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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后作业(含答案)

1、8 8. .3 3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 8 8. .3.13.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础达标 一、选择题 1.正三棱锥的所有棱长均为 a,则该三棱锥的表面积为( ) A.3 3a2 B.2 3a2 C. 3a2 D.4a2 解析 S41232a a 3a2. 答案 C 2.长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是 123,体对角线长为 2 14,则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 解析 依题意, 设三条棱的长分别为 x, 2x, 3x, 则 x2(2x)2(3x)22 14,解得 x2,即三条棱

2、长分别为 2,4,6,于是体积 V24648. 答案 D 3.一个棱柱和一个棱锥的高相等,底面积之比为 23,则棱柱与棱锥的体积之比为( ) A.12 B.2 C.13 D.3 解析 设棱柱的高为 h,底面积为 S,则棱锥的高为 h,底面积为32S,故二者的体积之比为V1V2Sh1332Sh212. 答案 B 4.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体,这个正四面体的体积是正方体体积的( ) A.12 B.13 C.16 D.14 解析 设正方体棱长为 a,则截去的每个角(三棱锥)的体积是1312a316a3,故剩余正四面体的体积是 a316a3413a3,所以这个正四面体的体积是正方体体积

3、的13. 答案 B 5.如图所示,三棱台 ABCA1B1C1中,A1B1AB12,则三棱锥 BA1B1C1与三棱锥 A1ABC 的体积比为( ) A.12 B.13 C.1 2 D.14 解析 三棱锥 BA1B1C1与三棱锥 A1ABC 的高相等,故其体积之比等于A1B1C1与ABC 的面积之比, 而A1B1C1与ABC 的面积之比等于 A1B1与 AB之比的平方,即 14,故选 D. 答案 D 二、填空题 6.正三棱锥的底面边长为 a,高为66a,则此棱锥的表面积为_. 解析 如图,在正三棱锥 SABC 中, ABa,SO66a, 于是 OD13 AB sin 60 36a, 从而 SD66

4、a236a2a2, 故三棱锥的表面积 S312 aa21232a a3 34a2. 答案 3 34a2 7.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1EDF 的体积为_. 解析 SDD1E12DD1112, 又点 F 到平面 DD1E 的距离为 1, 所以 VD1EDFVFD1DE13SDD1E116. 答案 16 8.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为 8 cm 和 18 cm,侧棱长为 13 cm,则其表面积为_ cm2. 解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形,其高为1325212,所以正四棱台的表面积 S412

5、(818)12821821 012(cm2). 答案 1 012 三、解答题 9.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,求点 A 到平面 A1BD 的距离d. 解 在三棱锥 A1ABD 中,AA1是三棱锥 A1ABD 的高,ABADAA1a,A1BBDA1D 2a, V三棱锥A1ABDV三棱锥AA1BD, 1312a2 a1312 2a32 2a d, d33a. 点 A 到平面 A1BD 的距离为33a. 10.如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形, EFAB,EF2,EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3,求该多面体

6、的体积. 解 如图,连接 EB,EC,AC. V四棱锥EABCD1342316. AB2EF,EFAB, SEAB2SBEF. V三棱锥FEBCV三棱锥CEFB12V三棱锥CABE12V三棱锥EABC1212V四棱锥EABCD4. 多面体的体积 VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420. 能力提升 11.三棱锥 PABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 DABE 的体积为 V1,PABC 的体积为 V2,则V1V2_. 解析 如图,设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,则点 E 到平面 BAD 的距离为12h. SDAB12SPAB, V1V213SDAB12h13S

7、PAB h1312SPAB12h13SPAB h14. 答案 14 12.如图所示,已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体,E,F 分别为 AA1,CC1的中点,求四棱锥 A1EBFD1的体积. 解 因为 EBBFFD1D1E a2a2252a,D1FEB, 所以四边形 EBFD1是菱形. 连接 EF,则EFBEFD1. 易知三棱锥 A1EFB 与三棱锥 A1EFD1的高相等, 故 VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA1. 又因为 SEBA112EA1 AB14a2, 则 VFEBA1112a3, 所以 VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA116a3. 创新猜想 13

8、.(多空题)如图,已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为30 ,则正四棱锥的侧面积与表面积分别为_和_. 解析 正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成 RtPOE. OE2 cm,OPE30 , 斜高 PEOEsin 302124(cm). 因此 S棱锥侧1244432(cm2), S棱锥表321648(cm2). 答案 32 cm2 48 cm2 14.(多空题)已知正四棱台的高是 12 cm, 两底面边长之差为 10 cm, 全面积为 512 cm2,则上、下底面边长分别为_cm,体积为_cm3. 解析 O, O1分别是上底面和下底面的中心, E, E1分别是棱的中点, FE1O1E1. 设 OEx cm,则上底面边长为 2x cm, 下底面边长为(2x10)cm,故 O1E1(x5)cm,则 FE5 cm. 又正四棱台的高是 12 cm, EE113 cm. 故正四棱台的全面积 S(2x)2(2x10)2412(2x2x10)138(x28x20)512(cm2), 解得 x6 cm, 所以正四棱台上底面边长为 12 cm,下底面边长为 2 cm. V台1312(1221222222)4(144244)688(cm3). 答案 12,2 6 88