1、专题专题 8 三角形三角形 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2021龙泉驿区模拟）如图，直线 ab，RtABC 的顶点 A 在直线 b 上，B90，C30，边AC，BC 与直线 a 分别相交于点 D，E，若CED50，则1 的度数为（ ） A30 B40 C50 D60 2 （2021金堂县模拟）某时刻海上点 P 处有一客轮，测得灯塔 A 位于 P 的北偏东 30方向，且相距 40 海里客轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60方向航行 0.5 小时到达 B 处，那么 AB（ ）海里 A40 B30 C50 D60 3 （2021金堂县模拟）如图，已知BADCAE，ACA
2、E，下列添加的条件中不能证明ABCADE的是（ ） ADEBC BABAD CCE DBD 4 （2021新都区模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC；ABADDC1，BDCD，则四边形 ABCD的面积为（ ） A33 B332 C334 D3 5 （2021成都模拟） 如图， 把一张长方形纸片沿对角线折叠， 若EDF 是等腰三角形， 则BDC （ ） A45 B60 C67.5 D75 6 （2021成都模拟）如图，ABCD，ABCDCB，AC 与 BD 交于点 E，在图中全等三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 7（2020成都模拟） 如图， 在ABC 中， BAC
3、90， AB8， AC6， 则斜边 BC 上的高 AD 的长是 （ ） A4.8 B5 C42 D6 8 （2020金牛区校级模拟）如图，l1l2，等边ABC 的顶点 A、B 分别在直线 l1、l2，则1+2（ ） A30 B40 C50 D60 9 （2020武侯区校级模拟）已知：如图，ABCEBD，BCBD，增加一个条件使得ABCEBD，下列条件中错误的是（ ） AACED BBABE CCD DAE 10 （2020成都模拟）如图，在ABC 中，ABAC，过点 C 的直线 EFAB若ACE30，则B 的度数为（ ） A30 B65 C75 D85 11 （2020龙泉驿区模拟）如图，已知
4、 ABBC 于 B，CDBC 于 C，BC13，AB5，且 E 为 BC 上一点，AED90，AEDE，则 BE（ ） A13 B8 C6 D5 12 （2020新都区模拟）如图，已知 ABCD，MBANDC，下列条件中不能判定ABMCDN 的是（ ） AMN BMBND CAMCN DAMCN 13 （2020青白江区模拟）如图，在ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直线 DE 是（ ） AA 的平分线 BAC 边的中线 CBC 边的高线 DAB 边的垂直平分线 二填空题（共二填空题（共 17 小题）小题） 14 （2021青白江区模拟
5、）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边向外作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按照此规律继续下去，则 S2021的值为 15 （2021金牛区模拟）如图，在ABC 中，ABAC6，ABCACB15，CD 是腰 AB 上的高，则 CD 的长为 16 （2021新都区模拟）如图，在ABC 中，ABC90，E 为 AC 的中点，ADBE 交 BC 于 D，若 AD=152，BE5，则 BD 17 （2021龙泉驿区模拟） 如图， 在ABC 中， AB10， ACBC13， CD 是中线， 则 CD 的长为 18
6、（2021成都模拟）如图，在ABC 中，BC30，底边 = 23，线段 AB 的垂直平分线交 BC于点 E，则ACE 的周长为 19 （2021锦江区校级模拟）如图，小新同学是一位数学爱好者，想利用所学知识研究一个五边形面积他先在矩形点阵中放入了一个矩形 ABCD，A、B、C、D 四个顶点刚好在格点上，接着又放入了一条线段EF，点 E、F 也恰好在格点上并与 AD、CD 分别交于点 M、N若点阵图中，单位格点正方形边长为 1，则五边形 ABCNM 的面积为 20 （2021新都区模拟）将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角ABD 与直角ACD 的斜边重合，其中 AD4，BC90，CAD30，
7、则点 B 到边 AC 的距离为 21 （2021成都模拟）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC4，点 P 是边 AB 上一动点，PQPC 交 BC 于 Q，点 R 是 PC 的中点，连接 AR、QR，设 AP 为 x，四边形 ABQR 面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（含自变量的取值范围） 22 （2021成都模拟）如图，ABCABD，C30，ABC85，则BAD 的度数为 23 （2020武侯区校级模拟）如图，四边形 ABCD 中，BCD90，ABDDBC，AB3，DC4，则ABD 的面积为 24 （2020崇州市模拟）如果点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点
8、距离之和最小，则 P 点叫ABC 的费马点 已经证明： 在三个内角均小于 120的ABC 中， 当APBAPCBPC120时，P 就是ABC 的费马点若点 P 是腰长为2的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PD+PE+PF 25 （2020成都模拟）如图，已知ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 CDCE，连接DE 并延长至点 F，使 EFAE，连接 AF，CF，连接 BE 并延长交 CF 于点 G下列结论：ABEACF； BCDF； SABCSACF+SDCF； 若 BD2DC， 则 GF2EG 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 26（2020成都模拟
9、） 将一副三角板按如图所示放置， BACBDC90， ABC60， DBC45，AB2，连接 AD，则 AD 27 （2020成都模拟）如图，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的“勾股分割点” 已知点 M，N 是线段 AB 的“勾股分割点” ，若 AM2，MN3，则 BN 的长为 28 （2020成都模拟）某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30，高为 4m，则扶梯的长度是 m 29 （2020都江堰市模拟）如图，AB、CD 是O 的两条直径，经过点 C 的O 的切线交 AB 的延长线于点E，
10、连接 AC、BD若 B 是 OE 中点，AC12，则O 半径为 30 （2020青白江区模拟）如图，在ABC 中，已知 ABAC6，BC8，P 是 BC 边上的一动点（P 不与点 B、C 重合） ，BAPE，边 PE 与 AC 交于点 D，当APD 为等腰三角形时，则 PB 的长为 三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题） 31 （2021双流区模拟）如图，等边ABC 的边长为 12，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ADAE4，点 F 为 BA 延长线上一点， 过点 F 作直线 lBC， G 为射线 BC 上动点， 连接 GD 并延长交直线 l 于点 H，连接 FE 并延长交 BC
11、 于点 M，连接 HE 并延长交射线 BC 于点 N （1）若 AF4，当 BG4 时，求线段 HF 和 EH 的长； （2）若 AFa（a0） ，点 G 在运动过程中，请判断HGN 的面积是否改变若不变，求出其值（用含a 的代数式表示） ；若改变，请说明理由 （3） 在 （2） 的条件下， 是否存在点 C 和点 G 是线段 BN 的三等分点的情况？若存在， 求出此时 a 的值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 【解答】解：CED50，C30，CED+C+CDE180， CDE1805030100， B90， BAD9
12、0C903060， ab， 1+BADCDE100， 11006040， 故选：B 2 【解答】解：灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30方向，且相距 40 海里 AP40， 客轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60方向航行 0.5 小时到达 B 处， APB90，BP600.530， AB= 402+ 302=50（海里） ， 故选：C 3 【解答】解：BADCAE， BAD+DACCAE+DAC， 即BACDAE， 在ABC 与ADE 中， = = = ， ABCADE（SAS） ， 在ABC 与ADE 中， = = = ， ABCADE（ASA） ， 在ABC 与ADE 中， = =
13、 = ， ABCADE（AAS） ， 故 B、C、D 选项正确符合题意，A 选项不符合题意， 故选：A 4 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 交 BC 于点 E， ADBC，DEAB， 四边形 ABED 是平行四边形， DEAB，BEAD， ABADDC1， DEABDC1，BEAD1， DEBECD1， CBDBDE，CCED， BDCD， BDC90， CBD+CBDE+CDE90， CCDE， CEBE1， BC2， BD= 2 2= 22 12= 3， SBCD=12BDCD=12 3 1=32， CEBE1， SBDE=12SBCD=1232=34， SABDSBDE=34，
14、 S四边形ABCDSABD+SBCD=34+32=334 故选：C 5 【解答】解：由翻折可知：BEDBCD， EBDCBD，EC90 EDF 是等腰三角形， EFDAFBABF45， CBF45， CBD=12CBE22.5， BDC67.5， 故选：C 6 【解答】解：ABCDCB； ABCD，ABCDCB， BCCB， ABCDCB； ABEDCE， ABCDCB， BACCDB， ABCD，AEBDEC， ABECDE； ABDDCA， BACCDB，AEBDEC， ABDDCA， ABCD，BDAC， ABDDCA； 故选：B 7 【解答】解：BAC90，AB8，AC6， BC= 2
15、+ 2=10， ADBC， SABC=1268=12AD10， 解得：AD4.8 故选：A 8 【解答】解：l1l2， 1+CBA+BAC+2180， ABC 是等边三角形， CBABAC60， 1+2180（CBA+BAC）18012060， 故选：D 9 【解答】解：ABCEBD，BCBD， 当添加 BABE 时，可根据“SAS”判断ABCEBD； 当添加CD 时，可根据“ASA”判断ABCEBD； 当添加AE 时，可根据“AAS”判断ABCEBD 故选：A 10 【解答】解：EFAB， ACEA， ACE30， A30， ABAC， BACB， B=12（18030）75， 故选：C 1
16、1 【解答】解：BAEDC90， A+AEB90，AEB+DEC90， ADEC， 在ABE 和ECD 中 = = 90 = = ABEECD（AAS） CEAB5 BEBCCE1358 故选：B 12 【解答】解：A、可根据 AAS 判定ABMCDN，故此选项不合题意； B、可根据 SAS 判定ABMCDN，故此选项不合题意； C、不能判定ABMCDN，故此选项符合题意； D、由 AMCN 可得ANCD，可根据 ASA 判定ABMCDN，故此选项不合题意； 故选：C 13 【解答】解： 分别以点 A，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E， DADB，EAEB， 点
17、D，E 在线段 AB 的垂直平分线上， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 17 小题）小题） 14 【解答】解：如图所示， CDE 是等腰直角三角形， DECE，CED90， CD2DE2+CE22DE2， DE=22CD， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的22倍， S12244（12）0， S2（222）224（12）1， S3（2 22）214（12）2， S4（122）2=12=4（12）3， ， Sn4（12）n1， S20214（12）2020（12）2018 故答案为： （12）2018 15 【解答】解：ABCACB15， CAD30， CD 是腰 AB 上的高， CDAD，
18、在 RtACD 中，CAD30，AC6， CD=12AC3， 故答案为：3 16 【解答】解：设 BDx， ADBE， AOB90， BAO+ABO90， ABCABO+CBE90， CBEBAO， E 为 AC 的中点，ABC90， BE=12AC5CE， AC10，CBEC， CBAD， ABDABC， ABDCBA， =，即=15210， AB=43x， RtABD 中，由勾股定理得：AB2+BD2AD2， (43)2+ 2= (152)2， 解得：x= 92（负值舍去） ， BD=92 故答案为：92 17 【解答】解：ACBC， ABC 是等腰三角形， CD 是等腰三角形底边上的的中
19、线， CDAB， AB10， AD5， 在 RtCAD 中， AD= 2 2= 132 52=12， 故答案为：12 18 【解答】解：过 A 点作 AFBC，垂足为 F， BC30， ABAC2AF， BC= 23， BFCF= 3， AC2AF2+CF2， AC2（12AC）2+（3）2， 解得 AC2， AF1， DE 垂直平分 AB， AEBE， ACE 的周长为 AE+EC+ACBE+EC+ACBC+AC= 23 + 2 故答案为23 + 2 19 【解答】解：建立如图坐标系，设 A（1，4） ，E（0，4） ，N（y，1） ，M（1，x） ， AM4x， SEAMSEPFS四边形A
20、MEP=12 1 (4 ) =12 6 4 52（4x+4） ， 212 =1220+52x， 解得，x=103， SAQFSEPFS四边形EPQN， 12 (6 ) = 12 32（6y+6） ， 解得 y=92， S剩S矩形ABCDSMDN4 3 12 (92 1) (103 1) =12127273=124912=9512 故答案为：9512 20 【解答】解：过 B 作 BEAC 于 E， AD4，ABFC90，CAD30， CD=12AD2，AB2+BD2AD216， ABBD， 2AB216， ABBD22， ABFC，AFBDFC， ABFDCF， =222=2， 设 CFx，则
21、 BF= 2x， DFBDBF22 2x， DF2CD2+CF2， （22 2x）222+x2， 解得 x1423，x24+23AD（不合题意，舍去） ， 即 CF423， BF42 26， ACADcosCAD432=23， AFACCF23 （423）43 4， SABF=12ABBF=12AFBE， BE=22(4226)434=2(23)31= 3 1， 故答案为：3 1 21 【解答】解：过点 Q 作 QDAB， QPRPAC90， DPQACP， DQPPAC90， DPQACP， =4， PD4xQD， 4;=4， QD=(4)+4， SPQB=12(4 ) (4)+4=(4)2
22、2(+4) SABC=12 4 4 =8， S四边形APQC8(4)22(+4) R 是 CP 的中点， S四边形APQR=12S四边形APQC4(4)24(+4)， ySPQB+S四边形APQR=(4)22(+4)+4(4)24(+4)=4+(4)24(+4)（0 x4） 故答案为：y4+(4)24(+4)（0 x4） 22 【解答】解：C30，ABC85 CAB180CABC65， ABCABD， BADCAB65 故答案为：65 23 【解答】解：过点 D 作 DEAB 交 BA 延长线于点 E， ABDDBC，DCBC，DEAB， CDDE4， ABD 的面积=12 =12 4 3 =
23、 6， 故答案为：6 24 【解答】解：如图：过点 D 作 DMEF 于点 M，在BDE 内部过 E、F 分别作MEPMFP30，则EPFFPDEPD120，点 P 就是费马点， 在等腰 RtDEF 中，DEDF= 2，DMEF， EF= 2DE2 EMDM1， 故 cos30=， 解得：PE=233，则 PM=33， 故 DP133，同法可得 PF=233 则 PD+PE+PF2233+133= 3 +1 故答案为3 +1 25 【解答】解：正确ABC 是等边三角形， ABACBC，BACACB60， CEDC， DEC 是等边三角形， EDECDC，DECAEF60， EFAE， AEF
24、是等边三角形， AFAE，EAF60， 在ABE 和ACF 中， = = = ， ABEACF（SAS） ，故正确 正确ABCFDC， ABDF， EAFACB60， ABAF， 四边形 ABDF 是平行四边形， DFABBC，故正确 正确ABEACF， BECF，SABESAFC， 在BCE 和FDC 中， = = = ， BCEFDC（SSS） ， SBCESFDC， SABCSABE+SBCESACF+SDCF，故正确 正确BCEFDC， DBEEFG， 又BEDFEG， BDEFGE， =， =， BD2DC，DCDE， =2， FG2EG故正确 26 【解答】解：如图，过点 B 作
25、BHAD 交 DA 的延长线于点 H， BACBDC90，ABC60，DBC45， ACB30，DCB45， BACBDC90， 点 A，点 B，点 C，点 D 四点共圆， ADBACB30，BAHBCD45， BHAD， ABHBAH45， AHBH， AHBH=22= 2， ADB30， DH= 3BH= 6， ADDHAH= 6 2， 故答案为：6 2 27 【解答】解：当 BN 是斜边时， AM2，MN3， BN= 2+ 2= 22+ 32= 13， 当 MN 为斜边时， AM2，MN3， BN= 2 2= 32 22= 5， 故答案为：13或5 28 【解答】解：自动扶梯，其倾斜角为
26、 30，高为 4m， 则扶梯的长度是 248m， 故答案为：8 29 【解答】解：连接 BC， 点 B 为 OE 的中点，EC 是O 的切线， OBBE，OCE90， CB=12OEOB， BC=12AB， AB 是O 的直径， ACB90， BC=12AB， BAC30， AC12， BCACtan301233=43， 即 OB43， 故答案为：43 30 【解答】解：当 APPD 时，则ABPPCD，则 PCAB6，故 PB2 当 ADPD 时， PADAPD， BAPDC， PADC， PAPC， 过 A 作 AGBC 于 G， CG4， AG= 2 2= 62 42=25， 过 P 作
27、 PHAC 于 H， CH3， 设 PCx， SAPC=12AGPC=12ACPH， 5x3PH， PH=53x， PC2PH2+CH2， x2（53x）2+9， 解得：x=92（负值舍去） ， PC=92， PB=72； 当 ADAP 时，点 P 与点 B 重合，不合题意 综上所述，PB 的长为 2 或72 故答案为：2 或72 三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题） 31 【解答】解： （1）连接 DE，设 HN 和 BF 相交于点 P， ABC 为边长为 12 的等边三角形， BACBACB60，ABBCAC12， 直线 lBC， BHFD60， AF4，AD4， DF8DB， 又B
28、DGFDH， BDGFDH（ASA） ， BGHF4， ADAE4，BAC60， ADE 为等边三角形， DE4，ADE60HFD， DEHF，DEHF， 四边形 HDEF 为平行四边形， HE 和 FD 互相平分， FPPD， 此时点 P 与点 A 重合，即点 H 在 CA 延长线上， HPPEAE4， EH8； （2）点 G 在运动过程中，HGN 的面积保持不变 BCDE， FDEFBM， =，即4:12:=4， BM=48+44+， HFBCDE， =，=，=， =， GBMN， 当 GB0 和 GB12 时， GNBM=48+44+， 当 0GB12 时， BGMN， BG+GMMN+
29、GM， 即 GNBM=48+44+， 当 GB12 时， BGMN， BGGMMNGM， 即 GNBM=48+44+， 直线 l 和 BC 之间的距离BFsinABC=32（12+a） ， HGN 的面积=3(+12)2+4； （3）不存在理由如下： 当点 G 在线段 BC 上时，如图 1， 若点 C 和点 G 是线段 BN 的三等分点，则 BGGCCN， BC12， GBCGCN6， =，即6=:48， HF=3(+4)4， =， 3(+4)4=:48， MN6， 又BM=48+44+，BC12， MC=8+4， CNMNMC68+4=6， a0 不满足条件， 当点 G 在 BC 的延长线上时，如图 2， 若点 C 和点 G 是线段 BN 的三等分点，则 BCCGGN， BC12， CG12， BG24， 方法同可求出 a0 不满足条件， 在（2）的条件下，不存在点 C 和点 G 是线段 BN 的三等分点的情况
