1、2020-2021 学年学年广东省广州市海珠区二校联考九年级上期中考试数学试卷广东省广州市海珠区二校联考九年级上期中考试数学试卷 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 已知三角形的两边长为 4 和 5， 第三边的长是方程 x25x+60 的一个根， 则这个三角形的周长是 （ ） A11 B12 C11 或 12 D15 2将二次函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可以得到函数（
2、 ） 的图象 Ay（x1）2+2 By（x1）22 Cy（x+1）2+2 Dy（x+1）22 3二次函数 y2x2+4x+1 的对称轴和顶点坐标分别是（ ） Ax1， （1，3） Bx1， （1，3） Cx1， （1，3） Dx1， （1，3） 4若实数 x 满足方程（x2+2x） （x2+2x2）80，那么 x2+2x 的值为（ ） A2 或 4 B4 C2 D2 或4 5若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（8，y3）都在二次函数 yax2（a0）的图象上，则下列结论正确 的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 6关于 x 的方程 kx2+2x1
3、0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 7在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 8如图是王阿姨晚饭后步行的路程 S（单位：m）与时间 t（单位：min）的函数图象，其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是（ ） A25min50min，王阿姨步行的路程为 800m B线段 CD 的函数解析式为 S32t+400（25t50） C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快 D曲线段 AB 的函数解析式为 S3（t20）2+1200（5t20） 9 二次函数
4、 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 对称轴为直线 x， 有下列结论： abc0； b+2c 0；a+5b+2c0其中，正确结论的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 10已知 、 是方程 x22x40 的两个实数根，则 3+8+6 的值为（ ） A1 B2 C22 D30 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 11已知抛物线 y（1+a）x2的开口向上，则 a 的取值范围是 12方程 3x（2x+1）2x+1 解为 13若二次函数 yx22x+k 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程
5、 x22x+k0 的解一个为 x1 3，则方程 x22x+k0 另一个解 x2 14有长为 30m 的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃 的面积是 72m2时，则 AB 15已知函数 y，且使 yk 成立的 x 值恰好有 2 个，则 k 的取值范围是 16对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用 a 作为这条线 段长度的近似值，当 a mm 时， （a9.9）2+（a10.1）2+（a10.0）2最小对另一条线段的 长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位：mm）x1，x2，xn，若用
6、 x 作为这条线段长度的近似值， 当 x mm 时， （xx1）2+（xx2）2+（xxn）2最小 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （5 分）解方程： （1） （x2）2（2x+3）2（用合适的方法） （2）3x24x+20（用公式法解） 18 （8 分）如图，二次函数 yx2+x+3 的图象与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求ABC 的面积 19 （9 分）已知二次函数 yx2+2x1 （1）选取适
7、当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象 x y （2）结合图象，写出使 y0 的 x 的取值范围； （3）若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出平移后所得图象 对应的函数解析式 20 （8 分）2020 年疫情期间，长沙市教育局出台长沙市中小学线上教学工作实施意见 ，长沙市推出名 师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生 4 万人次，第三批公益课受 益学生 4.84 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少
8、万人次？ 21 （10 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2满足 x12+x2216+x1x2，求实数 k 的值 22 （8 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，直 线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得ACM 的周长最短？若存在，求点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由 23 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0
9、，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使ACP 的面积等于ACB 的面积的一半？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A，C，M，Q 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，4）和 B（2，0）两点 （1）求 c 的值及 a，b 满足的关系式； （2）若抛物线在 A 和 B 两点间，从左到右上升，求 a 的取值范围； （3）抛物线同时经
10、过两个不同的点 M（p，m） ，N（2p，n） 若 mn，求 a 的值； 若 m2p3，n2p+1，求 a 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 已知三角形的两边长为 4 和 5， 第三边的长是方程 x25x+60 的一个根， 则这个三角形的周长是 （ ） A11 B12 C11 或 12 D15 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再求出三角形的
11、周长即可 【解答】解：x25x+60， （x2） （x3）0， x20，x30， x12，x23， 根据三角形的三边关系定理，第三边是 2 或 3 都行， 当第三边是 2 时，三角形的周长为 2+4+511； 当第三边是 3 时，三角形的周长为 3+4+512； 故选：C 2将二次函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可以得到函数（ ） 的图象 Ay（x1）2+2 By（x1）22 Cy（x+1）2+2 Dy（x+1）22 【分析】先确定抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对 应点的坐标为（1，2） ，然后利用
12、顶点式写出平移后所得抛物线的函数关系式 【解答】解：抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单 位所得对应点的坐标为（1，2） ，所以平移后所得抛物线的函数关系式是 y（x1）22 故选：B 3二次函数 y2x2+4x+1 的对称轴和顶点坐标分别是（ ） Ax1， （1，3） Bx1， （1，3） Cx1， （1，3） Dx1， （1，3） 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴和顶点坐标，本题得以解决 【解答】解：二次函数 y2x2+4x+12（x1）2+3， 该函数的对称轴是直线 x1，顶点坐标为（1，3） ， 故
13、选：D 4若实数 x 满足方程（x2+2x） （x2+2x2）80，那么 x2+2x 的值为（ ） A2 或 4 B4 C2 D2 或4 【分析】设 x2+2xy，则原方程化为 y（y2）80，求出 y，即可得出选项 【解答】解：设 x2+2xy，则原方程化为 y（y2）80， 解得：y4 或2， 当 y4 时，x2+2x4，此时方程有解， 当 y2 时，x2+2x2，此时方程无解，舍去， 所以 x2+2x4 故选：B 5若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（8，y3）都在二次函数 yax2（a0）的图象上，则下列结论正确 的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 D
14、y1y3y2 【分析】判断出二次函数的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的增减性解答 【解答】解：二次函数 yax2的对称轴为 y 轴，开口向下，且关于 y 轴对称， 当 x8 时和 x8 时对应的 y 值是相等的， x0 时，y 随 x 的增大而增大， 821， y，3y1y2 故选：C 6关于 x 的方程 kx2+2x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【分析】由于 k 的取值范围不能确定，故应分 k0 和 k0 两种情况进行解答 【解答】解： （1）当 k0 时，6x+90，解得 x； （2）当 k0 时，此方程是一元二次方程，
15、关于 x 的方程 kx2+2x10 有实数根， 224k（1）0，解得 k1， 由（1） 、 （2）得，k 的取值范围是 k1 故选：A 7在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在 y 左侧，a，b 同号，对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号，以及当 a 大于 0 时开口向 上，当 a 小于 0 时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数 的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左
16、向右逐渐下降；一次函数的常 数项为正，交 y 轴于正半轴，常数项为负，交 y 轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛 盾者为正确答案 【解答】解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一次项系数，图象 显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次项系数，图象显 示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D
17、 错 故选：C 8如图是王阿姨晚饭后步行的路程 S（单位：m）与时间 t（单位：min）的函数图象，其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是（ ） A25min50min，王阿姨步行的路程为 800m B线段 CD 的函数解析式为 S32t+400（25t50） C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快 D曲线段 AB 的函数解析式为 S3（t20）2+1200（5t20） 【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可 【解答】解：A、25min50min，王阿姨步行的路程为 20001200800m，故 A 没错； B、设线段 CD 的
18、函数解析式为 skt+b， 把（25，1200） ， （50，2000）代入得， 解得：， 线段 CD 的函数解析式为 S32t+400（25t50） ，故 B 没错； C、在 A 点的速度为105m/min，在 B 点的速度为45m/min，故 C 错误； D、当 t20 时，由图象可得 s1200m，将 t20 代入 S3（t20）2+1200（5t20）得 S1200， 故 D 没错 故选：C 9 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 对称轴为直线 x， 有下列结论： abc0； b+2c 0；a+5b+2c0其中，正确结论的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个
19、 D0 个 【分析】根据二次函数的图象的位置，确定 a、b、c 的符号，通过对称轴，与 x 轴交点的位置确定各个 选项的正确与错误即可 【解答】解：抛物线开口向下，因此 a0，对称轴在 y 轴的左侧，a、b 同号，故 b0，与 y 轴的交点 在 y 轴的正半轴，因此 c0， 故 abc0，因此正确， 对称轴为 x，即，即 2a3b，也就是 ab， 由图象可知，当 x1 时，yab+c0，即bb+c0，因此有 b+2c0，所以正确， 当 x2 时，y4a2b+c0， （1） 当 x1 时，ya+b+c0， （2） （1）+（2）得，5ab+2c0， 又 2a3b，则 4a6b， 5ab+2ca+
20、4ab+2ca+5b+2c0， 因此正确， 故选：A 10已知 、 是方程 x22x40 的两个实数根，则 3+8+6 的值为（ ） A1 B2 C22 D30 【分析】 根据根与系数的关系得到 +2， 由一元二次方程解的定义得到 2240， 则 22+4， 然后将其代入所求的代收式，并求值 【解答】解：、 是方程 x22x40 的两个实数根， +2，2240， 22+4 3+8+62+8+6 （2+4）+8+6 22+4+8+6 2（2+4）+4+8+6 8+8+14 8（+）+1430， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分
21、 18 分分.） 11已知抛物线 y（1+a）x2的开口向上，则 a 的取值范围是 a1 【分析】利用二次函数的性质得到 1+a0，然后解关于 a 的不等式即可 【解答】解：抛物线 y（1+a）x2的开口向上， 1+a0， a1 故答案为 a1 12方程 3x（2x+1）2x+1 解为 x1，x2 【分析】先变形得到 3x（2x+1）（2x+1）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：3x（2x+1）（2x+1）0， （2x+1） （3x1）0， 2x+10 或 3x10， 所以 x1，x2 故答案为 x1，x2 13若二次函数 yx22x+k 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程
22、 x22x+k0 的解一个为 x1 3，则方程 x22x+k0 另一个解 x2 1 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点问题， 利用关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 的解一个为 x13 得到 二次函数 yx22x+k 与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，然后利用抛物线的对称性得到二次函数 yx2 2x+k 与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ，从而得到方程 x22x+k0 另一个解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 的解一个为 x13， 二次函数 yx22x+k 与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 二次函数 yx22x+k
23、与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ， 方程 x22x+k0 另一个解 x21 故答案为1 14有长为 30m 的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃 的面积是 72m2时，则 AB 4m 或 6m 【分析】设 AB 长为 xm，则 BC 长为（303x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是 72m2，即可 得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设 AB 长为 xm，则 BC 长为（303x）m， 根据题意得：x（303x）72， 整理得：x210 x+240， 解得：x14，x26 答：AB 的长 4m 或 6m 故答案
24、是：4m 或 6m 15已知函数 y，且使 yk 成立的 x 值恰好有 2 个，则 k 的取值范围是 k1 或 k 8 【分析】求出抛物线 y（x1）2+1 和抛物线 y（x7）2+1 交点坐标（4，8） ，然后利用函数 图象求出直线 yk 与函数图象有两个交点时 k 的范围即可 【解答】解：y（x1）2+1 的顶点坐标为（1，1） ，y（x7）2+1 的顶点坐标为（7，1） ， 解方程（x1）2+1（x1）2+1 得 x4，则抛物线 y（x1）2+1 和抛物线 y（x7）2+1 相交于点（4，8） ， 如图， 直线 y8 与函数图象有三个交点， 当 k8 时，直线 yk 与函数图象有 2 个
25、交点， 当 k1 时，直线 yk 与函数图象有 2 个交点， 所以使 yk 成立的 x 值恰好有 2 个时，k1 或 k8 故答案为 k1 或 k8 16对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用 a 作为这条线 段长度的近似值，当 a 10.0 mm 时， （a9.9）2+（a10.1）2+（a10.0）2最小对另一条线段的 长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位：mm）x1，x2，xn，若用 x 作为这条线段长度的近似值， 当 x mm 时， （xx1）2+（xx2）2+（xxn）2最小 【分析】构建二次函数，利用二次函数的性
26、质即可解决问题 【解答】解：设 y（a9.9）2+（a10.1）2+（a10.0）23a260.0a+300.02， a30， 当 x10.0 时，y 有最小值， 设 w（xx1）2+（xx2）2+（xxn）2nx22（x1+x2+xn）x+（x12+x22+xn2） ， n0， 当 x时，w 有最小值 故答案为 10.0， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （5 分）解方程： （1） （x2）2（2x+3）2（用合适的方法） （2）3x24x+20（用公式法
27、解） 【分析】 （1）先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 【解答】解： （1） （x2）2（2x+3）2， （x2）（2x+3） ， x2（2x+3）或 x22x+3， 解得 x1，x25； （2）3x24x+20， b24ac（4）243224， x， x1，x2 18 （8 分）如图，二次函数 yx2+x+3 的图象与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）yx2+x+3，令 x0，则 y3，令 y0，则 x4 或1，即可求解； （2）AB
28、C 的面积ABOC，即可求解 【解答】解： （1）yx2+x+3，令 x0，则 y3， 令 y0，即 yx2+x+30， 解得：x4 或1， 故点 A、B、C 的坐标分别为： （1，0） 、 （4，0） 、 （0，3） ； （2）ABC 的面积ABOC（4+1）3 19 （9 分）已知二次函数 yx2+2x1 （1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象 x 3 2 1 0 1 y 2 1 2 1 2 （2）结合图象，写出使 y0 的 x 的取值范围； （3）若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出平移后所得图象 对应的函
29、数解析式 【分析】 （1）首先确定顶点坐标，以顶点为中心，对称取值，列表、描点，连线画出函数图象即可； （2）求出抛物线与 x 轴的交点坐标，利用函数图象即可解决问题； （3）根据平移后的顶点坐标，即可写出抛物线的解析式 【解答】解： （1）填表如下， x 3 2 1 0 1 y 2 1 2 1 2 描点，连线画出函数图象如图所示， （2）对于抛物线 yx2+2x1，令 y0，得到 x2+2x10，解得 x1+或1， 由图象可知，使 y0 的 x 的取值范围是 x1或 x1+ （3）抛物线 y（x+1）22，沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，所得图象对应 的函数解
30、析式为 y（x2）2 20 （8 分）2020 年疫情期间，长沙市教育局出台长沙市中小学线上教学工作实施意见 ，长沙市推出名 师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生 4 万人次，第三批公益课受 益学生 4.84 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【分析】 （1）设这个增长率为 x，根据第一批及第三批公益课受益学生人次数，即可得出关于 x 的一元 二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2） 根据第四批公益课受益学生人次数第三批公益课受益学生人次数 （1+增
31、长率） ， 即可求出结论 【解答】解： （1）设这个增长率为 x， 依题意，得：4（1+x）24.84， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：这个增长率为 10% （2）4.84（1+10%）5.324（万人次） 答：第四批公益课受益学生将达到 5.324 万人次 21 （10 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2满足 x12+x2216+x1x2，求实数 k 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出4k+50，解之即可得出实数 k 的取值范 围； （2）
32、由根与系数的关系可得 x1+x212k、x1x2k21，将其代入 x12+x22（x1+x2） 22x1x216+x1 x2中，解之即可得出 k 的值 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2， （2k1）24（k21）4k+50， 解得：k， 实数 k 的取值范围为 k （2）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2， x1+x212k，x1x2k21 x12+x22（x1+x2）22x1x216+x1x2， （12k）22（k21）16+（k21） ，即 k24k120， 解得：k2 或 k6（不符合题意，
33、舍去） 实数 k 的值为2 22 （8 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，直 线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得ACM 的周长最短？若存在，求点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由 【分析】 （1）把 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+bx+c 可求出 a、b、c 的值，即可确 定二次函数关系式； （2）由对称可知，直线 BC 与直线 x1 的交点就是要求的点 M，求出直线 BC 的关系式即可 【解答】解： （1）把 A（1，0）
34、，B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+bx+c 得， ，解得， 抛物线的关系式为 yx22x3； （2）抛物线 yx22x3 的对称轴为 x1， 点 M 在对称轴 x1 上，且ACM 的周长最短， MC+MA 最小， 点 A、点 B 关于直线 x1 对称， 连接 BC 交直线 x1 于点 M，此时 MC+MA 最小， 设直 BC 的关系式为 ykx+b， B（3，0） ，C（0，3） ， ，解得， 直线 BC 的关系式为 yx3， 当 x1 时，y132， 点 M（1，2） ， 在抛物线的对称轴上存在一点 M，使得ACM 的周长最短，此时 M（1，2） 23 （12 分）如图，抛物线
35、yax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使ACP 的面积等于ACB 的面积的一半？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A，C，M，Q 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）抛物线的表达式为：ya（x+3） （x1）a（x2+2x3） ，故3a3，解得：a1，即 可求解； （2）过点 B 作直线 AC 的平行线 n 交 y 轴于点 N，过点 P
36、作 AC 的平行线交 y 轴于点 M，ACP 的面积 等于ACB 的面积的一半，则 CMCN，即可求解； （3）当 MCAQ 且 MCAQ 时，M 与 C 关于对称轴 x1 对称，AQMC2，即可求解； 当 ACMQ 且 ACMQ 时， 点 M 到 x 轴的距离为 3， 设 M （m， m22m+3） ， 则m22m+33， 即可求解 【解答】解： （1）抛物线的表达式为：ya（x+3） （x1）a（x2+2x3） ， 故3a3， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3； （2）过点 B 作直线 AC 的平行线 n 交 y 轴于点 N，过点 P 作 AC 的平行线交 y 轴于点 m，
37、 ACP 的面积等于ACB 的面积的一半， CMCN， 由点 A、C 的坐标得， 解得， 直线 AC 的表达式为：yx+3， 设直线 n 的解析式为 yx+q， 将 B（1，0）代入，得：1+q0，即 q1， 则直线 n 的表达式为：yx1， 故点 N（0，1） ， 即 ON1，则 CN4，CMCN2， 则 OMCO+CM2+35， 故点 M（0，5） ， 则直线 m 的表达式为：yx+5， 联立并解得：x1 或2， 故点 P（1，4）或（2，3） ； （3）当 MCAQ 且 MCAQ 时，M 与 C 关于对称轴 x1 对称， AQMC2， Q1（1，0） ，Q2（5，0） ， 当 ACMQ
38、且 ACMQ 时， 因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在 x 轴上，所以点 M 到 x 轴的距离为 3 设 M（m，m22m+3） ， m22m+33， m2+2m60， ， ，； 综上：存在点 Q 有四个，分别为：Q1（1，0） ，Q2（5，0） ， 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，4）和 B（2，0）两点 （1）求 c 的值及 a，b 满足的关系式； （2）若抛物线在 A 和 B 两点间，从左到右上升，求 a 的取值范围； （3）抛物线同时经过两个不同的点 M（p，m） ，N（2p，n） 若 mn，求 a 的值； 若 m2p
39、3，n2p+1，求 a 的值 【分析】 （1）直接将 AB 两点代入解析式可求 c，以及 a，b 之间的关系式 （2）根据抛物线的性质可知，当 a0 时，抛物线对称轴右边的 y 随 x 增大而增大，结合抛物线对称轴 x和 A、B 两点位置列出不等式即可求解； （3）根据抛物线的对称性得出，解得 a； 根据 M、N 的坐标，易证得两点都在直线 y2x3 上，即 M、N 是直线 y2x3 与抛物线 y ax2+（22a）x4 的交点，然后根据根与系数的关系得出 p+（2p），解得 a1 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A（0，4）和 B（2，0） ， c4，2a+b2
40、 （2）由（1）可得：yax2+（22a）x4， 对称轴为 x， 抛物线在 A、B 两点间从左到右上升，即 y 随 x 的增大而增大； 当 a0 时，开口向上，对称轴在 A 点左侧或经过 A 点， 即：0， 解得：a1 0a1 当 a0 时，开口向下，对称轴在 B 点右侧或经过 B 点， 即2， 解得：a1； 1a0， 综上，若抛物线在 A 和 B 两点间，从左到右上升，a 的取值范围为1a0 或 0a1； （3）若 mn，则点 M（p，m） ，N（2p，n）关于直线 x对称， ， a； m2p3， M（p，m）在直线 y2x3 上， n2p+12（2p+2）+12（p2）3， N（2p，n）在直线 y2x3 上， 即 M、N 是直线 y2x3 与抛物线 yax2+（22a）x4 的交点， p 和2p 是方程 ax2+（22a）x42x3 的两个根， 整理得 ax2+（42a）x10， p+（2p）， a1
