1、2020 年浙江省宁波市奉化年浙江省宁波市奉化区区中考数学模拟试卷（中考数学模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列哪一个是假命题（ ） A五边形外角和为 360 B切线垂直于经过切点的半径 C （3，2）关于 y 轴的对称点为 （3，2） D抛物线 yx24x+2017 对称轴为直线 x2 2如图，AOB 和ACD 均为正三角形，且顶点 B、D 均在双曲线 y（x0）上，若图中 SOBP4，则 k 的值为（ ） A B C4 D4 3如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，将BCF沿 BF 对折
2、，得到BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确都有（ ）个 QBQF；AEBF；BG；sinBQP；S四边形ECFG2SBGE A5 B4 C3 D2 4如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A B C2 D2 5已知O 的半径为 3，A 为圆内一定点，AO1，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰APQ，APPQ，APQ120，则 OQ 的最大值为（ ） A1+3 B1+2 C3+ D3 6如图，直线 l1l2，点 A、B 固定在直线 l2上，点 C 是直线
3、l1上一动点，若点 E、F 分别为 CA、CB 中点，对于下列各值：线段 EF 的长；CEF 的周长；CEF 的面积；ECF 的度数，其中不随点 C 的移动而改变的是（ ） A B C D 7已知 t 为正整数，关于 x 的不等式组的整数解的个数不可能为（ ） A16 B17 C18 D19 8已知O 的半径为 2，A 为圆内一定点，AO1P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰APG，APPG，APG120，OG 的最大值为（ ） A1+ B1+2 C2+ D21 9如图，两个全等的等腰直角三角板（斜边长为 2）如图放置，其中一块三角板 45角的顶点与另一块三角板 ABC 的直角顶点 A 重合
4、若三角板 ABC 固定，当另一个三角板绕点 A 旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边 BC 交于点 E、F设 BFx，CEy，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 10如图，RtABC 中，C90，BC6，DE 是ABC 的中位线，点 D 在 AB 上，把点 B 绕点 D 按顺时针方向旋转 （0180）角得到点 F，连接 AF，BF下列结论：ABF 是直角三角形；若ABF 和ABC 全等，则 2BAC 或 2ABC；若 90，连接 EF，则 SDEF4.5；其中正确的结论是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11如图，已知 AC6，BC
5、8，AB10，以点 C 为圆心，4 为半径作圆点 D 是C 上的一个动点，连接 AD、BD，则 AD+BD 的最小值为 12若 x2+2（3m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为 13化简： 14分解因式：819n2 15若有意义，则 x 的取值范围是 16a 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式2a22a+2020 的值是 17如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB 于点 E，交 AC于点 F，ODAC 交 AC 于点 D，连接 AO给出以下四个结论： 若BAC80，BOC120； ； AO 平分BAC； 若 AE+
6、AF8，OD3，则 SAEF12 其中正确的有 （把所有正确结论的序号都选上） 18定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC1，将ABC 沿ABC 的平分线 BB的方向平移，得到 ABC，连接 AC，CC，若四边形 ABCC是等邻边四边形，则平移距离 BB的长度是 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 19如图 1，在平面直角坐标系内，A，B 为 x 轴上两点，以 AB 为直径的M 交 y 轴于 C，D 两点，C 为的中点，弦 AE 交 y 轴于点 F，且点 A 的坐标为（2，0） ，CD8 （1）求M 的半径； （2）动点 P
7、在M 的圆周上运动，连接 EP，交 AB 于点 N 如图 1，当 EP 平分AEB 时，求 PNEP 的值； 如图 2，过点 D 作M 的切线交 x 轴于点 Q，当点 P 与点 A，B 不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由 20如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD
8、 于点 N，连接 MD，若DNMBMD，请求出点 M 的坐标 21先化简代数式 1，并从1，0，1，3 中选取一个合适的数代入求值 22计算：|4|（3.14）0+（1cos30）（）2 23如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 做匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动
9、时间为 t 秒连接PQ （1）填空：b ，c ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点 M 在抛物线上，且AOM 的面积与AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标 24如图，在平面直角坐标系中，A（0，4） ，B（3，4） ，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交x 轴正半轴于点 C，连接 AB，PC，BC，设 OPm （1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形 （2）连接 PB，求 tanBPC 的值 （3）记该圆的圆心为 M，连接 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m的值 （4
10、）作点 O 关于 PC 的对称点 O，在点 P 的整个运动过程中，当点 O落在APB 的内部（含边界）时，请写出 m 的取值范围 25已知二次函数 yx2+2txt+1（是常数） （1）求此函数的顶点坐标 （用含 t 的代数式表示） （2）当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，求 t 的取值范围 （3）当 0 x1 时，该函数有最大值 4，求 t 的值 26已知：如图，在 RtABC 和 RtABD 中，ACB90，ABD90，ABBD，BC4， （点 A、D 分别在直线 BC 的上下两侧） ，点 G 是 RtABD 的重心，射线 BG 交边 AD 于点 E，射线 BC 交边 AD于点 F
11、（1）求证：CAFCBE； （2）当点 F 在边 BC 上，AC1 时，求 BF 的长； （3）若BGC 是以 BG 为腰的等腰三角形，试求 AC 的长 27先化简，再求值：，其中 x 28在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC5，AD6，BC12 （1）梯形 ABCD 的面积等于 （2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动两点同时出发，当 P 点到达 C 点时，Q 点随之停止运动当 PQAB 时，P 点离开 D 点多少时间？ （3） 如图 2， 点 K 是线段 AD
12、上的点， M、 N 为边 BC 上的点，BMCN5， 连接 AN、 DM， 分别交 BK、CK 于点 E、F，记ADG 和BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值 29位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图 1 所示，示意图如图 2 所示某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡 AB 的坡度 i1：，底基 BC50m，ACB135，求馆顶 A 离地面 BC 的距离 （结果精确到 0.1m，参考数据：1.41，1.73） 30 如图， 直线 l1， l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路， 曲线段 CD 是该湖泊环湖观光大道的一部分 现准备修建一条直线型公路 AB，用以连接两条
13、公路和环湖观光大道，且直线 AB 与曲线段 CD 有且仅有一个公共点 P已知点 C 到 l1，l2的距离分别为 8km 和 1km，点 P 到 l1的距离为 4km，点 D 到 l1的距离为0.8km 若分别以 l1， l2为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系 xOy， 则曲线段 CD 对应的函数解析式为 y （1）求 k 的值，并指出函数 y的自变量的取值范围； （2）求直线 AB 的解析式，并求出公路 AB 长度（结果保留根号） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列哪一个是假命题（ ） A五边形外角和为 360 B切线垂直于经过切点的
14、半径 C （3，2）关于 y 轴的对称点为 （3，2） D抛物线 yx24x+2017 对称轴为直线 x2 【解答】解：五边形外角和为 360，A 是真命题； 切线垂直于经过切点的半径，B 是真命题； （3，2）关于 y 轴的对称点为 （3，2） ，C 是假命题； 抛物线 yx24x+2017 对称轴为直线 x2，D 是真命题； 故选：C 2如图，AOB 和ACD 均为正三角形，且顶点 B、D 均在双曲线 y（x0）上，若图中 SOBP4，则 k 的值为（ ） A B C4 D4 【解答】解：如图：AOB 和ACD 均为正三角形， AOBCAD60， ADOB， SABPSAOP， SAOBS
15、OBP4， 过点 B 作 BEOA 于点 E，则 SOBESABESAOB2， 点 B 在反比例函数 y的图象上， SOBEk， k4 故选：D 3如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，将BCF沿 BF 对折，得到BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确都有（ ）个 QBQF；AEBF；BG；sinBQP；S四边形ECFG2SBGE A5 B4 C3 D2 【解答】解：根据题意得，FPFC，PFBBFC，FPB90 CDAB， CFBABF， ABFPFB， QFQB，故正确； E，F 分别是正方形 AB
16、CD 边 BC，CD 的中点， CFBE， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（SAS） ， BAECBF， 又BAE+BEA90， CBF+BEA90， BGE90， AEBF，故正确； 由知，ABEBCF，则 AEBF， AEBF ABBEAEBG，故 BG 故错误； 由知，QFQB，PF1，则 PB2， 在 RtBPQ 中，设 QBx， x2（x1）2+4， x， sinBQP，故正确； BGEBCF，GBECBF， BGEBCF， BEBC，BFBC， BE：BF1：， BGE 的面积：BCF 的面积1：5， S四边形ECFG4SBGE，故错误 综上所述，共有 3 个结论正确
17、故选：C 4如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A B C2 D2 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC2，BACABCACB60， ADBC， BDCD1，ADBD， ABC 的面积为， S扇形BAC， 莱洛三角形的面积 S3222， 故选：D 5已知O 的半径为 3，A 为圆内一定点，AO1，P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰APQ，APPQ，APQ120，则 OQ 的最大值为（ ） A1+3 B1+2 C3+ D3 【解答】
18、解：如图， 以点 P 为顶点作等腰三角形 OPM，OPPM， OPM120， APQ120， OPMAPQ， OPA+APMMPQ+APM， OPAMPQ， APPQ，OMPM， AOPQMP（SAS） ， MQOA1， POM30， OM2OPcos303， OQOM+MQ3+1， 当且仅当 M 在 OQ 上时，取等号， 即 OQOM+MQ，OQ 最大， 则 OQ 的最大值为 1+3 故选：A 6如图，直线 l1l2，点 A、B 固定在直线 l2上，点 C 是直线 l1上一动点，若点 E、F 分别为 CA、CB 中点，对于下列各值：线段 EF 的长；CEF 的周长；CEF 的面积；ECF 的
19、度数，其中不随点 C 的移动而改变的是（ ） A B C D 【解答】解：A、B 为定点， AB 长为定值， 点 E，F 分别为 CA，CB 的中点， EF 是CAB 的中位线， EFAB 为定值，故正确； 点 A，B 为直线 l2上定点，直线 l1l2， C 到 l2的距离为定值， EF 是CAB 的中位线， EFl1l2， C 到 EF 的距离为定值， 又EF 为定值， CEF 的面积为定值，故正确； 当 C 点移动时，CA+CB 的长发生变化， 则 CE+CF 的长发生变化， CEF 的周长发生变化，故错误； 当 C 点移动时，ACB 发生变化，则ECF 发生变化，故错误； 故选：B 7
20、已知 t 为正整数，关于 x 的不等式组的整数解的个数不可能为（ ） A16 B17 C18 D19 【解答】解：不等式组整理得：， 解集为：x20， t1 时，3，不等式组解集是 3x20，整数解的个数是 16 个； t2 时，1，不等式组解集是 1x20，整数解的个数是 18 个； t3 时，不等式组解集是x20，整数解的个数是 19 个； 由上可知，t3 时，01，整数解的个数都是 19 个 故选：B 8已知O 的半径为 2，A 为圆内一定点，AO1P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰APG，APPG，APG120，OG 的最大值为（ ） A1+ B1+2 C2+ D21 【解答】解：
21、如图，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120得到线段 OT，连接 AT，GT，OP则 AOOT1，AT， AOT，APG 都是顶角为 120的等腰三角形， OATPAG30， OAPTAG， ， OAPTAG， ，OP2， TG2， OGOT+GT， OG1+2， OG 的最大值为 1+2， 故选：B 9如图，两个全等的等腰直角三角板（斜边长为 2）如图放置，其中一块三角板 45角的顶点与另一块三角板 ABC 的直角顶点 A 重合若三角板 ABC 固定，当另一个三角板绕点 A 旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边 BC 交于点 E、F设 BFx，CEy，则 y 关于 x 的函数图象大
22、致是（ ） A B C D 【解答】解：由题意得BC45，GEAF45， AFEC+CAF45+CAF，CAE45+CAF， AFBCAE， ACEFBA， AECBAF， ， 又ABC 是等腰直角三角形，且 BC2， ABAC，又 BFx，CEy， ，即 xy2， （1x2） 故选：C 10如图，RtABC 中，C90，BC6，DE 是ABC 的中位线，点 D 在 AB 上，把点 B 绕点 D 按顺时针方向旋转 （0180）角得到点 F，连接 AF，BF下列结论：ABF 是直角三角形；若ABF 和ABC 全等，则 2BAC 或 2ABC；若 90，连接 EF，则 SDEF4.5；其中正确的结
23、论是（ ） A B C D 【解答】解：DE 是ABC 的中位线， ADDB， 把点 B 绕点 D 按顺时针方向旋转 （0180）角得到点 F， BDDF， BDADDF， ABF 是直角三角形，故正确， ADBDDF， DAFDFA， BDF2DAF， 若ABF 和ABC 全等，且AFBC90， DAFBAC 或DAFABC， 2BAC 或 2ABC，故正确， 如图，过点 B 作 BNDE，交 ED 的延长线于 N，过点 F 作 FHDE，交交 ED 的延长线于 H， BC6，DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC3， BNDE，C90， NEC+C180， CNEC90， 又BND
24、E， 四边形 BCEN 是矩形， BCNE6， DN3， 把点 B 绕点 D 按顺时针方向旋转 90， DFDB，FDB90， FDH+BDN90， 又FDH+F90， FBDN， 又DFBD，FHDBND90， DFHBDN（AAS） ， DNFH3， SDEF4.5，故正确， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11如图，已知 AC6，BC8，AB10，以点 C 为圆心，4 为半径作圆点 D 是C 上的一个动点，连接 AD、BD，则 AD+BD 的最小值为 2 【解答】解：如图，在 CB 上取一点 E，使 CE2，连接 CD、DE、AE AC6，BC8，AB10，所以 A
25、C2+BC2AB2， ACB90， CD4， ， CEDCDB， ， EDBD， AD+BDAD+EDAE， 当且仅当 E、D、A 三点共线时，AD+BD 取得最小值 AE2 12若 x2+2（3m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为 2 或 8 【解答】解：x2+2（3m）x+25 可以用完全平方式来分解因式， 2（3m）10 解得：m2 或 8 故答案为：2 或 8 13化简： 1 【解答】解：1 故答案为：1 14分解因式：819n2 9（3+n） （3n） 【解答】解：原式9（9n2） 9（3+n） （3n） ， 故答案为：9（3+n） （3n） 15若有意义，则 x
26、 的取值范围是 x1 且 x2 【解答】解：根据题意得：x10，2x0， 解得 x1 且 x2 故答案为：x1 且 x2 16a 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式2a22a+2020 的值是 2018 【解答】解：a 是方程 x2+x10 的一个实数根， a2+a10， a2+a1， 2a22a+20202（a2+a）+2020 21+2020 2018 故答案为 2018 17如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB 于点 E，交 AC于点 F，ODAC 交 AC 于点 D，连接 AO给出以下四个结论： 若BAC80，BOC120；
27、 ； AO 平分BAC； 若 AE+AF8，OD3，则 SAEF12 其中正确的有 （把所有正确结论的序号都选上） 【解答】解：在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O， OBCABC，OCBACB，BAC+ABC+ACB180， OBC+OCB90BAC， BOC180（OBC+OCB）90+BAC90+80130；故错误； 过点 O 作 OMAB 于 M，作 ONBC 于 N， 在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O， ONODOM， AO 平分BAC，故正确； AO 是AEF 的角平分线， EAOFAO， 如图 2，过 F 作 FGAE 交 AO 的延长线于 G
28、，连接 EG， EAOFGO， FAOFGO， AFFG， AEFG， ， ；故正确； AO 是AEF 的角平分线， SAEFSAOE+SAOFAEOM+AFODOD （AE+AF）3812；故正确； 故答案为 18定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC1，将ABC 沿ABC 的平分线 BB的方向平移，得到 ABC，连接 AC，CC，若四边形 ABCC是等邻边四边形，则平移距离 BB的长度是 1 或 【解答】解：将 RtABC 平移得到ABC， BBCC，ABAB，ABAB2，BCBC1，ACAC， 如图 1，当 CCBC 时，BBCC
29、BC1； 如图 1，当 ACAB2 时， ABC90，BB是ABC 的角平分线， BBA45， 延长 CB交 AB 于 H， ABAB，ABC90， AHCABC90， BHB90， 设 BHBHx， BBx，AH2x，CH1+x， AC2AH2+CH2， 22（2x）2+（1+x）2， 整理方程为：2x22x+10， 4840， 此方程无实数根，故这种情况不存在； 如图 2，当 ACCC 时，则 ACBB， 延长 CB交 AB 于 H， ABAB，ABC90， AHCABC90， BHB90， 设 BHBHx， BBACx，AH2x，CH1+x， AC2AH2+CH2， （x）2（2x）2+
30、（1+x）2， 解得：x， BB， 综上所述，若四边形 ABCC是等邻边四边形，则平移距离 BB的长度是 1 或， 故答案为：1 或 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 19如图 1，在平面直角坐标系内，A，B 为 x 轴上两点，以 AB 为直径的M 交 y 轴于 C，D 两点，C 为的中点，弦 AE 交 y 轴于点 F，且点 A 的坐标为（2，0） ，CD8 （1）求M 的半径； （2）动点 P 在M 的圆周上运动，连接 EP，交 AB 于点 N 如图 1，当 EP 平分AEB 时，求 PNEP 的值； 如图 2，过点 D 作M 的切线交 x 轴于点 Q，当点 P 与点 A，B 不
31、重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 CM AMCD， OCOD4， 设 CMAMr， 在 RtCMO 中，CM2OC2+OM2， r242+（r2）2， 解得 r5， M 的半径为 5 （2）如图 2 中，连接 AP，BP AB 是直径， APBAEB90， PE 平分AEP， AEPPEB45， ， PAPB， AB10，APB90， PAPBAB5， PANAEP45，APNAPE， APNEPA， ， PNPEPA250 如图 3 中，连接 PM，DM DQ 是M 的切线， DQDM， MDQMOD90， DMOQMD， DM
32、OQMD， ， DM2MOMQ， MPMD， MP2MOMQ， ，PMOPMQ， PMOQMP， ， DM2MOMQ， 253MQ， MQ， 20如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNMBMD，请求出点 M 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 y
33、a（x1）2+4， 将点 B（3，0）代入得， （31）2a+40 解得：a1 抛物线的解析式为：y（x1）2+4x2+2x+3 （2）过点 P 作 PQy 轴交 DB 于点 Q， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 D（0，3） 设直线 BD 的解析式为 ykx+n， ， 解得：， 直线 BD 的解析式为 yx+3 设 P（m，m2+2m+3） ，则 Q（m，m+3） ， PQm2+2m+3（m+3）m2+3m SPBDSPQD+SPQB， SPBDPQ（3m）PQm， SPBD3， m3 解得：m11，m22 点 P 的坐标为（1，4）或（2，3） （3）B（3，0） ，D（0，3） ，
34、BD3， 设 M（a，0） ， MNBD， AMNABD， ， 即 MN（1+a） ，DM， DNMBMD， ， DM2BDMN 9+a23（1+a） 解得：a或 a3（舍去） 点 M 的坐标为（，0） 21先化简代数式 1，并从1，0，1，3 中选取一个合适的数代入求值 【解答】解：1 1 ， 当 x3 时，原式 22计算：|4|（3.14）0+（1cos30）（）2 【解答】解：原式（42）1+（1）9 4+21+9 4 23如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，
35、BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 做匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接PQ （1）填空：b ，c 4 ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点 M 在抛物线上，且AOM 的面积与AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x4） 将 a代入得：yx2+x+4， b，c4 （2）在点 P、Q 运动过程中，APQ
36、 不可能是直角三角形 理由如下：连接 QC 在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角， 当APQ 是直角三角形时，则APQ90 将 x0 代入抛物线的解析式得：y4， C（0，4） APOQt， PC5t， 在 RtAOC 中，依据勾股定理得：AC5 在 RtCOQ 中，依据勾股定理可知：CQ2t2+16 在 RtCPQ 中依据勾股定理可知：PQ2CQ2CP2，在 RtAPQ 中，AQ2AP2PQ2 CQ2CP2AQ2AP2，即（3+t）2t2t2+16（5t）2 解得：t4.5， 由题意可知：0t4 t4.5 不合题意，即APQ 不可能是直角三角形 （3 ）AO 是AOM 与AO
37、C 的公共边 点 M 到 AO 的距离等于点 C 到 AO 的距离 即点 M 到 AO 的距离等于 CO 所以 M 的纵坐标为 4 或4 把 y4 代入 yx2+x+4 得 x2+x+44 解得 x10，x21 把 y4 代入 yx2+x+4 得 x2+x+44 解得 x1，x2， 另外点 M 与 C 重合时，也满足条件，此时 M（0，4） ， M（1，4）或 M（，4）或 M（，4）或（0，4） 24如图，在平面直角坐标系中，A（0，4） ，B（3，4） ，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交x 轴正半轴于点 C，连接 AB，PC，BC，设 OPm （1）求证：当 P 与
38、A 重合时，四边形 POCB 是矩形 （2）连接 PB，求 tanBPC 的值 （3）记该圆的圆心为 M，连接 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m的值 （4）作点 O 关于 PC 的对称点 O，在点 P 的整个运动过程中，当点 O落在APB 的内部（含边界）时，请写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）COA90 PC 是直径， PBC90 A（0，4）B（3，4） ABy 轴 当 A 与 P 重合时，OPB90 四边形 POCB 是矩形 （2）连接 OB， （如图 1） BPCBOC ABOC ABOBOC BPCBOCABO tanBPCtanABO
39、 （3）PC 为直径 M 为 PC 中点 如图 2，当 OPBM 时，延长 BM 交 x 轴于点 N OPBM BNOC 于 N ONNC，四边形 OABN 是矩形 NCONAB3，BNOA4 设M 半径为 r，则 BMCMPMr MNBNBM4r MN2+NC2CM2 （4r）2+32r2 解得：r MN4 M、N 分别为 PC、OC 中点 mOP2MN 如图 3，当 OMPB 时，BOMPBO PBOPCO，PCOMOC OBMBOMMOCMCO 在BOM 与COM 中 BOMCOM（AAS） OCOB5 AP4m BP2AP2+AB2（4m）2+32 ABOBOCBPC，BAOPBC90
40、 ABOBPC PC PC2BP2（4m）2+32 又 PC2OP2+OC2m2+52 （4m）2+32m2+52 解得：m或 m10（舍去） 综上所述，m或 m （4）点 O 与点 O关于直线对称 POCPOC90，即点 O在圆上 当 O与 O 重合时，得 m0 当 O落在 AB 上时，则 m24+（4m）2，得 m 当 O与点 B 重合时，得 m 0m或 m 25已知二次函数 yx2+2txt+1（是常数） （1）求此函数的顶点坐标 （用含 t 的代数式表示） （2）当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，求 t 的取值范围 （3）当 0 x1 时，该函数有最大值 4，求 t 的值 【解答
41、】解： （1）yx2+2txt+1（xt）2+t2t+1， 顶点坐标为（t，t2t+1） ； （2）yx2+2txt+1（xt）2+t2t+1， 抛物线开口向下，在对称轴 xt 的右边 y 随 x 的增大而减小， 当 xt 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小， t2； （3）当 0 x1 时，该函数有最大值 4， 若 t0，则当 x0 时，yt+14， 解得，t3； 若 0t1，则 t2t+14， 解得，t（舍） ； 若 t1，则当 x1 时，y1+2tt+14， 解得，t4 综上，t3 或 4 26已知：如图，在 RtABC 和 RtABD 中，ACB90
42、，ABD90，ABBD，BC4， （点 A、D 分别在直线 BC 的上下两侧） ，点 G 是 RtABD 的重心，射线 BG 交边 AD 于点 E，射线 BC 交边 AD于点 F （1）求证：CAFCBE； （2）当点 F 在边 BC 上，AC1 时，求 BF 的长； （3）若BGC 是以 BG 为腰的等腰三角形，试求 AC 的长 【解答】证明： （1） （1）点 G 是 RtABD 的重心， BE 是 RtABD 的中线， 又在 RtABC 中，ABD90，ABBD， BEAD，即AEB90， AFBACF+FACFBE+BEF，且ACFBEF90， CAFCBE； （2）过点 D 作 DH
43、BC 于 H， ABD90， ABC+DBC90，且ABC+BAC90， BACDBC，且 ABBD，ACBBHD， ABCBDH（AAS） ACBH1，HDBC4， HC3， ACBDHC90，AFCDFH， AFCDFH， CFHF， HF， BFBH+HF1+； （3）当 GCGB 时，如图，连接 DG 并延长交 BC 于 H，交 AB 于 N，连接 NC， 点 G 是 RtABD 的重心， ANBN， ACB90， BNNCAN， 点 N 在 BC 的垂直平分线上， BGGC， 点 G 在 BC 的垂直平分线上， DN 垂直平分 BC， BHHC2，DHBC， ABD90， ABC+D
44、BC90，且ABC+BAC90， BACDBC，且 ABBD，ACBBHD， ABCBDH（AAS） ACBH2； 若 BGBC4，如图， 点 G 是 RtABD 的重心， BG2GE， GE2， BE6， ABD90，ABBD，BEAD BEAE6， ABAE6， AC2， 综上所述：AC2 或 2 27先化简，再求值：，其中 x 【解答】解：当 x时， 原式 28在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC5，AD6，BC12 （1）梯形 ABCD 的面积等于 36 （2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB
45、以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动两点同时出发，当 P 点到达 C 点时，Q 点随之停止运动当 PQAB 时，P 点离开 D 点多少时间？ （3） 如图 2， 点 K 是线段 AD 上的点， M、 N 为边 BC 上的点，BMCN5， 连接 AN、 DM， 分别交 BK、CK 于点 E、F，记ADG 和BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值 【解答】解： （1）如图 1，作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，则 AEDF， ADBC，AEBC， 四边形 ADFE 是矩形， AEDF，ADEF6， 在 RtABE 和 RtDCF 中， ， RtABERtDCF（HL） ， BECF
46、， BECF3， 由勾股定理得，AE4， 梯形 ABCD 的面积（AD+BC）AE（12+6）436， 故答案为：36； （2）如图 3，过 D 作 DEAB，交 BC 于点 E， ADBC，DEAB， 四边形 ABED 为平行四边形， BEAD6， EC6， 当 PQAB 时，PQDE， CQPCED， ，即， 解得，t； （3）如图 2，过 G 作 GHBC，延长 HG 交 AD 于 I，过 E 作 EXBC，延长 XE 交 AD 于 Y，过 F 作 FUBC 于 U，延长 UF 交 AD 于 W， BMCN5， MN12552， BNCM7， MNAD， MGNDGA， ，即， 解得，H
47、G1， 设 AKx， ADBC， BENKEA， ，即， 解得，EX， 同理：FU， SSBKCSBENSCFM+SMNG 12477+21 ， 当 x3 时，S 的最大值为 255.4 29位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图 1 所示，示意图如图 2 所示某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡 AB 的坡度 i1：，底基 BC50m，ACB135，求馆顶 A 离地面 BC 的距离 （结果精确到 0.1m，参考数据：1.41，1.73） 【解答】解：如解图，过点 A 作 ADBC 交 BC 的延长线于点 D ACB135， ADC 为等腰直角三角形， 设 ADx，则 CDx
48、，BD50+x， 斜坡 AB 的坡度 i1：， x： （50+x）1：， 整理得（1）x50， 解得 x25（+1）68.3 答：馆顶 A 离地面 BC 的距离约为 68.3 m 30 如图， 直线 l1， l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路， 曲线段 CD 是该湖泊环湖观光大道的一部分 现准备修建一条直线型公路 AB，用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线 AB 与曲线段 CD 有且仅有一个公共点 P已知点 C 到 l1，l2的距离分别为 8km 和 1km，点 P 到 l1的距离为 4km，点 D 到 l1的距离为0.8km 若分别以 l1， l2为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系
49、xOy， 则曲线段 CD 对应的函数解析式为 y （1）求 k 的值，并指出函数 y的自变量的取值范围； （2）求直线 AB 的解析式，并求出公路 AB 长度（结果保留根号） 【解答】解： （1）由题意得，点 C 的坐标为（1，8） ， 将其代入 y得，k8， 曲线段 CD 的函数解析式为 y， 点 D 的坐标为（10，0.8） ， 自变量的取值范围为 1x10； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 由（1）易求得点 P 的坐标为（2，4） ， 42k+b，即 b42k， 直线 AB 的解析式为 ykx+42k， 联立， 得 kx2+2（2k）x80， k0， 由题意得，4（2k）2+32k0，解得 k2， 直线 AB 的解析式为 y2x+8，当 x0 时，y8；当 y0 时，x4， 即 A、B 的坐标分别为 A（0，8） ，B（4，0） ， AB4 km 公路 AB 的长度为 4km
