2.5.1(第一课时)直线与圆的位置关系 分层训练(含答案)

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1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第一课时第一课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一、选择题 1.已知点 M(a,b)在圆 O:x2y21 外,则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B 解析 点 M(a,b)在圆 x2y21 外,a2b21.圆心(0,0)到直线 axby1 的距离 d1a2b21r,则直线与圆的位置关系是相交. 2.直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a5)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为C(2,3),则直线 l 的方程

2、为( ) A.xy50 B.xy10 C.xy50 D.xy30 答案 A 解析 由圆的一般方程,可得圆心为 M(1,2).由圆的性质易知,点 M(1,2)与 C(2, 3)的连线与弦 AB 垂直, 故有 kAB kMC1, 又 kMC32211, kAB1.故直线 AB 的方程为 y3x2,整理得 xy50. 3.若a2b22c2(c0), 则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为( ) A.12 B.1 C.22 D. 2 答案 D 解析 a2b22c2,圆心到直线的距离 d|c|a2b212.设弦长为 l,则 l2 r2d2 2. 4.已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相

3、切,且圆心 C 在直线 xy0 上,则圆 C 的方程为( ) A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22 答案 B 解析 由 xy0 与 xy40 都与圆相切,且直线 xy0 与 xy40 平行,知圆 C 的圆心 C 在直线 xy20 上.由xy20,xy0,得圆心 C(1,1).又因为两平行线间距离 d422 2,所以所求圆的半径长 r 2,故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 5.直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个交点,则 b 满足( ) A.|b| 2 B.1b1 或 b 2 C.1b1 D.非以上答案

4、答案 B 解析 曲线 x 1y2含有限制条件,即 x0,故曲线并非表示整个单位圆, 仅仅是单位圆在 y 轴右侧(含与 y 轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中,画出 yxb 与曲线 x 1y2(就是 x2y21,x0)的图象,如图所示.相切时,b 2,其他位置符合条件时需1b1.故选 B. 二、填空题 6.若直线 ykx 与圆 x2y26x80 相切, 且切点在第四象限, 则 k_. 答案 24 解析 圆 x2y26x80,即(x3)2y21,其圆心为(3,0)、半径等于 1. 由题意可得k0 时,得 m5,当 m5 时,曲线 C 表示圆. (2)由(1)知圆 C 的圆心坐标为(1,2),

5、半径为 5m. 直线 l:yxm 与圆 C 相切, |12m|2 5m, 解得:m 3,满足 m5. m 3. 10.已知圆 C: (x1)2(y2)225, 直线 l: (2m1)x(m1)y7m40(mR). (1)求证不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时的 l 的方程. (1)证明 l 的方程可化为(xy4)m(2xy7)0(mR), 由2xy70,xy40,解得x3,y1, 即 l 恒过定点 A(3,1). 因为圆心为 C(1,2),|AC| 55(半径), 所以点 A 在圆 C 内, 从而直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)解

6、由题意可知弦长最小时,lAC. 因为 kAC12,所以 l 的斜率为 2. 又 l 过点 A(3,1),所以 l 的方程为 2xy50. 11.(多选题)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程可以是( ) A.2xy 50 B.2xy 50 C.2xy50 D.2xy50 答案 CD 解析 依题意可设所求切线方程为 2xyc0(c1),则圆心(0,0)到直线 2xyc0 的距离为|c|2212 5, 解得 c 5.故所求切线方程为 2xy50 或 2xy50. 12.圆 x2y24x6y120 过点(1,0)的最大弦长为_,最小弦长为_. 答案 10 2 7 解析 圆的方

7、程 x2y24x6y120 化为标准方程为(x2)2(y3)225. 所以圆心为(2,3),半径长为 5. 因为(12)2(03)21825, 所以点(1,0)在已知圆的内部, 则最大弦长即为圆的直径,即最大值为 10. 当(1,0)为弦的中点时,弦长最小, 此时弦心距 d (21)2(30)23 2, 所以最小弦长为 2 r2d22 25182 7. 13.圆 C 与直线 2xy50 相切于点(2,1),且与直线 2xy150 也相切,求圆 C 的方程. 解 设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2. 因为两切线 2xy50 与 2xy150 平行, 所以 2r|15(5)|22124 5

8、. 所以 r2 5. 所以|2ab15|2212r2 5,即|2ab15|10; |2ab5|2212r2 5,即|2ab5|10. 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直, 所以b1a212. 联立,解得a2,b1. 故所求圆 C 的方程为(x2)2(y1)220. 14.如图, 已知以点 A(1, 2)为圆心的圆与直线 l1: x2y70 相切.过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 交于 M,N 两点. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|2 19时,求直线 l 的方程. 解 (1)设圆 A 的半径为 r. 圆 A 与直线 l:x2y70 相切, r|147|52 5. 圆 A 的方程为(x1)2(y2)220. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x2, 易得|MN|2 19,符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 yk(x2),即 kxy2k0. 取 MN 的中点 Q,连接 AQ,则 AQMN. |MN|2 19, |AQ| 20191, |k2|k211,得 k34, 直线 l 的方程为 3x4y60. 综上,直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.

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