1、2021 年浙江省湖州市南浔区中考数学模拟试卷年浙江省湖州市南浔区中考数学模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1人们通常把水结冰的温度记为 0，而比水结冰时温度高 1记为+1，那么比水结冰时温度低 3应记为（ ） A3 B1 C1 D3 2北斗三号最后一颗卫星于 2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成该卫星距离地面约 36000 千米，将数据 36000用科学记数法表示为（ ） A3.6103 B3.6104 C3.6105 D361
2、04 3下列运算正确的是（ ） A（a3）4a12 B（2a）24a2 Ca3a3a9 Da6a2a3 4如图，ACBC，直线 EF 经过点 C，若135，则2 的大小为（ ） A35 B45 C55 D65 5 在学校开展的环保主题实践活动中， 某小组的 5 位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为： 5， 3，6，8，6这组数据的众数、中位数分别为（ ） A8，8 B6，8 C8，6 D6，6 6如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若 AC6，BD8，则 AB 的长可能是（ ） A10 B8 C7 D6 7某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
3、Acm2 B60cm2 C65cm2 D130cm2 8 如图， 面积为 2 的等边三角形 ABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点， 则DEF 的面积是 （ ） A1 B C D 9如图，ABC 中，A30，点 P 从点 A 出发以 2cm/s 的速度沿折线 ACB 运动，点 Q 从点 A出发以 vcm/s 的速度沿 AB 运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 x（s），APQ 的面积为 y（cm2），y 关于 x 的函数图象由 C1，C2两段组成，如图所示，则 sinB（ ） A B C D 10如图，E，F 是正方
4、形 ABCD 的边 BC 上两个动点，BECF连接 AE，BD 交于点 G，连接 CG，DF交于点 M若正方形的边长为 1，则线段 BM 的最小值是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，小题，1112 每小题每小题 3 分，分，1318 每小题每小题 3 分，共分，共 30 分。不需写出解答过程，分。不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11写出一个比大且比小的整数为 12如图，O 的半径为 5cm，ABC 内接于O，BC5cm，则A 的度数为 13为了解某市九年级 9000 名学生中会游泳的学
5、生人数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 150 名学生会游泳，那么估计该市会游泳的九年级学生人数约为 名 14 九章算术记载： “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问一牛一羊共直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问一头牛和一只羊共值金多少两？”根据题意可得，一头牛和一只羊共值金 两 15设 x1，x2是方程 2x2+3x40 的两个实数根，则 4x12+4x12x2的值为 16如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 23，两树间的坡面距离AB10m， 则这两棵树的水平距离约
6、为 m（结果精确到0.1m， 参考数据： sin230.391，cos230.921，tan230.424） 17 如图， A 为双曲线 y在第二象限分支上的一个动点， 连接 AO 并延长交双曲线的另一分支于点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，若点 C 的坐标为（3，n），则 n 18 已知二次函数yax2+bx+c的图象的顶点在x轴上， 顶点以外的图象均位于x轴的上方， 若t，则 t 的最小值等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
7、或演算步骤）或演算步骤） 19（1）计算：+（2021）0（）1； （2）化简：（1） 20 （1） 沛沛沿一段笔直的人行道行走， 边走边欣赏风景， 在由 C 走到 D 的过程中， 通过隔离带的空隙 P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语（即线段 AB）：人民对美好生活的向往，就是我们奋斗的目标具体如下：如图，ABPMCD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 P，PDCD 垂足为 D已知 CD16 米请根据上述信息求标语 AB 的长度 （2）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用
8、为 80 元；若完全用电做动力行驶，则费用为 30 元已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多 0.5 元，求甲、乙两地的距离是多少千米？ 21如图，AB 为O 的直径，PQ 是O 的切线，E 为切点，ACPQ 于 C，交O 于 D （1）求证：AE 平分BAC； （2）若 ADEC2，求O 的半径 22电子政务、数字经济、智慧社会，一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后绘制成如下统计图表（不完整）： 组别 成绩 x（分） 人数 A 60 x70 10 B 70 x80 m
9、 C 80 x90 16 D 90 x100 4 请观察上面的图表，解答下列问题： （1）统计表中 m ；统计图中 n D 组的圆心角是 度； （2）D 组的 4 名学生中，有 2 名男生和 2 名女生从 D 组随机抽取 2 名学生参加 5G 体验活动，请你利用树状图或列表法求出至少有 1 名男生被抽取参加 5G 体验活动的概率 23如图，将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，使点 A 和点 C 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，OA2，OC3，E 是 AB 中点，反比例函数图象过点 E 且和 BC 相交于点 F （1）求反比例函数与直线 EF 的解析式； （2）连接 OE，OF，求四
10、边形 OEBF 的面积 24如图，ABD 中，ABDADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O求证：四边形 ABCD 是菱形； （3）取 AD 的中点 E，连接 OE，过 B 点作 BFAD，垂足为 F，若 OE，BD10，求 cosFBD 25已知二次函数 yx2+（a7）x+6，一次函数 y2ax7a+6 （1）当 a2 时，求这两个函数图象的交点的横坐标； （2）若二次函数图象的顶点恰好就是这两个函数图象的交点，求 a 的值； （3）若这两个函数图象有两个交点，且
11、二次函数图象上这两个交点之间的部分 y 随 x 的增大而增大，求a 的取值范围 26定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” （1） 如图 1， 四边形 ABCD 是 “等对角四边形” ， BD， B90， D105， 则C ； （2） 已知， 在ABC 中， AC4， BC3， AB5， D 为 AC 的中点， E 是线段 AB 上一点， 当四边形 BCDE是“等对角四边形”时求对角线 CE 的长； （3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 为“等对角四边形”，其顶点 A，C 的坐标分别为（，0），（，0），顶点 B 在 y 轴上，顶点 D
12、在第四象限内，且ADC120P 为坐标平面内的一点，抛物线 yax2+bx+c（a0）过 A，C，P 三点，当满足APCADC 的 P 点至少有3 个时，请直接写出 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1人们通常把水结冰的温度记为 0，而比水结冰时温度高 1记为+1，那么比水结冰时温度低 3应记为
13、（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答 解：人们通常把水结冰的温度记为 0，而比水结冰时温度高 1记为+1，那么比水结冰时温度低 3应记为3 故选：A 2北斗三号最后一颗卫星于 2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成该卫星距离地面约 36000 千米，将数据 36000用科学记数法表示为（ ） A3.6103 B3.6104 C3.6105 D36104 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n
14、 为整数， 据此判断即可 解：360003.6104 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A（a3）4a12 B（2a）24a2 Ca3a3a9 Da6a2a3 【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可 解：A、（a3）4a12，故 A 符合题意； B、（2a）24a2，故 B 不符合题意； C、a3a3a6，故 C 不符合题意； D、a6a2a4，故 D 不符合题意； 故选：A 4如图，ACBC，直线 EF 经过点 C，若135，则2 的大小为（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】根据垂直的定义，由 ACBC，得BCA
15、90，那么21801BCA180359055 解：ACBC， BCA90 21801BCA180359055 故选：C 5 在学校开展的环保主题实践活动中， 某小组的 5 位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为： 5， 3，6，8，6这组数据的众数、中位数分别为（ ） A8，8 B6，8 C8，6 D6，6 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数根据这两个定义解答即可 解：这组数据中出现次数最多的是数据 6， 所以这组
16、数据的众数为 6， 将数据重新排列为 3，5，6，6，8， 则这组数据的中位数为 6， 故选：D 6如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若 AC6，BD8，则 AB 的长可能是（ ） A10 B8 C7 D6 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出 AB 的取值范围，进而得出结论 解：四边形 ABCD 是平行四边形， OAAC3，OBBD4， 在AOB 中：43AB4+3， 即 1AB7， AB 的长可能为 6 故选：D 7某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） Acm2 B60cm2 C65cm2
17、 D130cm2 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解 解：观察图形可知： 圆锥母线长为：13， 所以圆锥侧面积为：rl51365（cm2） 答：该几何体的侧面积是 65cm2 故选：C 8 如图， 面积为 2 的等边三角形 ABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点， 则DEF 的面积是 （ ） A1 B C D 【分析】根据三角形中位线定理得到，证明DEFCAB，根据相似三角形的性质解答即可 解：D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ， DEFCAB， （）2， ABC 的面积2， DEF 的面积， 故选：B 9如图
18、，ABC 中，A30，点 P 从点 A 出发以 2cm/s 的速度沿折线 ACB 运动，点 Q 从点 A出发以 vcm/s 的速度沿 AB 运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 x（s），APQ 的面积为 y（cm2），y 关于 x 的函数图象由 C1，C2两段组成，如图所示，则 sinB（ ） A B C D 【分析】过点 P 作 PHAB 于点 H，然后解直角三角形求出 PH 的长，然后针对点 P 在线段 AC 和线段BC 上时进行分类讨论求出APQ 的面积，再结合函数图象所获得的信息代入求值 解：由图可得，点 P 和点 Q 的运动时间为 5
19、s， AC+AB2510（cm）， 过点 P 作 PHAB 于点 H， 如图 1，当点 P 在线段 AC 上时，AP2x（cm），AQvx（cm）， A30， PHAPsinA2xx（cm）， C1：yxvxvx2， 由图可知，点（1，）在 C1图象上， v1， v1（cm/s）， 如图 2，当点 P 在线段 BC 上时，BP（102x）cm，AQx（cm）， PHBPsinB（102x）sinB， C2：yx（102x）sinBx（5x）sinB， 由图可知，点（4，）在 C2图象上， 41sinB， sinB， 故选：A 10如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 BC 上两个动点，BEC
20、F连接 AE，BD 交于点 G，连接 CG，DF交于点 M若正方形的边长为 1，则线段 BM 的最小值是（ ） A B C D 【分析】 证明ABEDCF （SAS） 由全等三角形的性质得出BAECDF， 证明ABGCBG （SAS） ，由全等三角形的性质得出BAGBCG，取 CD 的中点 O，连接 OB、OF，则 OFCOCD，由勾股定理求出 OB 的长，当 O、M、B 三点共线时，BM 的长度最小，则可求出答案 解：如图，在正方形 ABCD 中，ABADCB，EBAFCD，ABGCBG， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（SAS）， BAECDF， 在ABG 和CBG 中， ，
21、ABGCBG（SAS）， BAGBCG， CDFBCG， DCM+BCGFCD90， CDF+DCM90， DMC1809090， 取 CD 的中点 O，连接 OB、OF， 则 OFCOCD， 在 RtBOC 中，OB， 根据三角形的三边关系，OF+BMOB， 当 O、M、B 三点共线时，BM 的长度最小， BM 的最小值OBOF 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，小题，1112 每小题每小题 3 分，分，1318 每小题每小题 3 分，共分，共 30 分。不需写出解答过程，分。不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）请把最终结果直接填写在答题卡相
22、应位置上） 11写出一个比大且比小的整数为 3 或 4 【分析】根据算术平方根的定义估算出，的大小，进而可得答案 解：224，329， 23， 4216，5225， 45， 大于且小于的整数有 3 或 4， 故答案为：3 或 4 12如图，O 的半径为 5cm，ABC 内接于O，BC5cm，则A 的度数为 30 【分析】如图，锐角三角形 ABC 内接于O，根据O 的半径为 5cm，BC5cm，可得OBC 是等边三角形，根据圆周角定理即可得到A 的度数 解：如图，连接 OB，OC，锐角三角形 ABC 内接于O， O 的半径为 5cm，BC5cm， OBOCBC5cm， OBC 是等边三角形， B
23、OC60， ABOC30， A 的度数为 30， 故答案为：30 13为了解某市九年级 9000 名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 150 名学生会游泳，那么估计该市会游泳的九年级学生人数约为 3375 名 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出该市会游泳的九年级学生人数约有多少名 解：由题意可得， 估计该市会游泳的九年级学生有：90003375（名）， 故答案为：3375 14 九章算术记载： “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问一牛一羊共直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问一头
24、牛和一只羊共值金多少两？”根据题意可得，一头牛和一只羊共值金 两 【分析】根据“5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两”，得到两个等量关系，即可列出方程组 解：设 l 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两， 由题意可得， 上述两式相加可得，x+y 故答案为： 15设 x1，x2是方程 2x2+3x40 的两个实数根，则 4x12+4x12x2的值为 11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 2x123x1+4，则 4x12+4x12x2化为2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到 x1+x2，然后利用整体代入的方法计算 解：x1是方程 2x2+3x40
25、 的根， 2x12+3x140， 2x123x1+4， 4x12+4x12x22（3x1+4）+4x12x22（x1+x2）+8， x1，x2是方程 2x2+3x40 的两个实数根， x1+x2， 4x12+4x12x22（x1+x2）+82（）+811 故答案为 11 16如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 23，两树间的坡面距离 AB10m， 则这两棵树的水平距离约为 9.2 m （结果精确到 0.1m， 参考数据： sin230.391，cos230.921，tan230.424） 【分析】过点 A 作水平面的平行线 AC，过点 B 作 BCA
26、C 于 C，根据余弦的定义计算即可 解：过点 A 作水平面的平行线 AC，过点 B 作 BCAC 于 C， 由题意得：AB10m，BAC23， 则 ACABcosBAC100.9219.2（米）， 故答案为：9.2 17 如图， A 为双曲线 y在第二象限分支上的一个动点， 连接 AO 并延长交双曲线的另一分支于点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，若点 C 的坐标为（3，n），则 n 9 【分析】连接 OC，作 AMx 轴于 M，CNx 轴于 N，根据题意得出CAO60，COAB，从而得出，通过证得AOMOCN，得出（）23，即可得出3，解得 n9 解：连接 OC，作 AMx 轴于 M
27、，CNx 轴于 N， A、B 为双曲线 y上的点，且 AB 经过原点 O， OAOB， ABC 是等边三角形， CAO60，COAB， ， AOM+CON90， AOM+OAM90， CONOAM， AMOCNO90， AOMOCN， （）23， A 为双曲线 y在第二象限分支上的一个动点，点 C 的坐标为（3，n）， SAOM|9|，SCONONCN， 3， n9， 故答案为 9 18 已知二次函数yax2+bx+c的图象的顶点在x轴上， 顶点以外的图象均位于x轴的上方， 若t，则 t 的最小值等于 【分析】 由顶点在 x 轴上， 顶点以外的图象均位于 x 轴的上方知b24ac0， 然后将其
28、代入 t 中化简，结合二次函数的性质求得 t 的最小值 解：由题意得，b24ac0， 4acb2， t1+3+1+3+1+， 令 m，则 t4m2+3m+1， 当 m时，t最小值 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19（1）计算：+（2021）0（）1； （2）化简：（1） 【分析】（1）根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案 （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案 解：（1）
29、原式2+12 1 （2）原式（） 20 （1） 沛沛沿一段笔直的人行道行走， 边走边欣赏风景， 在由 C 走到 D 的过程中， 通过隔离带的空隙 P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语（即线段 AB）：人民对美好生活的向往，就是我们奋斗的目标具体如下：如图，ABPMCD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 P，PDCD 垂足为 D已知 CD16 米请根据上述信息求标语 AB 的长度 （2）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为 80 元；若完全用电做动力行驶，则费用为 30 元
30、已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多 0.5 元，求甲、乙两地的距离是多少千米？ 【分析】（1）首先证明ABPCDP，再利用全等三角形的性质可得 AB 的长度； （2）设甲、乙两地的距离是 x 千米，根据关键语句“汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多 0.5 元”列出方程，再解即可 解：（1）CDAB， CDPABP， PDCD， CDP90， PBA90， 相邻两平行线间的距离相等， PDPB， 在ABP 和CDP 中， ， ABPCDP（ASA）， ABCD16 米； （2）设甲、乙两地的距离是 x 千米，由题意得： +0.5， 解得：x100， 经检验：x100 是原分式方程的解，且
31、符合题意， 答：甲、乙两地的距离是 100 千米 21如图，AB 为O 的直径，PQ 是O 的切线，E 为切点，ACPQ 于 C，交O 于 D （1）求证：AE 平分BAC； （2）若 ADEC2，求O 的半径 【分析】（1）连接 OE，根据切线的性质就可以得出 OEPQ，就可以得出 OEAC，可以得出BAECAE 而得出结论； （2）过点 O 作 OMAC 于 M，由垂径定理求出 AM1，在直角AOM 中根据勾股定理就可以求出半径 OA 【解答】（1）证明：连接 OE， OAOE， OEAOAE， PQ 切O 于 E， OEPQ， ACPQ， OEAC， OEAEAC， OAEEAC， AE
32、 平分BAC； （2）解：过点 O 作 OMAC 于 M， AMMDAD， ADEC2， AMMD1， 又OECACEOMC90， 四边形 OECM 为矩形， OMEC2， 在 RtAOM 中，OA， 即O 的半径为 22电子政务、数字经济、智慧社会，一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后绘制成如下统计图表（不完整）： 组别 成绩 x（分） 人数 A 60 x70 10 B 70 x80 m C 80 x90 16 D 90 x100 4 请观察上面的图表，解答下列问题：
33、（1）统计表中 m 20 ；统计图中 n 32 D 组的圆心角是 288 度； （2）D 组的 4 名学生中，有 2 名男生和 2 名女生从 D 组随机抽取 2 名学生参加 5G 体验活动，请你利用树状图或列表法求出至少有 1 名男生被抽取参加 5G 体验活动的概率 【分析】（1）根据“A 组”的有 10 人，占调查人数的 20%，可求出调查人数，进而计算出 m、n 的值，求出“D 组”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数； （2）用列表法表示所有可能出现的结果，从中得出至少有 1 名男生的结果数，进而求出相应的概率 解：（1）1020%50（人）， m501016420（人）， 165
34、0100%32%，因此 n32， 360288， 故答案为：20，32，288； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种等可能出现的结果，其中至少有 1 名男生的有 10 种， 所以从中任取 2 人，至少有 1 名男生的概率为， 答：从中任取两人，至少有 1 名男生的概率为 23如图，将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，使点 A 和点 C 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，OA2，OC3，E 是 AB 中点，反比例函数图象过点 E 且和 BC 相交于点 F （1）求反比例函数与直线 EF 的解析式； （2）连接 OE，OF，求四边形 OEBF 的面积 【分析】
35、（1）根据 OA2，OC3，E 是 AB 中点，求得 B（2，3），E（2，），设反比例函数的解析式为 y， 把 E （2， ） 代入得求得反比例函数的解析式为 y， 设直线 EF 的解析式为 yk2x+b，把 E（2，），F（1，3）代入，求得直线 EF 的解析式为 yx+； （2）根据三角形和矩形的面积公式即可得到答案 解：（1）OA2，OC3，E 是 AB 中点， B（2，3），E（2，）， 设反比例函数的解析式为 y， 把 E（2，）代入得， 解得：k13， 反比例函数的解析式为 y， 点 F 在 BC 上， yF3， 把 yF3 代入 y得，xF1， F（1，3）， 设直线 EF 的
36、解析式为 yk2x+b， 把 E（2，），F（1，3）代入得， 解得：， 直线 EF 的解析式为 yx+； （2）S四边形OEBFS矩形OABCSOCFSOAE231323 24如图，ABD 中，ABDADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O求证：四边形 ABCD 是菱形； （3）取 AD 的中点 E，连接 OE，过 B 点作 BFAD，垂足为 F，若 OE，BD10，求 cosFBD 【分析】（1）根据要求周长点 C 即可 （2）根据四边相等的四边形是菱形证明即可
37、（3）利用面积法求出 BF，再根据 cosFBD，求解即可 【解答】（1）解：如图 1 中，点 C 即为所求 （2）证明：如图 2 中， ABDADB， ABAD， A，C 关于 BD 对称， BABC，DADC， ABBCCDAD， 四边形 ABCD 是菱形 （3）解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ODBD5， AEDE， AD2OE13， OA12， BFAD， ACBDADBF， BF241013， cosFBD 25已知二次函数 yx2+（a7）x+6，一次函数 y2ax7a+6 （1）当 a2 时，求这两个函数图象的交点的横坐标； （2）若二次函数图象的顶点恰好就是这两个函数
38、图象的交点，求 a 的值； （3）若这两个函数图象有两个交点，且二次函数图象上这两个交点之间的部分 y 随 x 的增大而增大，求a 的取值范围 【分析】（1）把 a2 代入两个函数，联立整理得：x29x+140，解方程即可求得交点横坐标； （2）解析式联立整理得 x2+（a7）x+7a0，分两种情况讨论求得即可； （3）由可得两交点的横坐标分别为 a 和 7，二次函数图象开口向上，根据二次函数的性质得出a7 或7a，然后解不等式组即可 解：（1）把 a2 代入两个函数，联立整理得：x29x+140 解得：x12，x27， 交点横坐标为 2，7； （2）由题意得 x2+（a7）x+7a0， 当两
39、个函数图象只有一个交点时，可得0，即（a7）20， a7， 二次函数的顶点坐标为（0，6）， 二次函数图象的顶点在这两个函数图象的交点处， （0，6）也在一次函数图象上， 把 x0 代入一次函数得 y436， a7 不符合题意，舍去， 当两个函数图象有两个交点时，x2+（a7）x+7a0，解得：x1a，x27， 二次函数图象的顶点在这两个函数图象的交点处， a 或7， 解得：a或7， 综上，a或7； （3）这两个函数图象有两个交点， 由可得两交点的横坐标分别为 a 和 7，二次函数图象开口向上， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大， a7 或7a， 解得：a7 或 a7 26定义：有一组
40、对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” （1） 如图 1， 四边形 ABCD 是 “等对角四边形” ， BD， B90， D105， 则C 82.5 ； （2） 已知， 在ABC 中， AC4， BC3， AB5， D 为 AC 的中点， E 是线段 AB 上一点， 当四边形 BCDE是“等对角四边形”时求对角线 CE 的长； （3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 为“等对角四边形”，其顶点 A，C 的坐标分别为（，0），（，0），顶点 B 在 y 轴上，顶点 D 在第四象限内，且ADC120P 为坐标平面内的一点，抛物线 yax2+bx+c（a0）
41、过 A，C，P 三点，当满足APCADC 的 P 点至少有3 个时，请直接写出 a 的取值范围 【分析】（1）由B90，D105，可得A+C165，根据四边形 ABCD 是“等对角四边形”，即得CA82.5； （2）由 AC4，BC3，AB5，可得ACB90，若DEBACB90，过 E 作 EHAC 于H，连接 CE，即得AHE90，ADAC2，根据 cosA得 AE，由AHEACB，即有 AH，HE，从而 CE；若BCDE，过 E 作 EFAC于 F，作 EMBC 于 M，连接 CE，设 BEx，可得 EMx，BMx，即知 FCEMx，CMEF3x，根据 tanBtanCDE，即，得 DFx
42、，故x+x2，即可解得 x，从而得到答案； （3）作 B 关于 x 轴对称点 B，分别以 B、B为圆心，BA 为半径作圆，交 y 轴于 F、E，由 A，C 的坐标分别为（，0），（，0），顶点 B 在 y 轴上，得 ACBC，BACBCA，又 D 在第四象限内，即知BADBCD，根据四边形 ABCD 为“等对角四边形”，即得ABOCBO60，可得B（0，1），当点 P 在优弧 AFC 上时，APCABCADC，由对称性知，当点 P 在优弧 AEC上时， APCADCABC， 当抛物线 yax2+bx+c 过 E 点时满足题意的 P 点有 3 个， 而 E （0，3） ， 故当满足APCADC
43、的 P 点至少有 3 个时， c3， 由抛物线 yax2+bx+c 过点 A （，0）、C（，0），可得 c3a，从而可得 a1 解：（1）B90，D105， BD，A+C360BD165， 四边形 ABCD 是“等对角四边形”， CA82.5； 故答案为：82.5； （2）AC4，BC3，AB5， AC2+BC225，AB225， AC2+BC2AB2， ACB90， 若DEBACB90，过 E 作 EHAC 于 H，连接 CE，如图： AHE90， D 是 AC 中点，AC4， ADAC2， cosA，即， AE， AHEACB90， HEBC， AHEACB， ，即， AH，HE， CH
44、ACAH， CE； 若BCDE，过 E 作 EFAC 于 F，作 EMBC 于 M，连接 CE，如图： 设 BEx， sinB，cosB， EMx，BMx， EFAC，EMBC，ACB90， 四边形 FCME 是矩形， FCEMx，CMEF3x， BCDE， tanBtanCDE，即， ， DFx， D 是 AC 中点，AC4， DC2， x+x2， 解得 x（舍去）， 综上所述，CE； （3）作 B 关于 x 轴对称点 B，分别以 B、B为圆心，BA 为半径作圆，交 y 轴于 F、E，如图： A，C 的坐标分别为（，0），（，0），顶点 B 在 y 轴上， ACBC， BACBCA， D 在
45、第四象限内， ADCD， DACDCA， BADBCD， 而四边形 ABCD 为“等对角四边形”， ABCADC120， ABOCBO60， OAOC， OB1，ABBC2， B（0，1）， 当点 P 在优弧 AFC 上时，APCABCADC， 由对称性知，当点 P 在优弧 AEC 上时，APCADCABC， 抛物线 yax2+bx+c 中，a0， 当抛物线过 E 点时满足题意的 P 点有 3 个， OEOB+BEOB+AB3， E（0，3）， 当满足APCADC 的 P 点至少有 3 个时，yax2+bx+c 中 c3， 而抛物线 yax2+bx+c 过点 A（，0）、C（，0）， ya（x+）（x）ax23a，可得 c3a， 3a3， a1
