1、2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 一、选择题 1.圆 x2y24x6y30 的圆心和半径长分别为( ) A.(4，6)，16 B.(2，3)，4 C.(2，3)，4 D.(2，3)，16 答案 C 解析 由 x2y24x6y30，得(x2)2(y3)216，故圆心为(2，3)，半径长为 4. 2.已知圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1，0)，则圆 C 的圆心的轨迹是( ) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 答案 D 解析 圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1，0)， (1a)2(0b)21， (a1)2b21， 圆 C 的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1 为半径的圆.
2、故选 D. 3.方程 x2y2ax2ay2a23a0 表示的图形是半径为 r(r0)的圆，则该圆的圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 因为方程 x2y2ax2ay2a23a0 表示的图形是圆，又方程可化为xa22(ya)234a23a，故圆心坐标为a2，a ，r234a23a.由 r20，即34a23a0，解得4a0)， 则F0，11DEF0，1644D2EF0， 解得D8，E6，F0， 故所求圆的方程为 x2y28x6y0. 8.已知实数 x， y 满足 y 8x22x， 则 ty3x1的取值范围是_. 答案 (，335， 解析 由 y8x2
3、2x得(x1)2y29(y0)，它表示以(1，0)为圆心，3 为半径的在 x 轴上方的半圆(含与 x 轴的交点)，故 t可以看作半圆上的动点(x， y)与定点(1， 3)连线的斜率.如图：A(1，3)，B(4，0)，C(2，0)，则 kAB35，kAC3， t3 或 t35. 三、解答题 9.已知 P 是圆 x2y216 上的动点，A(12，0)，M 为 PA 的中点，求点 M 的轨迹方程. 解 设 M(x，y)， A(12，0)，M 为 PA 的中点， P(2x12，2y). P 为圆 x2y216 上的动点， (2x12)24y216，即(x6)2y24. 故所求轨迹方程为(x6)2y24
4、. 10.已知一圆过 P(4，2)，Q(1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程. 解 法一 设圆的方程为： x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 将 P，Q 的坐标分别代入，得 4D2EF20， D3EF10， 令 x0，由得 y2EyF0， 由已知|y1y2|4 3，其中 y1，y2是方程的两根. (y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48. 解联立成的方程组， 得D2，E0，F12或D10，E8，F4. 故所求方程为：x2y22x120 或 x2y210 x8y40. 法二 求得 PQ 的中垂线方程为 xy10. 所求圆的圆心 C 在直线上， 故设其坐标
5、为(a，a1)， 又圆 C 的半径 r|CP| （a4）2（a1）2 . 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|， 故 r2a24 322，代入并将两端平方， 并整理得 a26a50，解得 a11，a25. 当圆心为(1，0)时，半径 r1 13；当圆心为(5，4)时，半径 r2 37. 故所求圆的方程为：(x1)2y213 或(x5)2(y4)237. 11.(多选题)已知圆 C：x2y2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在第二象限，半径为 2，则( ) A.D2 B.D2 C.E4 D.E4 答案 AC 解析 圆心 CD2，E2，
6、因为圆心在直线 xy10 上， 所以D2E210，即 DE2， 又 rD2E2122 2，所以 D2E220， 由可得D2，E4，或D4，E2. 又圆心在第二象限，所以D20，即 D0， 所以D2，E4. 12.已知点 M(1，0)是圆 C：x2y24x2y0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是_；最长弦所在直线的方程为_. 答案 xy10 xy10 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直， 圆 C： x2y24x2y0 的圆心为 C(2， 1)，kCM10211，最短弦所在直线的方程为 y0(x1)，即 xy10.由于直线过圆心 C(2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率
7、为 1，此弦所在的直线方程为 y0 x1，即为 xy10. 13.设定点M(3， 4)， 动点N在圆x2y24上运动， 以OM， ON为两边作MONP，求点 P 的轨迹方程. 解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042. 因为平行四边形的对角线互相平分， 故x2x032，y2y042， 则x0 x3，y0y4，即 N(x3，y4). 又点 N 在圆 x2y24 上，故(x3)2(y4)24. 由于 O，M，N 共线时不能作MONP， 因此点 P 的轨迹为圆， 其轨迹方程为(x3)2(y4)24， 但应除去两
8、点95，125和215，285. 14.已知方程 x2y22x4ym0. (1)若此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线 x2y40 相交于 M，N 两点，且 OMON(O 为坐标原点)，求 m 的值； (3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程. 解 (1)已知 x2y22x4ym0， 则 D2，E4，Fm. 若此方程表示圆，则 D2E24F204m0， 所以 m5. (2)将 x42y 代入 x2y22x4ym0， 得 5y216y8m0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以 y1y2165，y1y28m5. 因为 OMON，所以 x1x2y1y20， 所以 5y1y28(y1y2)160，所以 m85. (3)设圆心为(a，b)，ax1x2245，by1y2285，半径长 r4 55， 故以 MN 为直径的圆的方程x452y852165.
