1、 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理 2通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理 3能解决一些简单的三角形度量问题 1【2020 全国卷】在ABC中，2cos3C ，4AC ，3BC ，则cosB（ ） A19 B13 C12 D23 2 【2020 全国卷】如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，1AC ，3ABAD，ABAC，ABAD，30CAE，则cosFCB 一、单选题 1 已知ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c， 若3cos5A ，4cos5B ，20a，则c（ ） A10 B7 C6 D5 2 已知在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A为
2、最小角， 且3a=，2b=，5cos8A=，则ABC的面积等于（ ） A7 316 B3916 C394 D7 34 （新高考）小题必练（新高考）小题必练 1 15 5：解三角形：解三角形 3某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后， 看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ） A15 2 km B30 km C15 km D15 3 km 4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22coscos3sinsinBABC，2 3cb，则角A （ ） A6 B3 C23 D56 5如图，在ABC中，点D在边BC上，且2BDDC，
3、30DAC，2AD ，ABC的面积 为3 3，则线段AB的长度为（ ） A3 B2 2 C2 3 D3 2 6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数， 且ABC，320 cosbaA，则sin:sin:sinABC为（ ） A4:3:2 B5:6:7 C5:4:3 D6:5:4 7 已知在ABC中，6AB ，3AC ，7BC ， 若O为ABC的外心且满足AOxABuuu ruuu ryACuuu r，则6xy（ ） A1 B3 C5 D6 8 在斜ABC中， 设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sinsinsinaA bBcC4 sincosbB
4、C，CD是ACB的内角平分线，且CDb，则cosACB（ ） A18 B16 C23 D34 9设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，已知()sin()()bcACac(sinsin)AC，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则()ABDADBuuu ruuu ruuu r等于（ ） A2 B4 C4 D2 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3sincos()62AA，4bc ， 则ABC周长的取值范围是（ ） A6,8) B6,8 C4,6) D(4,6 二、多选题 11在ABC中，已知():():()6:5:4abcabc，给出下列结论中正确结论是（ ）
5、 A由已知条件，这个三角形被唯一确定 BABC一定是钝三角形 Csin:sin:sin7:5:3ABC D若8 bc，则ABC的面积是15 32 12在ABC中，已知角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且6b，sin2sinAC，则以下四个结论正确的有（ ） AABC不可能是直角三角形 BABC有可能是等边三角形 C当AB时，ABC的周长为15 D当3B 时，ABC的面积为6 3 三、填空题 13已知一个三角形的三边长分别为3，5，7，则该三角形的最大内角为 14已知ABC，2AB ACuuu r uuu r且60BAC，则AB AC uuu r uuu r ，ABC的面积为 1
6、5 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积， ”若把以上这段文字写成公式，即2222221()42cabSc a，已知ABC满足(sinsin)(sinsin)ABAB2sinsinsinACC，且22 2ABBC，则用以上给出的公式可求得ABC的面积为 16如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道已知小区某处三幢房屋分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧
7、AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点,O Q重合） ，为铺设三条地下天燃气管线,PO PA PB，已知40OA米，3AOB，记radAPQ，该三条地下天燃气管线的总长度为y米则将y表示成的函数为 1【答案】A 【解析】由余弦定理可知：2222222|34|cos32| |2 3 4BCACABABCBCAC ， 可得| 3AB ， 又由余弦定理可知222222|3341cos2| |2 3 39ABBCACBABBC ，故选 A 【点睛】本题实际是余弦定理的正反应用，先通过角的余弦值结合余弦定理求边长，再用余弦定理求角的余弦值 2 【答案】14 【解析】3AB ，1AC ，A
8、BAC，2BC ， 同理6DB ， 3AEDA，30CAE，1AC ， 22232cos3 1 23 112ECAEACAEACEAC 在BCF中，2BC ，1FCEC，6FBDB， 2221461cos22 2 14FCBCFBFCBFCBC 【点睛】本题主要考察正弦定理和余弦定理，通过立体图形的展开，结合展开图型中变化的量和不变的量之间的关系，利用正余弦定理解决问题 一、单选题 1 【答案】B 答案答案与解析与解析 【解析】由3cos5A ，4cos5B ，得4sin5A ，3sin5B ， 所以44337sinsin()sincoscossin555525CABABAB 根据正弦定理si
9、nsinacAC，即2047525c，解得7c ，故选 B 2 【答案】C 【解析】2539cossin1cos88AAA=?-=， 由余弦定理得2222cosacbbcA=+-，即25342cc=+-，解得12c=或2c=， AQ为最小角，ca，2c=， 113939sin222284ABCSbcAD=创? 3 【答案】D 【解析】设灯塔位于A处，船开始的位置为B，船行45km后处于C，如图所示， 可得60DBC，30ABD，45BC ，30ABC，120BAC， 在三角形ABC中，利用正弦定理可得sinsinACBCABCBAC， 可得sin45115 3 kmsin232BCABCACB
10、AC 4 【答案】A 【解析】2222coscos3sinsinsinsin3sinsinBABCABBC， 223abbc，解得7ab， 22222221273cos224 3bcabbbAbcb，即6A 5 【答案】C 【解析】因为2BDDC，ABC的面积为3 3，所以ADC的面积为3， 则1sin32ADACDAC，即2 3AC 在ACD中，21242 2 3CD 2 cos304 ，所以2CD， 又因为30DAC，2AD ，2BDDC，所以30C，4BD ， 所以在ABC中，222(2 3)62 2 36 cos3012AB ，即2 3AB 6 【答案】D 【解析】因为a，b，c为连续
11、的三个正整数，且ABC，可得abc， 所以2ac ，1bc ， 又因为已知320 cosbaA，所以3cos20bAa， 由余弦定理可得222cos2bcaAbc， 则由可得2223202bbcaabc， 联立得2713600cc，解得4c 或157c （舍去） ， 则6a ，5b， 故由正弦定理可得sin:sin:sin: :6:5:4ABCa b c 7 【答案】B 【解析】由O为ABC的外心且满足AOxAByACuuu ruuu ruuu r， 取AB中点为M，则OMAB， 所以21()2AO ABAMMOABAM ABABuuu r uuu ruuuu ruuu u ruuu ruuu
12、u r uuu ruuu r， 即()3xAByACABuuu ruuu ruuu r， 又由余弦定理可得2cos6CAB，所以26316AB ACuuu r uuu r，所以63xy 8 【答案】A 【解析】由正弦定理得222222224cos42abcabcbCbab，得2ab， 又CD平分角C，且CDb，令ACB， 由ACDBCDABCSSS，得2111sinsinsin22222babab， 即222sin2sin4sincos2222bbb， 即4cos32，3cos24，21cos2cos128 9 【答案】A 【解析】()sin()()(sinsin)bcACacAC， 由正弦定
13、理可得()()()bc bac ac，整理可得222bcabc ， 由余弦定理可得12cosA ，由(0,)A，可得23A ， 又ABC的面积为3，即12sin323bc，4bc ， 又22()() ()ABDADBDBDADADBDBDAuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 2222()()()4444CBABACABACABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 4cos24AB ACAB ACbcA uuu r uuu ruuu r uuu r 10 【答案】A 【解析】3sincos()62AA，
14、313sincossin222AAA， 可得3sin()32A， (0,)A， 4(,)333A，233A，解得3A ， 4bc ，由余弦定理可得22222cos()2163abcbcAbcbcbcbc， 由4bc ，2bcbc ，得04bc， 2416a，即24a， ABC周长46,8)Labca 二、多选题 11 【答案】BC 【解析】可设ABC的周长为l，则由():():()6:5:4abcabc， 可得61221515labl，51021515lcal，4821515lbcl， 又abcl ，则715la ，515lb ，315lc ， 故三角形不确定，A 错； 由2221cos022
15、bcaAbc ，A为钝角，故 B 正确； 由正弦定理sin:sin:sin: :7:5:3ABCa b c，故 C 正确； 由8 bc，则8815l，得15l ，故7a ，5b，3c ， 由1cos2A ，得3sin2A ， ABC的面积是11315 3sin5 32224bcA ，故 D 错， 故选 BC 12 【答案】CD 【解析】由正弦定理得2ac， 对选项 A，若A直角，则222222362 3abcccc 所以存在ABC是直角三角形，故 A 错误； 对选项 B，因为2ac，所以不存在ABC是等边三角形，故 B 错误； 对选项 C，若AB，则6ab，3c ，ABC的周长为 15，故 C
16、 正确； 对选项 D，2222224361cos22 22acbccBacc，解得2 3c ，4 3a ， 所以1sin6 32SacB，故 D 正确， 故选 CD 三、填空题 13 【答案】23 【解析】根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3，5，7的三角形的最大内角，即边7对的角， 设为，则由余弦定理可得2223571cos2 3 52 ，23 14 【答案】4，3 【解析】cos602AB ACAB ACuuu r uuu ruuu r uuu r，所以4AB AC uuu r uuu r，3=32142ABCS 15 【答案】3 【解析】22 2ABBC，由题意可得22 2ca，2a
17、 ， 2(sinsin )(sinsin )sinsinsinABABACC， 由正弦定理可得2()()ab abacc，可得222acbac， 2222222221133()()22 23424442cabacSc ac aac 16 【答案】3sincos2 720,(,)sin6 12y 【解析】因为Q为弧AB的中点， 由对称性可知，PAPB，6AOPBOP ， 又APO，6OAP， 由正弦定理，得sin()sinsin()66PAOAOP， 又40OA，得20sinPA，40sin()6sinOP， 所以40sin()403sincos26220sinsinsinyPAPBOPPAOP， 由题意，的取值范围是 7(,)6 12
