1、8 8. .3 3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 8 8. .3.13.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础达标 一、选择题 1.正三棱锥的所有棱长均为 a，则该三棱锥的表面积为( ) A.3 3a2 B.2 3a2 C. 3a2 D.4a2 解析 S41232a a 3a2. 答案 C 2.长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是 123，体对角线长为 2 14，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 解析 依题意， 设三条棱的长分别为 x， 2x， 3x， 则 x2（2x）2（3x）22 14，解得 x2，即三条棱
2、长分别为 2，4，6，于是体积 V24648. 答案 D 3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为 23，则棱柱与棱锥的体积之比为( ) A.12 B.2 C.13 D.3 解析 设棱柱的高为 h，底面积为 S，则棱锥的高为 h，底面积为32S，故二者的体积之比为V1V2Sh1332Sh212. 答案 B 4.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( ) A.12 B.13 C.16 D.14 解析 设正方体棱长为 a，则截去的每个角(三棱锥)的体积是1312a316a3，故剩余正四面体的体积是 a316a3413a3，所以这个正四面体的体积是正方体体积
3、的13. 答案 B 5.如图所示，三棱台 ABCA1B1C1中，A1B1AB12，则三棱锥 BA1B1C1与三棱锥 A1ABC 的体积比为( ) A.12 B.13 C.1 2 D.14 解析 三棱锥 BA1B1C1与三棱锥 A1ABC 的高相等，故其体积之比等于A1B1C1与ABC 的面积之比， 而A1B1C1与ABC 的面积之比等于 A1B1与 AB之比的平方，即 14，故选 D. 答案 D 二、填空题 6.正三棱锥的底面边长为 a，高为66a，则此棱锥的表面积为_. 解析 如图，在正三棱锥 SABC 中， ABa，SO66a， 于是 OD13 AB sin 60 36a， 从而 SD66
4、a236a2a2， 故三棱锥的表面积 S312 aa21232a a3 34a2. 答案 3 34a2 7.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_. 解析 SDD1E12DD1112， 又点 F 到平面 DD1E 的距离为 1， 所以 VD1EDFVFD1DE13SDD1E116. 答案 16 8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 8 cm 和 18 cm，侧棱长为 13 cm，则其表面积为_ cm2. 解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为1325212，所以正四棱台的表面积 S412
5、(818)12821821 012(cm2). 答案 1 012 三、解答题 9.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求点 A 到平面 A1BD 的距离d. 解 在三棱锥 A1ABD 中，AA1是三棱锥 A1ABD 的高，ABADAA1a，A1BBDA1D 2a， V三棱锥A1ABDV三棱锥AA1BD， 1312a2 a1312 2a32 2a d， d33a. 点 A 到平面 A1BD 的距离为33a. 10.如图， 在多面体 ABCDEF 中， 已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形， EFAB，EF2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体
6、的体积. 解 如图，连接 EB，EC，AC. V四棱锥EABCD1342316. AB2EF，EFAB， SEAB2SBEF. V三棱锥FEBCV三棱锥CEFB12V三棱锥CABE12V三棱锥EABC1212V四棱锥EABCD4. 多面体的体积 VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420. 能力提升 11.三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_. 解析 如图，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h，则点 E 到平面 BAD 的距离为12h. SDAB12SPAB， V1V213SDAB12h13S
7、PAB h1312SPAB12h13SPAB h14. 答案 14 12.如图所示，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E，F 分别为 AA1，CC1的中点，求四棱锥 A1EBFD1的体积. 解 因为 EBBFFD1D1E a2a2252a，D1FEB， 所以四边形 EBFD1是菱形. 连接 EF，则EFBEFD1. 易知三棱锥 A1EFB 与三棱锥 A1EFD1的高相等， 故 VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA1. 又因为 SEBA112EA1 AB14a2， 则 VFEBA1112a3， 所以 VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA116a3. 创新猜想 13
8、.(多空题)如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm，高与斜高的夹角为30 ，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为_和_. 解析 正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成 RtPOE. OE2 cm，OPE30 ， 斜高 PEOEsin 302124(cm). 因此 S棱锥侧1244432(cm2)， S棱锥表321648(cm2). 答案 32 cm2 48 cm2 14.(多空题)已知正四棱台的高是 12 cm， 两底面边长之差为 10 cm， 全面积为 512 cm2，则上、下底面边长分别为_cm，体积为_cm3. 解析 O， O1分别是上底面和下底面的中心， E， E1分别是棱的中点， FE1O1E1. 设 OEx cm，则上底面边长为 2x cm， 下底面边长为(2x10)cm，故 O1E1(x5)cm，则 FE5 cm. 又正四棱台的高是 12 cm， EE113 cm. 故正四棱台的全面积 S(2x)2(2x10)2412(2x2x10)138(x28x20)512(cm2)， 解得 x6 cm， 所以正四棱台上底面边长为 12 cm，下底面边长为 2 cm. V台1312(1221222222)4(144244)688(cm3). 答案 12，2 6 88
