12，所以 y3x3(y3)， 所以3x1y3y31y3y31y362y31y368，当且仅当 y31y3，即 y4时取等号，此时 x37，所以3x1y3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x，y 满足 xy3x30 x12，所以 y3x3(y3)，y33x60， 所以3x1y33x13x63x613x6623x6 13x668，当且仅当3x613x6，即 x37时取等号，此时 y4，所以3x1y3的最小值为 8. 变式 1：（徐州、宿迁三检）若0,0ab，且11121abb
14、+，则2ab+的最小值为 【答案】 ：2 312+ 【解析】 、由已知等式得bbaabba222122，从而bbba212， bbbbba22122bb212321213243221，故有最小值2 312+. 变式 2、设实数 x，y 满足 x22xy10，则 x2y2的最小值是_ 【答案】512 【解析】 、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值注意中消去 y 较易，所以消去 y. 由 x22xy10 得 y1x22x，从而 x2y2x21x22x25x2414x212251612512，当且仅当 x4 1
15、5时等号成立 变式 3、已知正数, x yx，y 满足111xy，求4911xyxy的最小值 【答案】 ： 25 【解析】 、 ：法一:因为111yx ， 所以4911xyxy 49111xxy 491xxx 449191xx 4139(1)1xx 又因为1110yx ，所以1x ，即10 x 所以41391132 4 9251xx，当且仅当53x 时取等号， 所以4911xyxy的最小值为25 法二： 4911xyxy 491111xy 4911yx 94xy 1194xyxy 491325yxxy 方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和
16、为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 考向四 运用基本不等式解决含参问题 例 1、(2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym 恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】 、(，9 【解析】 、mxy 恒成立，m(xy)min. 解法 1(消元法) 由 x4yxy0， 得 yxx4， 因为 x， y 是正实数， 所以 y0， x4， 则 xyxxx4xx44x4x4x41(x4)4x452（x4）4x459， 当且仅当 x6 时， 等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 2(“1”的代换) 因为 x，y 是正实数，由 x4yxy0，得4x
17、1y1，xy(xy)4x1y4yxxy524yxxy59，当且仅当 x6，y3 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 3(函数法) 令 txy，则 ytx，代入 x4yxy0，得 x2(3t)x4t0.(t3)216tt210tq0，得 t1 或 t9.又 yxx40，且 x0，则 x4，故 t4，从而 t9.所以 m9. 变式 1、已知0,0ab，若不等式313mabab恒成立，则m的最大值为_ 【答案】 ： 12 【解析】 ：由313mabab 得31936bamababab 又962 9612baab， 12m ，m的最大值为12 变式 2、 （1）已知函数 211(
18、)1xaxf xaRx，若对于任意*xN， 3f x 恒成立，则a的取值范围是_ (2)已知正数, x y满足2 2xxyxy恒成立，则实数的最小值为_ 【答案】 ： （1）8,)3 （2）2 【解析】 ： (1)对任意 *,3xNf x恒成立，即21131xaxx恒成立， 即知83axx 设 *8,g xxxNx，则 1726,33gg 23gg min173g x8833xx ， 83a ，故a的取值范围是8,)3 (2)0,0 xy， 22 2xyxy (当且仅当2xy时取等号) 又由2 2xxyxy可得2 2xxyxy， 而22 22xxyxxyxyxy， 当且仅当2xy时，max2
19、22xxyxy 的最小值为2 方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题， 考点五、运用基本不等式解决实际问题 考向五 运用基本不等式解决实际问题 例 5、某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足80 千件时，C(x)13x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10 000 x1 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品
20、的生产中所获利润最大？ 【解析】 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000 x 万元，依题意得： 当 0 x80 时，L(x)(0.051 000 x)13x210 x 25013x240 x250. 当 x80 时，L(x)(0.051 000 x)51x10 000 x1 450 2501 200 x10 000 x. 所以 L(x) 13x240 x250，0 x80，1 200 x10 000 x，x80. (2)当 0 x80 时，L(x)13(x60)2950. 此时，当 x60 时，L(x)取得最大值 L(60)950 万元 当 x8
21、0 时，L(x)1 200 x10 000 x1 2002 x10 000 x1 2002001 000. 此时 x10 000 x， 即 x100 时，L(x)取得最大值 1 000 万元 由于 9501 000， 所以当年产量为 100 千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 1 000 万元 变式 1、小王于年初用 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销售价格为25x万元
22、(国家规定大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出) 【解析】 ：(1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元， 则256150 010,yxxx xxxN， 即22050 010,yxxxxN ， 由22050 0 xx ，解得105 2105 2x 而2105 23，故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出 (2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为2112525192519yyxxxxxxx ，
23、 而2 52 51 91 9 29xxxx， 当且仅当5x 时等号成立， 即小王应当在第 5 年将大货车出售，才能使年平均利润最大 变式 2、(2016 无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 Px24(其中 0 xa，a 为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 6P1P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为420P元/件 (1) 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 【解析】 (1) 由题意知， y420PPx6P1P.(3 分) 将 Px24代入化简得 y19
24、24x232x(0 xa)(5 分) (2) y223216x2x222316x2x2 10， 当且仅当16x2x2，即 x2 时，上式取等号(8 分) 所以当 a2 时，促销费用投入 2 万元时，厂家的利润最大；(9 分) 由 y1924x232x，得 y24x2232， 当 x0，此时函数 y 在0,2上单调递增， 所以当 a2 时，函数 y 在0，a上单调递增，(11 分) 所以当 xa 时，函数有最大值 即促销费用投入 a 万元时，厂家的利润最大(12 分) 综上，当 a2 时，促销费用投入 2 万元，厂家的利润最大；当 ab时，2abab当且仅当ab时取等号，则当4ab时，有24ab
25、ab，解得4ab，充分性成立； 当=1, =4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件. 2、 （2020 山东月考）已知413m，则23143mm的最小值是（ ） A3 29 B36 C6 29 D12 【答案】C 【解析】 413mQ10,430mm ， 23636(43 )3(33)() (33)(43 )996 214333433343mmmmmmmmmm 当且仅当6(43 )3(33)3343mmmm ，又413m 故523m时取等号 3、 （2020 年高考江苏）已知22451( ,)x yyx yR，则22xy的最小值
26、是 【答案】45 【解析】22451x yy 0y 且42215yxy 422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号. 22xy的最小值为45. 故答案为：45. 4、 （2019 年高考天津卷理数）设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_ 【答案】4 3 【解析】方法一：(1)(21)2212662xyxyyxxyxyxyxyxyxy. 因为0,0,25xyxy， 所以2522xyxy， 即5252,028xyxy，当且仅当522xy时取等号成立. 又因为6622 24 3xyxyxyxy，当且
27、仅当62 xyxy，即=3xy时取等号，结合258xy 可知，xy可以取到 3，故(1)(21)xyxy的最小值为4 3. 方法二：0,0,25,xyxyQ 0,xy(1)(21)22126622 12=4 3xyxyyxxyxyxyxyxyxy. 当且仅当3xy 时等号成立， 故(1)(21)xyxy的最小值为4 3. 5、 （2018 年高考天津卷理数）已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为 . 【答案】14 【解析】由 3 + 6 = 0可知 3 = 6，且2+18= 2+ 23， 因为对于任意 x， 2 0恒成立， 结合基本不等式的结论可得： 2+ 23 2 2 23=
28、2 26=14.当且仅当2= 23 3 = 6 ，即 = 3 = 1 时等号成立. 综上可得2+18的最小值为14. 6、 （2020 年高考天津）已知0,0ab，且1ab ，则11822abab的最小值为_ 【答案】4 【解析】0,0,0abab Q，1ab ,11882222abababababab 882422abababab，当且仅当ab=4 时取等号， 结合1ab ,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立. 故答案为：4 7、 （2020 泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值： （1）当32x 时，求函数823yxx的最大值； （2）设02,x求函数(42 )yxx的最大
29、值. 【答案】 （1）52； （2）2 【解析】 （1）32x ，则3 20 x， 818318353223223232223222yxxxxxx ， 当1832232xx，即12x 时等号成立. （2）2 +4222(42 )2422222xxyxxxx， 当24 2xx ，即1x 时等号成立. 8、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100 x(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(22360 x)升，司机的工资是每小时14元 (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值 【解析】 (1)设所用时间为130=tx( )h， 21301302 (2+)+14,50,100360 xyxxx 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是130 182 130=,50,100360yx xx (或234013=,50,10018yx xx) (2) 130 182 130=26 10360yxx， 当且仅当130 182 130 x360 x， 即=18 10 x，等号成立 故当=18 10 x千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10元
