1、2021 年河南省濮阳市范县中考数学模拟试卷年河南省濮阳市范县中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）. 1下列各数中，最大的是（ ） A3 B0 C1 D2 2下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A B C D 3我市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 460000 套，用于缓解中低收入人群的住房需求，把 460000 用科学记数法表示应是（ ） A0.46106 B4.6105 C4.6106 D46105 4下列运算正确的是（ ） A6a5a1 Ba2a3a3 C（2a）24a2 Da6a3a3 5如
2、图，直线 a、b 被直线 c 所截若155，则2 的度数是（ ）时能判定 ab A35 B45 C125 D145 6已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y2 7小红连续 5 天的体温数据如下（单位：）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A中位数是 36.5 B众数是 36.2 C平均数是 36.2 D极差是 0.3 8已知二次函数 yx24x+2，关于该函数在1x
3、3 的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A有最大值1，有最小值2 B有最大值 0，有最小值1 C有最大值 7，有最小值1 D有最大值 7，有最小值2 9如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE3，则 BE 的长为（ ） A5 B4 C3 D6 10如图，在直角三角形 ABC 中，C90，ACBC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重
4、合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：（3）0+（）1 12不等式组的解集为 13在一个布袋里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 14如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 逆时针旋转 45至 ABCD的位置，若 AB8cm，则图中阴影部分的面积为 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5，BC2，
5、点 M，N 分别在边 AB，CD 上，CN1现将四边形BCM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在图中 CD 边上方的点 B，C处，在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB与边 CD 交于点 E，则线段 DE 长的取值范围为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 8 个小题，计个小题，计 75 分）分） 16先化简，再求值：，其中 a2，b1 17某校计划成立下列学生社团： 社团名称 文学社 话剧创作社 合唱团 生物实验小组 英语俱乐部 社团代号 A B C D E 为了解该校学生对上述社团的喜爱情况，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生必须选一个且只选一
6、个学生社团）根据统计数据，绘制了条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ，统计图中的 a ，b ； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有 2500 名学生，请你估计全校喜爱“合唱团”的学生人数 18如图，在直角坐标系中，RtABC 位于第一象限，两条直角边 AC、AB 分别平行于 x 轴、y 轴，点 A 的坐标为（1，1），AB3，AC6 （1）求 BC 边所在直线的解析式； （2）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 A，求 m 的值； （3）若反比例函数 y（x0）的图象与ABC 有公共点，请直接写出 n 的取值范围 1
7、92020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，火箭飞行约 2200 秒后，顺利将探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅 如图， 火箭从地面 O 处发射， 当火箭达到 A 点时， 从位于地面 C 处雷达站测得 AC 的距离是 6km，仰角为 42.4； 1 秒后火箭到达 B 点， 此时测得仰角为 45.5 求这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是多少？（结果精确到 0.01） （参考数据：sin42.40.67，cos42.40.74，tan42.40905，sin45.50.71，cos45.5
8、0.70，tan45.51.02） 20阅读与思考： 阿基米德（公元前 287 年一公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有 10 余种，多为希腊文手稿下面是阿基米德全集中记载的一个命题：AB 是O 的弦，点 C 在O 上，且 CDAB 于点 D，在弦 AB 上取点 E，使 ADDE，点 F 是上的一点，且，连接 BF 可得 BFBE （1）将上述问题中弦 AB 改为直径 AB，如图 1 所示，试证明 BFBE； （2）如图 2 所示，若直径 AB10，EOOB，作直线 l 与O 相切于点 F过点
9、B 作 BPl 于点 P求BP 的长 21为加快老旧小区改造，某企业需运输一批物资据调查得知，2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运输60 箱物资：5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 135 箱物资 （1）求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次分别运输多少箱物资； （2） 计划用两种货车共 12 辆运输这批物资， 每辆大货车一次需费用 500 元， 每辆小货次需费用 300 元 若运输物资不少于 150 箱， 且总费用小于 5400 元 请你列出所有运输方案， 并指出哪种方案所需費用最少，最少费用是多少？ 22在ABC 中，CACB，ACB，D 为ABC 内一点，将CAD 绕点 C 按逆时
10、针方向旋转角 得到CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E （1）如图 1，若 A，D，E 三点在同一直线上，则CDE （用含 的代数式表示）； （2）如图 2，若 A，D，E 三点在同一直线上，60，过点 C 作 CFAE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）图 3 中，若 CA2，CD2，将DCE 绕点 C 旋转，当 时，CAD 的面积最大，最大面积是 23已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C（0，3），顶点 D 的坐标为（1，4） （1）求抛物线的解析式； （
11、2） 如图 1， 抛物线在第四象限的图象上有一点 M， 求四边形 ABMC 面积的最大值及此时点 M 的坐标； （3）如图 2，直线 CD 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EC 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数中，最大的是（ ） A3 B0 C1 D2 【分析】先在数轴上标出各选项中的数，再根据数轴上表示的数，越在右边的数越大，得出结果 解：表示3、0、1、2 的数在数轴上的位置如图所示： ， 由图
12、示知，这四个数中，最大的是 2 故选：D 2下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A B C D 【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对 A、B 进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对 C、D 进行判断 解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 A 选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 B 选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 C 选项正确 D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 D 选项错误； 故选：C 3我市为做好“稳
13、就业、保民生”工作，将新建保障性住房 460000 套，用于缓解中低收入人群的住房需求，把 460000 用科学记数法表示应是（ ） A0.46106 B4.6105 C4.6106 D46105 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 解：4600004.6105 故选：B 4下列运算正确的是（ ） A6a5a1 Ba2a3a3 C（2a）24a2 Da6a3a3 【分析】根据合并同类项运算法则判断 A，根据同底数幂的乘方运算法则判断 B，根据积的乘方运算法则判断 C，根据同底数幂的除法运算法则判
14、断 D 解：A、6a5aa，故此选项不符合题意； B、a2a3a5，故此选项不符合题意； C、（2a）24a2，故此选项不符合题意； D、a6a3a3，正确，故此选项符合题意； 故选：D 5如图，直线 a、b 被直线 c 所截若155，则2 的度数是（ ）时能判定 ab A35 B45 C125 D145 【分析】根据内错角角相等，两直线平行的判定定理进行解答 解：如图，2125，2+3180， 355， 155， 13， ab， 故选：C 6已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（
15、 ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y2 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数 y（k0）的图象分布在第二、四象限，则 y3最小，y2最大 解：反比例函数 y（k0）的图象分布在第二、四象限， 在每一象限 y 随 x 的增大而增大， 而 x1x20 x3， y30y1y2 即 y2y1y3 故选：A 7小红连续 5 天的体温数据如下（单位：）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A中位数是 36.5 B众数是 36.2 C平均数是 36.2 D极差是 0.3 【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求
16、出结果即可 解：把小红连续 5 天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6， 处在中间位置的一个数是 36.3，因此中位数是 36.3； 出现次数最多的是 36.2，因此众数是 36.2； 平均数为： （36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）536.36， 极差为：36.636.20.4， 故选：B 8已知二次函数 yx24x+2，关于该函数在1x3 的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A有最大值1，有最小值2 B有最大值 0，有最小值1 C有最大值 7，有最小值1 D有最大值 7，有最小值2 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二
17、次函数的最值问题解答 解：yx24x+2（x2）22， 在1x3 的取值范围内，当 x2 时，有最小值2， 当 x1 时，有最大值为 y927 故选：D 9如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE3，则 BE 的长为（ ） A5 B4 C3 D6 【分析】设 BEAEx，在 RtBEC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 解：解：由作图可知，MN 垂直平分线段 AB， AEEB， 设 AEEBx， EC3，AC2BC， BC（x+3）， 在 Rt
18、BCE 中，BE2BC2+EC2， x232+（x+3）2， 解得，x5 或3（舍弃）， BE5， 故选：A 10如图，在直角三角形 ABC 中，C90，ACBC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据已知条件得到ABC 是等腰直角三角形，推出四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离a 时，如图 1S正方
19、形的面积EEH 的面积a2t2；当移动的距离a 时，如图 2，SSACH（2at）2t22at+2a2，根据函数关系式即可得到结论； 解：在直角三角形 ABC 中，C90，ACBC， ABC 是等腰直角三角形， EFBC，EDAC， 四边形 EFCD 是矩形， E 是 AB 的中点， EFAC，DEBC， EFED， 四边形 EFCD 是正方形， 设正方形的边长为 a， 如图 1，当移动的距离a 时，S正方形的面积EEH 的面积a2t2； 当移动的距离a 时，如图 2，SSACH（2at）2t22at+2a2， S 关于 t 的函数图象大致为 C 选项， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（
20、每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：（3）0+（）1 1 【分析】先化简零指数幂，负整数指数幂，然后再计算 解：原式12 1， 故答案为：1 12不等式组的解集为 x3 【分析】求出不等式组的解集即可 解：等式组的解集为 x3， 故答案为：x3 13在一个布袋里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 【分析】根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案 解：根据题意画图如下： 共有 6 种情况，两次摸出的球都是红球的有 2 种情况， 两次摸出的球都是红球的
21、概率是 故答案为： 14如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 逆时针旋转 45至 ABCD的位置，若 AB8cm，则图中阴影部分的面积为 8 【分析】由旋转的性质得：BAB45，四边形 ABCD四边形 ABCD，图中阴影部分的面积四边形 ABCD 的面积+扇形 ABB的面积四边形 ABCD的面积扇形 ABB的面积， 代入扇形面积公式计算即可 解：由旋转的性质得：BAB45，四边形 ABCD四边形 ABCD， 则图中阴影部分的面积四边形ABCD的面积+扇形ABB的面积四边形ABCD的面积扇形ABB的面积8； 故答案为：8 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5，BC2，点 M，N 分别在边
22、AB，CD 上，CN1现将四边形BCM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在图中 CD 边上方的点 B，C处，在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB与边 CD 交于点 E，则线段 DE 长的取值范围为 DE2 【分析】通过移动点 M 的位置，探究点 E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可 解：如图 1，当点 E 与点 B重合时， 由折叠时，BCBC2，CNCN1，C90， EN， DEABENCN514， 如图 2，当 BMCD 时，BEN90， 由折叠得，BC90，BCBC2， 四边形 BCNE 为矩形， ENBC2， DEABENCN5212， 如图 3，当点 M 与点
23、 A 重合时， 由折叠得，EMNBMN， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ENMBMN， EMNENM， EMEN， CN1，ABCD5， DN4， 设 DEx，则 ENEM4x， 在 RtAED 中，DE2+AD2ME2， x2+22（4x）2， 解得：x， DE， 点 B、C在线段 CD 上方， DE 的取值范围为DE2 故答案为：DE2 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 8 个小题，计个小题，计 75 分）分） 16先化简，再求值：，其中 a2，b1 【分析】先分解因式，同时把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出答案即可 解：原式 ， 当 a2，b1 时，原式1 1
24、7某校计划成立下列学生社团： 社团名称 文学社 话剧创作社 合唱团 生物实验小组 英语俱乐部 社团代号 A B C D E 为了解该校学生对上述社团的喜爱情况，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生必须选一个且只选一个学生社团）根据统计数据，绘制了条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 120 ，统计图中的 a 12 ，b 36 ； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有 2500 名学生，请你估计全校喜爱“合唱团”的学生人数 【分析】 （1）根据报 A 的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后再根据扇形
25、统计图中的数据，即可计算出 a、b 的值； （2）根据（1）中的结果，可以计算出选择 E 的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出全校喜爱“合唱团”的学生人数 解：（1）本次调查的样本容量为：1815%120， a12010%12， b12030%36， 故答案为：120，12，36； （2）由（1）知：a12，b36，则选 E 的学生有：1201812303624， 补全的条形统计图如右图所示； （3）2500625（人）， 答：估计全校喜爱“合唱团”的学生约为 625 人 18如图，在直角坐标系中，RtABC 位于第一象限，两条直角边 AC、AB 分
26、别平行于 x 轴、y 轴，点 A 的坐标为（1，1），AB3，AC6 （1）求 BC 边所在直线的解析式； （2）若反比例函数 y（x0）的图象经过点 A，求 m 的值； （3）若反比例函数 y（x0）的图象与ABC 有公共点，请直接写出 n 的取值范围 【分析】（1）根据点 A 的坐标为（1，1），AB3，AC6，可求出 B（1，4），C（7，1），设直线BC 的解析式为 ykx+b（k0），代入即可； （2）将点 A（1，1）代入 y（x0）即可； （3）找到临界状态：反比例函数图象与ABC 只有一个公共点时，求出 n 的值，即可得出范围 解： （1） RtABC 位于第一象限， 两条直角
27、边 AC、 AB 分别平行于 x 轴、 y 轴， 点 A 的坐标为 （1， 1） ，AB3，AC6， B（1，4），C（7，1）， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0）， 则， 解得， BC 边所在直线的解析式为：y； （2）反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（1，1）， m1； （3）反比例函数 y（x0）的图象与ABC 有公共点， 当函数经过 A（1，1）时，n1， 当函数图形经过点 C（7，1）时，n7， 当反比例函数图象与线段 BC 相切时，设 y过 BC 上一点（a，）， 则 na（）， n 的最大值为：， 1 192020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，我国
28、在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，火箭飞行约 2200 秒后，顺利将探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅 如图， 火箭从地面 O 处发射， 当火箭达到 A 点时， 从位于地面 C 处雷达站测得 AC 的距离是 6km，仰角为 42.4； 1 秒后火箭到达 B 点， 此时测得仰角为 45.5 求这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是多少？（结果精确到 0.01） （参考数据：sin42.40.67，cos42.40.74，tan42.40905，sin45.50.71，cos45.50.70，tan45.51.02） 【分析】根据题意直接利
29、用锐角三角函数关系得出 OCACcosACO，根据题意直接利用锐角三角函数关系得出 BOOCtanBCO，再利用 AOACsinACO，求出 AB 的值，进而得出答案 解：在 RtACO 中，AC6km，ACO42.4， cosACO， OCACcosACO6cos42.44.44（km）， 在 RtBCO 中，OC4.44km，BCO45.5， tanBCO， BOOCtanBCO4.44tan45.54.441.024.5288（km）， sinACO， AOACsinACO6sin42.44.02（km）， ABBOAO4.52884.020.50880.51（km） 时间为 1 秒，
30、这枚火箭从 A 到 B 的平均速度大约是 0.51km/s， 答：这枚火箭从 A 到 B 的平均速度大约是 0.51km/s 20阅读与思考： 阿基米德（公元前 287 年一公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有 10 余种，多为希腊文手稿下面是阿基米德全集中记载的一个命题：AB 是O 的弦，点 C 在O 上，且 CDAB 于点 D，在弦 AB 上取点 E，使 ADDE，点 F 是上的一点，且，连接 BF 可得 BFBE （1）将上述问题中弦 AB 改为直径 AB，如图 1 所示，试证明 BFBE
31、； （2）如图 2 所示，若直径 AB10，EOOB，作直线 l 与O 相切于点 F过点 B 作 BPl 于点 P求BP 的长 【分析】（1）连接 CE、BC，证出CEBCFB，则可得出结论； （2）先求 BE 长，证出AFBFPB，得比例线段即可求出 BP 长 解：（1）如图 1 所示，连接 CE、BC， CDAB，ADDE， ACCE， CAECEA， 又， CACF，FBCEBC， CECF， 又A+F180，CEA+CEB180， CEBF， CEBCFB（AAS）， BEBF； （2）如图 2 所示，连接 AF， AB10，EO， EB7.5， AB 为O 的直径， AFB90， l
32、 与与O 相切于点 F， OFP90， AFOBFP， 又OFOA， OAFOFA， OAFBFP， BPl 于点 P， BPF90， AFBFPB， ， 即， 21为加快老旧小区改造，某企业需运输一批物资据调查得知，2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运输60 箱物资：5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 135 箱物资 （1）求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次分别运输多少箱物资； （2） 计划用两种货车共 12 辆运输这批物资， 每辆大货车一次需费用 500 元， 每辆小货次需费用 300 元 若运输物资不少于 150 箱， 且总费用小于 5400 元 请你列出所有运输方案， 并指出
33、哪种方案所需費用最少，最少费用是多少？ 【分析】（1）设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资，1 辆小货车一次运输 y 箱物资，由“2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运输 60 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 135 箱”，可列方程组，即可求解； （2）设有 a 辆大货车，（12a）辆小货车，由“运输物资不少于 150 箱，且总费用小于 5400 元”可列不等式组，可求整数 a 的值，即可求解 解：（1）设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资，1 辆小货车一次运输 y 箱物资， 由题意可得：， 解得：， 答：1 辆大货车一次运输 150 箱物资，1 辆小货车一次运输 100 箱物资
34、； （2）设有 a 辆大货车，（12a）辆小货车， 由题意可得：， 解得：6a9， 又a 须为整数， a6，7，8； 共有三种方案， 方案6 辆大货车，6 辆小货车，方案7 辆大货车，5 辆小货车，方案8 辆大货车，4 辆小货车； 当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用5006+30064800 元， 当有 7 辆大货车，5 辆小货车时，费用5007+30055000 元， 当有 8 辆大货车，4 辆小货车时，费用5008+30045200 元， 480050005200， 方案，即当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用最小，最小费用为 4800 元 22在ABC 中，CACB，ACB，D
35、 为ABC 内一点，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E （1）如图 1，若 A，D，E 三点在同一直线上，则CDE （用含 的代数式表示）； （2）如图 2，若 A，D，E 三点在同一直线上，60，过点 C 作 CFAE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）图 3 中，若 CA2，CD2，将DCE 绕点 C 旋转，当 90或 270 时，CAD 的面积最大，最大面积是 2 【分析】（1）由旋转的性质可得 CDCE，DCE，即可求解； （2）由旋转的性质可得 ADBE，CDCE，DCE60，可证C
36、DE 是等边三角形，由等边三角形的性质可得 DFEFCF，即可求解； （3） 过点 D 作 DFAC 于点 F， 当 DF 取得最大值时， CAD 面积最大， 当 CDDF2 时可得出答案 解：（1）如图 1 中， 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE， ACDBCE，DCE， CDCE， CDE 故答案为： （2）AEBE+CF 理由如下：如图 2 中， 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60得到CBE， ACDBCE， ADBE，CDCE，DCE60， CDE 是等边三角形，且 CFDE， DFEFCF， AEAD+DF+EF， AEBE+CF （3）如图，过点 D 作
37、 DFAC 于点 F， SACDACDFDF， 当 DF 取得最大值时，CAD 面积最大， 又在CFD 中，DFCD， 只有当 CD 旋转到与 AC 垂直时，FD 才能取得最大值，即 FDCD2， 旋转角度为 0360， 当 90或 270时，CAD 的面积最大，最大面积是 2， 故答案为 90或 270；2 23已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C（0，3），顶点 D 的坐标为（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2） 如图 1， 抛物线在第四象限的图象上有一点 M， 求四边形 ABMC 面积的最大值及此时点
38、M 的坐标； （3）如图 2，直线 CD 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EC 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）利用二次函数的顶点式求解； （2）将四边形 ABMC 进行分割，分成ABC，CMN，BMN 的和，ABC 的面积是定值，求出直线BC 的表达式， 当点 M 在移动时， 表示出线段 MN 的长度， 从而计算出CMN， BMN 面积和的最大值，进而求解； （3）利用三角形相似的判定条件，两边对应成比例且夹角相等进行求解，通过求直线 CD 的表达式，得到 E 点的坐标，从而求出O
39、ECOBC，分情况讨论两边成比例的情况，进而求出点 EP 的长度，再借助解直角三角形进行求解 解：（1）设抛物线的表达式为 ya（x1）24， 将点 C（0，3）代入得： 4a40， 解得 a1， 抛物线表达式为：y（x1）24； （2）连接 BC，作 MNy 轴交 BC 于点 N，作 BEMN，CFMN，如图， 由（1）知，抛物线表达式为 y（x1）24x22x3， 令 y0，可解得 x11，x23， 点 A 坐标（1，0），点 B 坐标（3，0）， 设直线 BC 的表达式为 ykx+b，将点 B （3，0），C（0，3）代入得： ， 直线 BC 表达式为 yx3， 设 M 点（m，m22m
40、3），则点 N（m，m3）， MNyNyMm3（m22m3）m2+3m（m）2+， S四边形ABMCSABC+SBCM SABC+SCMN+SBMN + + 6+ （m）2+， 当 m时，即点 M 坐标（，）时，四边形 ABMC 面积的最大值； （3）如图，作 PQ 垂直 x 轴， 设直线 CD：ypx+q，将点 C，D 分别代入得， ， 解得， 直线 BC：yx3， 当 y0 时，解得 x3， 点 E 坐标为（3，0）， OEOCOB3， OECOBC45， 在 RtOBC 中， BC3， 当BACEPO 时， ，即， 解得 EP2， 在 RtEPQ 中，OEC45， sin45， 解得 PQ2， EQPQ2， 此时点 P 坐标（1，2）； 当BACEOP 时， ，即， 解得 EP， 在 RtEPQ 中，OEC45， sin45， 解得 PQ， EQPQ， 此时点 P 坐标（，）； 综上所述，当点 P 坐标为（1，2）或（，）时，点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似
