1、6.4.1 平面几何中的向量方法 学习目标学习目标 1.会用向量方法解决平面几何问题，体会向量在解决数学问题中的应用，培养数学建模素养. 2.掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的 “三部曲”. 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义. (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件： . aba=b 向量在平面几何中的应用 知识梳理 预习导学预习导学 (3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件： . (4
2、)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 . (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等，建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题. aba b=0 cos = | 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题； 第二步，通过 运算,研究几何元素之间的关系； 第三步，把 “翻译”成几何关系. 向量 向量 运算结果 【思考】 用向量方法解决平面几何问题的关键是什么? 提示：关键是将几何元素用向量表示，将平面几何问题转化为向量问题求解. 基础测试 1.
3、在ABC 中,若( + ) ( - )=0，则ABC 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.形状无法确定 2.若 =3e, =5e，且| |=| |，则四边形 ABCD 的形状 为 . 答案：C 等腰梯形 探索点一 平行问题 【例 1】 如图所示,已知 AC，BD是梯形 ABCD 的对角线，E，F 分别是 BD，AC 的中点.试用向量方法求证：EFBC. 重点探究重点探究 证明：设 =a， =b，则 = - =b-a. 因为 ，所以 = =b(0). 因为 E 为 BD 的中点，所以 =12 =12(b-a). 因为 F 是 AC 的中点，连接 BF(图略), 所以 =
4、+ = +12 = +12( - ) =12( + )=12( - )=12(b-a). 所以 = - =12(b-a)-12(b-a)=（12-12）b=（12-12） . 所以 . 因为 E，F，B，C四点不共线, 所以 EFBC. 方法规律 用向量方法证明 ABCD的步骤 (1)选择一个基底； (2)分别用基底表示 和 ； (3)确定 = 中的 的值(0),即有 ； (4)归纳总结. 【跟踪训练】 1.已知在平行四边形 ABCD中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=FC=14AC，试用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形. 证明：设 =a， =b，则 = + . 由题意
5、知 = - =14 -a=14b-34a, = - =b-34 =14b-34a, 所以 = . 因为 D，E，F，B 四点不共线，所以 DEFB，DE=FB， 所以四边形 DEBF 是平行四边形. 探索点二 垂直问题 【例 2】 如图所示，四边形 ABCD是菱形,AC和 BD是它的两条对角线，试用向量方法证明：ACBD. 证明:方法一：因为 = + , = - ， 所以 =( + ) ( - )=| |2-| |2=0. 所以 .所以 ACBD. 方法二：如图所示，以 BC 所在直线 为 x轴，以 B为原点建立平面直角 坐标系，则 B(0，0). 设 A(a，b)，C(c，0)，则 =(a，
6、b)， =(c，0). 由| |=| |，得 a2+b2=c2. 因为 = - =(c，0)-(a，b)=(c-a，-b)， = + =(a，b)+(c，0)=(a+c，b)， 所以 =c2-a2-b2=0. 所以 ，即 ACBD. 方法规律 利用向量解决垂直问题 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为 0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 【跟踪训练】 2.变式练求证:直径所对的圆周角为直角. 解：已知ABC 是圆 O 的直径 AC 所对的圆周角. 求证:ABC 是直角. 证明:如图所示.设 =a, =b, 则 =a+b, =
7、a, =a-b,|a|=|b|. 因为 =(a+b) (a-b)=|a|2-|b|2=0, 所以 ,所以ABC=90 . 3.同类练如图所示,在正方形 ABCD 中,P 为对角线AC 上任意一点,PEAB,PFBC,垂足分别为 E,F,连接 DP,EF,求证:DPEF. 证明：方法一:设正方形 ABCD 的边长为 1,AE=a(0a1), 则 EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP= 2a, 所以 =( + ) ( + )= + + + =1 a cos 180 +1 (1-a) cos 90 + 2a a cos 45 + 2a (1-a) cos 45 =-a+a2+a(1-a)=0.
8、所以 ,即 DPEF. 方法二：设正方形 ABCD 的边长为 1，建立平面直角坐标系 如图所示. 设 P(x，x)，则 D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 所以 =(x,x-1)， =(1-x，x). 因为 =x(1-x)+x(x-1)=0，所以 ，即 DPEF. 4.拔高练如图所示,已知 D 是ABC 中 AC 边上一点，且 ADDC=21，C=45 ，ADB=60 ，求证： AB 是BCD 外接圆的切线. 证明:如图所示,设BCD外接圆的圆心为 O, 半径为 R，连接 OB，OC，OD，OA. 取 =b， =c， =d，则|b|=|c|=|d|. 又由题意，知 和 所对应的圆心角分
9、别为 120 和 90 , 所以 b d=0，b c=|b|c|cos 120 =-12R2. 因为 = + =c+3 =c+3(d-c)=3d-2c, 所以 = - =b-3d+2c. 所以 =(b-3d+2c) b=R2+2c b=R2-R2=0, 即 ,所以 AB 是O的切线. 探索点三 长度问题 【例 3】 已知在 RtABC 中,C=90 ，设 AC=m，BC=n. 试用向量方法解决问题: (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD=12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于点 F， 求 AF 的长度(用 m，n 表示). 【解题模型示范】 【跟踪
10、训练】 5.如图所示,在四边形 ABCD 中， AD=4，AB=2. (1)若ABC 为等边三角形，且 ADBC，E 是 CD的中点，求 ； (2)若 AC=AB, cosCAB=35， =45，求| |. 解：(1)因为ABC 为等边三角形，且 ADBC， 所以DAB=120 . 因为 AD=2AB,所以 AD=2BC. 因为 E 是 CD 的中点， 所以 =12( + )=12( + + )=34 +12 . 因为 = - , 所以 =（34 +12 ） ( - )=34 2-12 2-14 =34 16-12 4-14 4 2 （-12）=11. (2)因为 AB=AC,AB=2,所以 AC=2. 因为 =45,所以 ( - )=45, 所以 - =45. 因为 =| | |cosCAB=435=125, 所以 =45+ =165, 所以| |2=| - |2=4+16-2165=685. 故| |=2 855. 课堂构建课堂构建
