1、广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 2021-2022 学年初三上学期期中考试试题学年初三上学期期中考试试题 考试时间考试时间 120分钟，满分分钟，满分 120 分分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）符合题目要求） 1. 下列图形中，不是中心对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 将方程2410 xx 的左边变成平方的形式是（ ） A. 2(2)1x B. 2(4)1x C. 2(2)5x D. 2(1)4x 3. 二次函数 y=ax2
2、+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ） A. （1，3） B. （0，1） C. （0，3） D. （2，1） 4. 关于方程2450 xx的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 5. 在平面直角坐标系中，将点 M（0，3）绕原点顺时针旋转 90 后得到的点的坐标为（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （3，0） D. （0，3） 6. 如图，ABCDE是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（ ）可以跟自身重合 A. 60 B. 120 C. 75 D. 72 7. 将抛物线 yx2
3、向右平移 2个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式是( ) A. y(x2)21 B. y(x2)21 C. y(x2)21 D. y(x2)21 8. 关于 x的一元二次方程 x2pxq0 的两根同为负数，则( ) A. p0且 q0 B. p0且 q0 C. p0且 q0 D. p0且 q0 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+8x+b的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知ABC的顶点坐标分别为 A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数 y=x2+bx+1 的图像与阴影部分(含边界)一定有公共
4、点，则实数 b 的取值范围是( ) A. b-2 B. b-2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 已知点（2，1）在抛物线 y=ax2上，则此函数的开口方向_ 12. 关于 x 的一元二次方程（k-2）x2+x+k2-4=0 的一个根为 0，则 k=_ 13. 在平面直角坐标系中，点 P（10，a）与点 Q（b，b+1）关于原点对称，则 a+b=_ 14. 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x -3 -2 -1 0 1 y -4 -3 -4 -7 -12 则该图象对
5、称轴是_ 15. 抛物线 y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是_ 16. 如图， 在等腰直角三角形 ABC中， C=90 ， AC=2 2cm， 将 ABC绕点 B顺时针旋转 60 得到 DBE，连接 DC，则线段 DC=_cm 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）x2+2x8=0 （2）2x2+3x+1=0 18. 在正方形网格中建立平面直角坐标系 xOy， ABC 的三个顶点均在格点上， （1）画出 ABC 关
6、于点 O的中心对称图形 A1B1C1 （2）线段 AC 与线段 A1C1的位置关系是_ 19. 王师傅开了一家商店，七月份盈利 2500 元，九月份盈利 3600 元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率 20. 已知关于 x 的方程 x2+5xp20 （1）求证：无论 p取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为 x1、x2，当 x1+x2x1x2时，求 p的值 21. 如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4） ，抛物线与 y轴交于点 B（0，3） ，与 x轴交于 C、D两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）求 BCD的面积 22. 如图，P是等边三角
7、形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10若将 PAC绕点 A 逆时针旋转后，得到P AB （1）点 P 与点 P之间的距离； （2）APB 的度数 23. 已知某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50件，而销售的单价每降低 1元，每天就多卖 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）设降价 x元，求出每天的销售利润 y（元）与 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天销售利润不低于 4000元，且每天的总
8、成本不超过 7000 元时，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本 每天的销售量） 24 如图，ABC是边长为 4的等边三角形，点 D是线段 BC的中点，EDF120，把EDF 绕点 D 旋转，使EDF的两边分别与线段 AB、AC 交于点 E、F （1）当 DFAC时，求证：BECF； （2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）在旋转过程中，连接 EF，设 BEx，DEF的面积为 S，求 S与 x之间的函数解析式，并求 S的最小值 25. 已知：抛物线 l1：y=x2+bx+3交 x 轴于点 A、B， （点 A 在点 B的左
9、侧） ，交 y轴于点 C，其对称轴为直线 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于点 D（0，52） （1）求抛物线2l的函数表达式； （2）P为直线1x 上一动点，连接PA，PC，当PAPC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线2l上一动点， 过点M作直线/ /MNy轴， 交抛物线1l于点N， 求点M自点A运动至点E过程中，线段MN长度的最大值 广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 2021-2022 学年初三上学期期中考试试题学年初三上学期期中考试试题 考试时间考试时间 120分钟，满分分钟，满分 120 分分 一、选择题（本大题共一、选择题（本
10、大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）符合题目要求） 1. 下列图形中，不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】解：A是中心对称图形，故本选项不合题意； B是中心对称图形，故本选项不合题意； C是中心对称图形，故本选项不合题意； D本是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了中
11、心对称图形的概念，解题的关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合 2. 将方程2410 xx 的左边变成平方的形式是（ ） A. 2(2)1x B. 2(4)1x C. 2(2)5x D. 2(1)4x 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法，方程两边同时加 5 即可求解 【详解】2410 xx 2445xx 225x 故答案为：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键 3. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ） A. （1，3） B. （0，1） C. （0，3） D. （2，1） 【答案】D 【解析
12、】 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标 【详解】解：观察图象发现图象与x轴交于点(1,0)和(3,0)， 对称轴为2x， 顶点坐标为(2,1)， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大 4. 关于方程2450 xx的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式直接判断即可 【详解】解：关于方程2450 xx， 1,4,5abc ， 224( 4)4 1 54
13、0bac ， 方程2450 xx没有实数根， 故选：B 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式， 熟知240bac， 有两个不相等的实数根；240bac，有两个相等的实数根；240bac-，没有实数根；是解题的关键 5. 在平面直角坐标系中，将点 M（0，3）绕原点顺时针旋转 90 后得到的点的坐标为（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （3，0） D. （0，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可确定点坐标 【详解】解：点(0, 3)M绕原点O顺时针旋转90，得到的点的坐标为( 3,0)， 故选：C 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形
14、或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 6. 如图，ABCDE是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（ ）可以跟自身重合 A. 60 B. 120 C. 75 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形的每个中心角相等且其和为 360即可得到结论 【详解】根据正五边形的性质，每个中心角的相等，则每个中心角的度数为 360 5=72，故该图形绕它的中心至少旋转 72 度可以跟自身重合 故选：D 【点睛】本题考查了图形的旋转及正多边形的性质，关键是抓住正多边形的中心角相等这一性质，问题即解决 7. 将抛物线
15、 yx2向右平移 2个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式是( ) A. y(x2)21 B. y(x2)21 C. y(x2)21 D. y(x2)21 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可. 【详解】将抛物线 yx2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式是y(x2)21 故选 B. 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟记抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”是解决问题的关键. 8. 关于 x的一元二次方程 x2pxq0 的两根同为负数，则( ) A. p0且 q0 B. p0且 q0 C.
16、p0且 q0 D. p0且 q0 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：设 x1，x2是该方程的两个负数根， 则有 x1+x20，x1x20， x1+x2=-p，x1x2=q -p0，q0 p0，q0 故选 A 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+8x+b的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数yaxb图象得到字母系数的正负，再与二次函数25yaxxb的图象相比较看是否一致 【详解】解：A、由抛物线可知，0a，得0b，由直线可知，0a ，0b，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，0a ，0
17、b，由直线可知，0a ，0b ，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，0a，0b，由直线可知，0a，0b，且交y轴同一点，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，0a ，0b，由直线可知，0a，0b 故本选项错误，不符合题意 故选：C 【点睛】 本题考查抛物线和直线的性质， 解题的关键是用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法 10. 如图，已知ABC的顶点坐标分别为 A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数 y=x2+bx+1 的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数 b 的取值范围是( ) A. b-2 B. b-2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据
18、y=x2+bx+1与 y轴交于点 （0， 1） ， 且与点 C 关于 x=1对称， 则对称轴 x1 时， 二次函数 y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出 b的取值范围. 【详解】当二次函数 y=x2+bx+1的图象经过点 B（1，0）时，1+b+1=0.解得 b=-2，故排除 B、D； 因为 y=x2+bx+1 与 y轴交于点（0，1） ，所以（0，1）与点 C关于直线 x=1对称，当对称轴 x1 时，二次函数 y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-2b1，解得 b-2，故选 C. 【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解. 二、填空题（本大题共二、
19、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 已知点（2，1）在抛物线 y=ax2上，则此函数的开口方向_ 【答案】向上 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（2，1）代入抛物线方程，然后解关于 a的方程，求得 a的值，从而可以确定抛物线方程的二次项系数，即可以判断这条抛物线的开口方向 【详解】解：点（2，1）在抛物线 y=ax2上， 点（2，1）满足抛物线方程 y=ax2， 14a， 解得 a14； 抛物线方程 y14x2的二次项系数 a140， 这条抛物线的开口方向向上 故答案是：向上 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标
20、特征经过图象上的某点时，该点一定满足该函数的关系式 12. 关于 x 的一元二次方程（k-2）x2+x+k2-4=0 的一个根为 0，则 k=_ 【答案】-2 【解析】 【详解】试题分析：方程为一元二次方程，所以20k，所以2k ，又其中一个根为 0，所以241 202kx xk，所以解得240k ，综上，2k 考点：一元二次方程二次项系数不为零，两根积的表达式 点评：本题考查的是一元二次方程两根积的关系式，通过两根积可以求出 k 的表达式，又因为一元二次方程二次项系数不为零，从而求出 k 的值 13. 在平面直角坐标系中，点 P（10，a）与点 Q（b，b+1）关于原点对称，则 a+b=_
21、【答案】1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得10b ，11a，进而可得ab的值 【详解】解：Q点( 10, )Pa与点( ,1)Q b b关于原点对称， 10b ，111ab ， 11 101ab ， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了两个点关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律：点关于原点对称时，它们的坐标符号相反 14. 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x -3 -2 -1 0 1 y -4 -3 -4 -7 -12 则该图象的对称轴是_ 【答案】2x 【解析】 【分析】根据二次函数的图象具有
22、对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴 【详解】解：由表格可得，当 x 取-3 和-1 时，y 值相等， 该函数图象的对称轴为直线3( 1)22 x， 故答案为：2x 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答 15. 抛物线 y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是_ 【答案】3x1 【解析】 【分析】函数的对称轴为：x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，则另外一个交点坐标为： （3，0） ，即可求解 【详解】解：函数的对称轴为：x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 则
23、另外一个交点坐标为： （3，0） ， 故：y0 时， 3x1， 故答案为：3x1 【点睛】本题考查的是抛物线与 x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，及这些点代表的意义及函数特征 16. 如图， 在等腰直角三角形 ABC中， C=90 ， AC=2 2cm， 将 ABC绕点 B顺时针旋转 60 得到 DBE，连接 DC，则线段 DC=_cm 【答案】2 32#22 3 【解析】 【分析】连接 CE，延长 DC交 AB于 H，先证明 CHAB，由直角三角形的性质可求解 【详解】如图，连接 CE，延长 DC交 AB于 H， 将ABC 绕点 B 顺
24、时针旋转 60得到DBE， ABDCBE60，BCBEACDE，ACBDEB90， BCE等边三角形，EDB45， CEBC，CEB60， CEDE，DEC30， EDCECD75， BDHEDCEDB30 ， BDHDBA90， CHAB， 又ACB90，BCAC2 2cm， AB2AC4（cm） ，CHAHBH2（cm） ， CHAB，BH2cm，BDH30， BD=2BH=4cm，DH=22422 3（cm） ， DCDHCH（232） （cm） ， 故答案为：232 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的
25、关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）x2+2x8=0 （2）2x2+3x+1=0 【答案】 （1）x1=2，x2=-4（2）x1=-12，x2=-1 【解析】 【分析】 （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解 【详解】 （1）x2+2x8=0 （x-2） （x+4）=0 x-2=0或 x+4=0 x1=2，x2=-4 （2）2x2+3x+1=0 （2x+1） （x+1）=0 2x+1=0或 x+1=0 x1=-12，x2
26、=-1 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用 18. 在正方形网格中建立平面直角坐标系 xOy， ABC 的三个顶点均在格点上， （1）画出 ABC 关于点 O的中心对称图形 A1B1C1 （2）线段 AC 与线段 A1C1的位置关系是_ 【答案】 （1）见解析； （2）平行 【解析】 【分析】 （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据中心对称的性质，即可得出平行且相等的关系 【详解】解： （1）如图所示，111ABC即为所求 （2）由中心对称的性质可知：线段 AC 与线段 A1C1平行且相等， 线段 AC 与线段 A1C1的位置
27、关系是平行， 故答案是：平行 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图、中心对称图形，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置 19. 王师傅开了一家商店，七月份盈利 2500 元，九月份盈利 3600 元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率 【答案】20% 【解析】 【分析】设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x，根据该商店七月份及九月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】解：设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：22500(1)3600 x， 解得：10.220%x ，22.2x （不合题意，舍去） 答：从从七
28、月到九月，每月盈利的平均增长率为20% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程 20. 已知关于 x 的方程 x2+5xp20 （1）求证：无论 p取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为 x1、x2，当 x1+x2x1x2时，求 p的值 【答案】 （1）证明见解析； （2）p5 【解析】 【分析】 （1）求出根的判别式25+p2，根据判别式的意义即可得出无论 p 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入 x1+x2x1x2，得到一个关于 p的一元二次方程，解方程即可 【详解】
29、 （1）证明：524（p2）25+4p2， 无论 p取何值时，总有 p20， 25+4p20， 无论 p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意可得，x1+x25，x1x2p2， x1+x2x1x2， 5p2， p5 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点： （1）一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根； 当0时， 方程无实数根 上面的结论反过来也成立 （2） 一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两实数根分别为 x1，x2，则有 x1+x2ab，x1
30、x2ca 21. 如图，已知抛物线顶点为 A（1，4） ，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）求 BCD的面积 【答案】 （1）2(1)4yx ； （2）6 【解析】 【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式2(1)4ya x，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令0y ，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论 【详解】解： （1）Q抛物线的顶点为(1,4)A， 设抛物线的解析式2(1)4ya x， 把点(0,3)B代入得，43a， 解得1a， 抛物线的解析式为2(1)4yx ； （2）由（1）知，抛物
31、线的解析式为2(1)4yx ； 令0y ，则20(1)4x ， 1x 或3x ， ( 1,0)C，(3,0)D； 4CD， 11|43622BCDBSCDy 【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题 22. 如图，P是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10若将 PAC绕点 A 逆时针旋转后，得到P AB （1）点 P 与点 P之间的距离； （2）APB 的度数 【答案】 （1）6； （2）150 【解析】 【分析】 （1）由已知PAC绕点A逆时针旋转后，得到P AB
32、，可得PACP AB，PAP A，旋转角60P APBAC ，所以APP为等边三角形，即可求得PP； （2）由APP为等边三角形，得60APP，在PP B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出90P PB ，可求APB的度数 详解】解： （1）连接PP， 由题意可知10BPPC ，APAP ， PACP AB ，而60PACBAP， 所以60PAP 度故APP为等边三角形， 所以6PPAPAP ； （2）利用勾股定理的逆定理可知： 222PPBPBP ，所以BPP为直角三角形，且90BPP 可求9060150APB 【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等
33、，解题的关键是你掌握旋转的图形的大小、形状都不改变 23. 已知某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50件，而销售的单价每降低 1元，每天就多卖 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）设降价 x元，求出每天的销售利润 y（元）与 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000元时，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本 每天的销售量） 【答案
34、】 （1）252002500,(050)yxxx ； （2）销售单价为 80 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500 元； （3）销售单价应该控制在 82元至 90 元之间 【解析】 【分析】 （1）根据“利润（售价成本）销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； （3）每天的销售利润不低于 4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过 7000 元，以及50100100 x，列不等式组即可 【详解】解： （1）由题意得： (10050)(505 )yxx， (50)(505 )xx， 25
35、2002500,(050)xxx， 所以252002500,(050)yxxx ； （2）22520025005(20)4500yxxx Q， 50a Q， 抛物线开口向下 050 xQ，对称轴是直线20 x=， 当20 x=时，即销售单价是 80 元， 每天的销售利润最大，最大利润是4500y最大值； 即销售单价为 80元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500元； （3）当4000y 时，2400052002500 xx ， 解得：110 x ，230 x ， 当1030 x时，即销售单价在70 10090 x ，每天的销售利润不低于 4000元， 由每天的总成本不超过 7000 元，
36、得50(550) 7000 x，解得：18x， 82100 x， 50 100100 x Q， 销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，列出相应等式，借助二次函数解决实际问题 24. 如图，ABC 是边长为 4的等边三角形，点 D是线段 BC的中点，EDF120，把EDF绕点 D旋转，使EDF的两边分别与线段 AB、AC 交于点 E、F （1）当 DFAC时，求证：BECF； （2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）在旋转过程中，连接 EF，设 BEx，DEF的面积为 S，求
37、 S与 x之间的函数解析式，并求 S的最小值 【答案】 （1） 见解析； （2） BE+CF2， 是为定值； （3） S34（x1）23 3+4， 当 x1时， S 最小值为3 34. 【解析】 【分析】 （1）根据四边形内角和为 360，可求DEA90，根据“AAS”可判定BDECDF，即可证 BECF； （2）过点 D作 DMAB于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，易证MBDNCD，则有 BMCN，DMDN，进而可证到EMDFND，则有 EMFN，就可得到 BE+CFBM+EM+CFBM+FN+CFBM+CN2BM2BDcos60BD12BC2； （3）过点 F作 FGAB，由题意可得
38、 SDEFSABCSAEFSBDESBCF，则可求 S与 x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求 S的最小值 【详解】 （1）ABC是边长为 4的等边三角形，点 D 是线段 BC的中点， BC60，BDCD， DFAC， DFA90， A+EDF+AFD+AED180， AED90， DEBDFC，且BC60，BDDC， BDECDF（AAS） （2）过点 D作 DMAB于 M，作 DNAC于 N， 则有AMDBMDANDCND90 A60， MDN360609090120 EDF120， MDENDF 在MBD和NCD 中，BMDCNDBCBDDC MBDNCD（AAS） BMC
39、N，DMDN 在EMD 和FND中，EMDFNDDMDNMDENDF ， EMDFND（ASA） EMFN， BE+CFBM+EM+CFBM+FN+CFBM+CN 2BM2BDcos60BD12BC2 （3）过点 F作 FGAB，垂足为 G， BEx AE4x，CF2x， AF2+x， SDEFSABCSAEFSBDESBCF， S12BCABsin6012AEAFsin6012BEBDsin6012CFCDsin60 4312（4x）（2+x）3212x23212（2x）232 S34（x1）2+3 34（ 当 x1 时，S最小值为3 34 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边
40、形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到 BMCN，DMDN，EMFN是解决本题的关键 25. 已知：抛物线 l1：y=x2+bx+3交 x 轴于点 A、B， （点 A 在点 B的左侧） ，交 y轴于点 C，其对称轴为直线 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于点 D（0，52） （1）求抛物线2l的函数表达式； （2）P为直线1x 上一动点，连接PA，PC，当PAPC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线2l上一动点， 过点M作直线/ /MNy轴， 交抛物线1l于点N， 求点M自点A
41、运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值 【答案】 （1）215222yxx； （2）(1,1)； （3）12 【解析】 【分析】 （1）由对称轴可求得b，可求得1l的解析式，令0y 可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得2l的表达式； （2）设P点坐标为(1, )y，由勾股定理可表示出2PC和2PA，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标； （3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值 【详解】解： （1）Q抛物线21:3lyxbx 的对称轴为1x ， 12b，解得2b， 抛物线1l的解析式为2yx2x3 ， 令0y ，可得2230 xx，解得1x
42、或3x ， A点坐标( 1,0)， Q抛物线2l经过点A、E两点， 可设抛物线2l解析式为(1)(5)ya xx， 又Q抛物线2l交y轴于点(20,5)D， 552a ，解得12a ， 2115(1)(5)2222yxxxx， 抛物线2l的函数表达式为215222yxx； （2）设P点坐标(1, )y，由（1）可得C点坐标为(0,3)， 22221(3)610PCyyy，22221 ( 1)4PAyy ， PCPAQ， 226104yyy，解得1y ， P点坐标为(1,1)； （3）由题意可设215( ,2)22M xxx， / /MNyQ轴， 2( ,23)N xxx， 令221523222
43、xxxx，可解得1x或113x ， 当1113x 时，2222153113449(23)(2)4()2222236MNxxxxxxx ， 显然411133 ，当43x 时，MN有最大值496； 当1153x 时，2222153113449(2)(23)4()2222236MNxxxxxxx ， 显然当43x 时，MN随x的增大而增大， 当5x 时，MN有最大值，23449(5)12236； 综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为 12 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点，在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论
