1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第一课时第一课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一、选择题 1.已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B 解析 点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21.圆心(0，0)到直线 axby1 的距离 d1a2b21r，则直线与圆的位置关系是相交. 2.直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a5)相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点为C(2，3)，则直线 l 的方程
2、为( ) A.xy50 B.xy10 C.xy50 D.xy30 答案 A 解析 由圆的一般方程，可得圆心为 M(1，2).由圆的性质易知，点 M(1，2)与 C(2， 3)的连线与弦 AB 垂直， 故有 kAB kMC1， 又 kMC32211， kAB1.故直线 AB 的方程为 y3x2，整理得 xy50. 3.若a2b22c2(c0)， 则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为( ) A.12 B.1 C.22 D. 2 答案 D 解析 a2b22c2，圆心到直线的距离 d|c|a2b212.设弦长为 l，则 l2 r2d2 2. 4.已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相
3、切，且圆心 C 在直线 xy0 上，则圆 C 的方程为( ) A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22 答案 B 解析 由 xy0 与 xy40 都与圆相切，且直线 xy0 与 xy40 平行，知圆 C 的圆心 C 在直线 xy20 上.由xy20，xy0，得圆心 C(1，1).又因为两平行线间距离 d422 2，所以所求圆的半径长 r 2，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 5.直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个交点，则 b 满足( ) A.|b| 2 B.1b1 或 b 2 C.1b1 D.非以上答案
4、答案 B 解析 曲线 x 1y2含有限制条件，即 x0，故曲线并非表示整个单位圆， 仅仅是单位圆在 y 轴右侧(含与 y 轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出 yxb 与曲线 x 1y2(就是 x2y21，x0)的图象，如图所示.相切时，b 2，其他位置符合条件时需1b1.故选 B. 二、填空题 6.若直线 ykx 与圆 x2y26x80 相切， 且切点在第四象限， 则 k_. 答案 24 解析 圆 x2y26x80，即(x3)2y21，其圆心为(3，0)、半径等于 1. 由题意可得k0 时，得 m5，当 m5 时，曲线 C 表示圆. (2)由(1)知圆 C 的圆心坐标为(1，2)，
5、半径为 5m. 直线 l：yxm 与圆 C 相切， |12m|2 5m， 解得：m 3，满足 m5. m 3. 10.已知圆 C： (x1)2(y2)225， 直线 l： (2m1)x(m1)y7m40(mR). (1)求证不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时的 l 的方程. (1)证明 l 的方程可化为(xy4)m(2xy7)0(mR)， 由2xy70，xy40，解得x3，y1， 即 l 恒过定点 A(3，1). 因为圆心为 C(1，2)，|AC| 55(半径)， 所以点 A 在圆 C 内， 从而直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)解
6、由题意可知弦长最小时，lAC. 因为 kAC12，所以 l 的斜率为 2. 又 l 过点 A(3，1)，所以 l 的方程为 2xy50. 11.(多选题)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程可以是( ) A.2xy 50 B.2xy 50 C.2xy50 D.2xy50 答案 CD 解析 依题意可设所求切线方程为 2xyc0(c1)，则圆心(0，0)到直线 2xyc0 的距离为|c|2212 5， 解得 c 5.故所求切线方程为 2xy50 或 2xy50. 12.圆 x2y24x6y120 过点(1，0)的最大弦长为_，最小弦长为_. 答案 10 2 7 解析 圆的方
7、程 x2y24x6y120 化为标准方程为(x2)2(y3)225. 所以圆心为(2，3)，半径长为 5. 因为(12)2(03)21825， 所以点(1，0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即最大值为 10. 当(1，0)为弦的中点时，弦长最小， 此时弦心距 d （21）2（30）23 2， 所以最小弦长为 2 r2d22 25182 7. 13.圆 C 与直线 2xy50 相切于点(2，1)，且与直线 2xy150 也相切，求圆 C 的方程. 解 设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2. 因为两切线 2xy50 与 2xy150 平行， 所以 2r|15（5）|22124 5
8、. 所以 r2 5. 所以|2ab15|2212r2 5，即|2ab15|10； |2ab5|2212r2 5，即|2ab5|10. 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b1a212. 联立，解得a2，b1. 故所求圆 C 的方程为(x2)2(y1)220. 14.如图， 已知以点 A(1， 2)为圆心的圆与直线 l1： x2y70 相切.过点 B(2，0)的动直线 l 与圆 A 交于 M，N 两点. (1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|2 19时，求直线 l 的方程. 解 (1)设圆 A 的半径为 r. 圆 A 与直线 l：x2y70 相切， r|147|52 5. 圆 A 的方程为(x1)2(y2)220. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 的方程为 x2， 易得|MN|2 19，符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0. 取 MN 的中点 Q，连接 AQ，则 AQMN. |MN|2 19， |AQ| 20191， |k2|k211，得 k34， 直线 l 的方程为 3x4y60. 综上，直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.