1、专题专题 11 11 函数思想函数思想 专题概述：专题概述： 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法， 培养用数学思想方法解决问题的意识 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数
2、学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 名词诠释名词诠释： 函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。 运
3、用举例：运用举例： 一函数思想在几何变换的运用 1 （2019 秋龙泉驿区期末）如图，直线 ykx+b 与直线 y2x+6 关于 y 轴对称且交于点 A，直线 y2x+6交 x 轴于点 B，直线 ykx+b 交 x 轴于点 C，正方形 DEFG 一边 DG 在线段 BC 上，点 E 在线段 AB 上，点 F 在线段 AC 上，则点 G 的坐标是 （32，0） 【点拨】根据轴对称求得直线 AC 的解析式，再根据正方形的性质以及轴对称的性质设 G（m，0） ，则 F（m，2m） ，代入直线 AC 的解析式，得到关于 m 的方程，解得即可 【详解】解：由直线 y2x+6 可知 A（0，6） ，B（3
4、，0） ， 直线 ykx+b 与直线 y2x+6 关于 y 轴对称且交于点 A，直线 y2x+6 交 x 轴于点 B，直线 ykx+b 交x 轴于点 C， 直线 AC 为 y2x+6， 设 G（m，0） ， 正方形 DEFG 一边 DG 在线段 BC 上，点 E 在线段 AB 上，点 F 在线段 AC 上， F（m，2m） ， 代入 y2x+6 得，2m2m+6， 解得 m=32， G 的坐标为（32，0） ， 故答案为（32，0） 2（2019 秋武侯区期末） 如图， 将直线 OA 向上平移 3 个单位长度， 则平移后的直线的表达式为 y2x+3 【点拨】利用待定系数法确定直线 OA 解析式
5、，然后根据平移规律填空 【详解】解：设直线 OA 的解析式为：ykx， 把（1，2）代入，得 k2， 则直线 OA 解析式是：y2x 将其上平移 3 个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y2x+3 故答案是：y2x+3 3 （2020安阳模拟）如图，点 A 是反比例函数 y=的图象上的一点，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B点 C为 y 轴上的一点，连接 AC，BC若ABC 的面积为 4，则 k 的值是（ ） A4 B4 C8 D8 【点拨】连结 OA，如图，利用三角形面积公式得到 SOABSABC4，再根据反比例函数的比例系数 k的几何意义得到12|k|4，然后去绝对值即可得到满足条件的
6、 k 的值 【详解】解：连结 OA，如图， ABx 轴， OCAB， SOABSABC4， 而 SOAB=12|k|， 12|k|4， k0， k8 故选：D 4 （2020涡阳县模拟）抛物线 yax2（a0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线” 如果把抛物线 yx2沿直线 yx 向上平移，平移距离为2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是 y（x1）2+1 【点拨】沿直线 yx 向上平移，平移距离为2则相当于抛物线 yax2（a0）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，即可得到平移后抛物线的表达式 【详解】解：抛物线 yx2沿直线 yx 向上平移
7、，平移距离为2，相当于抛物线 yax2（a0）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位， 根据平移的规律得到： “同簇抛物线”的表达式是 y（x1）2+1 故答案为：y（x1）2+1 二函数思想在方程中的运用 5 （2019 秋温江区期末）已知一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴交于（5，0） ，则关于 x 的一元一次方程 kx+b0 的解为 x5 【点拨】利用自变量 x5 时对应的函数值为 0 可确定程 kx+b0 的解 【详解】解：一次函数 ykx+b（k0）的图象与 x 轴交于（5，0） ， 关于 x 的一元一次方程 kx+b0 的解为 x5 故答案为 x5 6 （2019浙江
8、）根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 A3x3.23 B3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26 【点拨】 根据函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c0 的根， 再根据函数的增减性即可判断方程 ax2+bx+c0 一个解的范围 【详解】解：函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c0 的根， 函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点的
9、纵坐标为 0； 由表中数据可知：y0 在 y0.02 与 y0.03 之间， 对应的 x 的值在 3.24 与 3.25 之间，即 3.24x3.25 故选：C 三函数思想在不等式中的运用 7 （2019 秋青羊区期末）已知一次函数 ykx+b 的图象经过点（0，1）与（2，0） ，则不等式 kx+b0的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 【点拨】写出一次函数图象在 x 轴上方所对应的自变量的范围即可 【详解】解：一次函数 ykx+b 的图象经过点（0，1）与（2，0） ， 不等式 kx+b0 的解集为 x2 故选：A 8 （2019 秋青白江区期末）如图所示，直线 yx+1（记为
10、l1）与直线 ymx+n（记为 l2）相交于点 P（a，2） ，则关于 x 的不等式 1n（m1）x 的解集为 x1 【点拨】先利用 yx+1 确定 a1，然后结合函数图象，写出直线 yx+1 不在直线 ymx+n 的下方所对应的自变量的范围即可 【详解】解：当 y2 时，a+12，解得 a1， 不等式 1n（m1）x 变形为 x+1mx+n， 而 x1 时，x+1mx+n， 所以关于 x 的不等式 1n（m1）x 的解集为 x1 故答案为 x1 9 （2019成都校级模拟）方程 7x2（k+13）x+k2k20（k 是实数）有两个实根 、，且 01，12，那么 k 的取值范围是（ ） A3k
11、4 B2k1 C3k4 或2k1 D无解 【点拨】记 f（x）7x2（k+13）x+k2k2，由题意根据 0， （1） （1）0， （2） （2）0 可得不等式组，解之即可得出答案 【详解】解：记 f（x）7x2（k+13）x+k2k2， 由题意得：(0) = 2 20(1) = 2 2 80(2) = 2 30 34或 2 1， k 的取值范围是 3k4 或2k1， 故选：C 四函数思想在二元一次方程（组）中的运用 10（2019秋平果县期末） 如图， 函数yax+b和ykx的图象交于点P， 关于x， y的方程组 = = 0的解是（ ） A = 2 = 3 B = 3 = 2 C = 3 =
12、 2 D = 3 = 2 【点拨】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标 【详解】解：由图可知，交点坐标为（3，2） ， 所以方程组 = = 0的解是 = 3 = 2 故选：D 11 （2019 秋青羊区期末）若方程组 = + 3 = (3 + 1) + 2无解，则 ykx2 图象不经过第 一 象限 【点拨】根据两直线平行没有公共点得到 k3k+1，解得 k= 12，则一次函数 ykx2 为 y= 12x2，然后根据一次函数的性质解决问题 【详解】解：方程组 = + 3 = (3 + 1) + 2无解， k3k+1，解得 k= 12， 一次函数 ykx2 为 y= 12x2，
13、一次函数 y= 12x2 经过第二、三、四象限，不经过第一象限 故答案为一 五函数思想在实际问题中的运用 12 （2019 秋金牛区期末）A，B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B 地如图反映的是二人行进路程 y（km）与行进时间 t（h）之间的关系，有下列说法： 甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的； 乙用了 4 个小时到达目的地； 乙比甲先出发 1 小时； 甲在出发 4 小时后被乙追上 在这些说法中，正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【点拨】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【详解】解：由图象可得， 甲始终是
14、匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故正确； 乙用了 3 个小时到达目的地，故错误； 乙比甲晚出发 1 小时，故错误； 甲在出发 4 小时后被乙超过，故错误； 由上可得，正确是， 故选：A 13 （2020武侯区模拟） 据报道， 从 2018 年 8 月以来， “非洲猪瘟” 给生猪养殖户带来了不可估量的损失 某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y 与 x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下
15、列问题： （1）分别求当 0 x10 和 x10 时，y 与 x 之间满足的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于 6 毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟 【点拨】 （1）分别利用当 0 x10，设 y 与 x 之间满足的函数关系式为 ykx，以及 x10 时，设 y 与 x之间满足的函数关系式为 y=，分别得出函数关系式； （2）直接利用 y6 时得出 x 的取值范围即可 【详解】解： （1）当 0 x10，设 y 与 x 之间满足的函数关系式为 ykx， 过点（10，30） ， 3010k， 解得：k3， y3x（0 x10） ， x10 时，设
16、y 与 x 之间满足的函数关系式为 y=， 过点（10，30） ， 30=10， k300， y=300（x10） ； （2）y3x（0 x10）中，当 y6 时，x2， y=300（x10）中，当 y6 时，x50， 2x50， 这次熏药的有效消毒时间是：50248（分钟） 答：这次熏药的有效消毒时间是 48 分钟 14 （2020锦江区校级模拟） 2020 年春节期间， 新型冠状病毒肆虐， 突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品已知该农产品成本为每千克 10 元调查发现，每天销售量 y（kg）与销售单价
17、 x（元）满足如图所示的函数关系（其中 10 x30） （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围 （2）当销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【点拨】 （1）由图象知，当 10 x14 时，y640；当 14x30 时，设 ykx+b，将（14，640） ， （30，320）解方程组即可得到结论； （2）求得函数解析式为 W（x10） （20 x+920）20（x28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论 【详解】解： （1）由图象知，当 10 x14 时，y640； 当 14x30 时，设 ykx+b，将（14，640） ， （30，320）代入得14 + = 64030 + = 320， 解得 = 20 = 920， y 与 x 之间的函数关系式为 y20 x+920； 综上所述，y= 640(10 14)20 + 920(14 30)； （2）当 10 x14 时 W640（x10）640 x6400， k6400， W 随着 x 的增大而增大， 当 x14 时，W46402560 元； 当 14x30 时，W（x10） （20 x+920）20（x28）2+6480， 200，14x30， 当 x28 时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元
