1、2021-2022 学年浙江省八年级上学期数学竞赛卷学年浙江省八年级上学期数学竞赛卷（2） （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 一，单项选择题（本大题共 9 小题,每题 5 分，共 45 分） 1已知关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 2ABO 顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（2，1） ，O（0，0） ，如果将ABO 绕点 O 按逆时针方向旋转 90，得到ABO，那么线段 AB的中点坐标是（ ） A （，） B （2，） C （2，2） D （，2） 3下列命题正确的是（ ） A有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B一个多边形的
2、内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是七边形 C一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D相等的圆心角所对的弧也相等 4不论 m 为何实数，直线 y（m2+2m+2）x3m26m1 恒过定点（ ） A （ 3，2 ） B （ 5，3 ） C （ 3，5 ） D （ 0，1） 5 已知ABC 的三条边长分别为 3， 4， 6， 在ABC 所在平面内画一条直线， 将ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A5 条 B6 条 C7 条 D8 条 6如图，ABC 中，AD 为 BC 边上中线，DM，DN 分别ADB，ADC 的角平分线，试比较 BM
3、+CN 与MN 的大小关系（ ） ABM+CNMN BBM+CNMN CBM+CNMN D无法确定 7已知过点（2，3）的直线 yax+b（a0）不经过第四象限，设 sa2b，则 s 的取值范围是（ ） A B3s3 C6s D 8 如图， 在ABC 中， D， E 分别是 BC， AC 的中点， 若ACB90， BE4， AD7， 则 AB 的长为 （ ） A10 B5 C2 D2 9如图，MAN16，A1点在 AM 上，在 AN 上取一点 A2，使 A2A1AA1，再在 AM 上取一点 A3使 A3A2A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA
4、7 DA8 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分） 10在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若B30，ADC45，则ACD 11已知关于 x 的一次函数 ymx+2m7 在1x5 上的函数值总是正的，则 m 的取值范围是 12 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等， 若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 个 13在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0） ，B（0，4） ，将BOA 绕点 A 按顺时针方向旋转得CDA，连接 OD当DOAOBA 时，直线 CD 的解析式为 14在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内
5、一点，且 PA，PC5，则 PB 三、解答题（本大题共 4 小题,15 题，16 题 7 分，17,18 题 8 分，共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学活动，青春旅行社现有 42 座和 48 座两种客车供选择租用，若只租用 42 座客车若干辆，则正好坐满；若租用 48 座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 36 人；已知 42 座客车每辆租金 400 元，48 座客车每辆租金 440 元 （1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案 16下面是小张探索函数 y
6、|x1|2 的图象与性质的不完整的过程： 【列表格】 ：列出 y 与 x 的几组对应值： x 2 1 0 1 2 3 4 y 1 0 1 2 1 0 m ： 根据上面不完整的探索过程，完成下列问题： （1）直接写出表格中 m 的值； （2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数 y|x1|2 的图象； （3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x1|2x时，写出 x 的取值范围 17如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC，已知 AB5，DE1，BD8，设 CDx （1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长； （2）请问点 C 满足什么条
7、件时，AC+CE 的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值 18记三角形三边长为 a、b、c，对应边上的高为 ha、hb、hc，请解答： （1）已知 ha：hb：hc2：3：4，且这三角形周长为 26cm，求 a、b、c （2）若三角形的三条高分别为 2、x、6，求 x 的取值范围 （3）若三条高分别为 2、x、6 的三角形是直角三角形，求 x （4）若三条高分别为 2、x、6 的三角形是等腰三角形，求 x 2021-2022 学年浙江省八年级上学期数学竞赛卷（学年浙江省八年级上学期数学竞赛卷（2） （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 一，单项选择题（
8、本大题共 9 小题,每题 5 分，共 45 分） 1已知关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 a 的不等式，从而求出 a 的范围 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解 0， ， 三个整数解不可能是2，1，0 若三个整数解为1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为 0，1，2，则； 解得 故选：B 2ABO 顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（2，1） ，O（0，0） ，如果将ABO 绕点 O 按逆时针方向旋转 9
9、0，得到ABO，那么线段 AB的中点坐标是（ ） A （，） B （2，） C （2，2） D （，2） 【分析】根据ABO 顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（2，1） ，O（0，0） ，将ABO 绕点 O 按逆时针方向旋转 90，得到ABO，可得 A（4，1） ，B（1，2） ，再根据中点坐标公式即可求得线段 AB的中点坐标 【解答】解：如图， ABO 顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（2，1） ，O（0，0） ， 将ABO 绕点 O 按逆时针方向旋转 90，得到ABO， A（4，1） ，B（1，2） ， 线段 AB的中点坐标分别为：， 即线段 AB的中点坐标是（，） 故选：A 3下列命
10、题正确的是（ ） A有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是七边形 C一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D相等的圆心角所对的弧也相等 【分析】根据全等三角形、多边形及平行四边形的判定进行判断即可 【解答】解：A、有两边和其夹角分别相等的两个三角形全等，原命题是假命题； B、一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是六边形，原命题是假命题； C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，原命题是假命题； 故选：C 4不论 m 为何实数，直线 y（m
11、2+2m+2）x3m26m1 恒过定点（ ） A （ 3，2 ） B （ 5，3 ） C （ 3，5 ） D （ 0，1） 【分析】令 km2+2m+2，则直线的解析式为 ykx3k+5k（x3）+5，代入 x3 求出与之对应的 y值，进而可得出直线恒过的顶点坐标 【解答】解：令 km2+2m+2，则3m26m13k+5， 直线的解析式为 ykx3k+5k（x3）+5， 当 x30，即 x3 时，yk（33）+55 直线 y（m2+2m+2）x3m26m1 恒过定点（3，5） 故选：C 5 已知ABC 的三条边长分别为 3， 4， 6， 在ABC 所在平面内画一条直线， 将ABC 分割成两个三
12、角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A5 条 B6 条 C7 条 D8 条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用 AB，AC 为底以及为腰得出符合题意的图形即可 【解答】解：如图所示： 当 BC1AC1，ACCC2，ABBC3，AC4CC4，ABAC5，ABAC6，BC7CC7时都能得到符合题意的等腰三角形 故选：C 6如图，ABC 中，AD 为 BC 边上中线，DM，DN 分别ADB，ADC 的角平分线，试比较 BM+CN 与MN 的大小关系（ ） ABM+CNMN BBM+CNMN CBM+CNMN D无法确定 【分析】延长 ND 至 P，使 DPND，连接 MP、
13、BP，易证BDPCDN（SAS） ，得 BPCN，再由线段线段垂直平分线的在得 MNMP，然后由三角形三边关系即可求解 【解答】解：延长 ND 至 P，使 DPND，连接 MP、BP，如图： 点 D 为 BC 的中点， BDCD， 又BDPCDN， BDPCDN（SAS） ， BPCN， DM，DN 分别ADB，ADC 的角平分线，ADB+ADC180， ADM+ADN18090， MDPN， DPDN， MNMP， BM+BPMP， BM+CNMN， 故选：C 7已知过点（2，3）的直线 yax+b（a0）不经过第四象限，设 sa2b，则 s 的取值范围是（ ） A B3s3 C6s D 【
14、分析】根据题意得出 a0，b0，即可推出得，从而求得 s 的取值范围 【解答】解：过点（2，3）的直线 yax+b（a0）不经过第四象限， a0，b0， 将（2，3）代入直线 yax+b， 32a+b， b32a ， 解得， sa2ba2（32a）5a6， a0 时，s6， a，s， 故6s 故选：C 8 如图， 在ABC 中， D， E 分别是 BC， AC 的中点， 若ACB90， BE4， AD7， 则 AB 的长为 （ ） A10 B5 C2 D2 【分析】设 ECx，DCy，则直角BCE 中，x2+4y2BE216，在直角ADC 中，4x2+y2AD249，解方程组可求得 x、y，在
15、直角ABC 中，AB 【解答】解：设 ECx，DCy，ACB90， 在直角BCE 中，CE2+BC2x2+4y2BE216， 在直角ADC 中，AC2+CD24x2+y2AD249， 解得 x2，y1 在直角ABC 中，AB2 故选：C 9如图，MAN16，A1点在 AM 上，在 AN 上取一点 A2，使 A2A1AA1，再在 AM 上取一点 A3使 A3A2A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA7 DA8 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可分别求角另一等腰三角形中的底角与A 的关系，最后根据三角形内角和定
16、理进行验证不难求解 【解答】解：AA1A1A2， AA2A1A， A2A1A32A，A16， A2A1A332， A1A2A2A3， A2A3AA2A1A32A， NA2A33A48， 同理：A4A3M4A64，NA4A55A80，NA6A56A96， 如果存在 A7点，则A5A6A7为等腰三角形且NA6A5是A5A6A7的一个底角，而NA6A590， 此假设不成立，即 A7点不存在， 作出的最后一点为 A6， 故选：B 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分） 10在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若B30，ADC45，则ACD 105 【分析】过 D 点作 DE
17、DB，连接 CE，如图，先计算出BAD15，EDC15，则 EDEA，再判断CED 为等边三角形，所以DCE60，CEDE，接着计算CEB90，于是可判断AEC为等腰直角三角形，所以ACE45，然后计算ACE+BCE 即可 【解答】解：过 D 点作 DEDB，连接 CE，如图， ADCB+BAD， 而B30，ADC45， BAD15， DBDE， DEBB30， DEBEAD+RDC， EDC301515， EDEA， EDCEDA+ADC15+4560， EDBDCD， CED 为等边三角形， DCE60，CEDE， CEB180BBCE90， CEDEAE， AEC 为等腰直角三角形， A
18、CE45， ACBACE+BCE45+60105 故答案为 105 11 已知关于 x 的一次函数 ymx+2m7 在1x5 上的函数值总是正的， 则 m 的取值范围是 m7 【分析】由题可知 x 取最小和最大值时函数的值总是正的，所以只要将 x1 和 x5 代入函数式即可求 m 的取值范围 【解答】解：根据题意，得：当 x1 时，ym+2m7m70，解得 m7； 当 x5 时，y5m+2m77m70，解得 m1， m 的取值范围是 m7 故答案是：m7 12 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等， 若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 2 个 【分
19、析】设两条直角边为 a，b，斜边为 c，从而可得 a2+b2c2，aba+b+c，从而化简可得（a4）（b4）8，从而解得 【解答】解：设两条直角边为 a，b，斜边为 c， 则面积 Sab，周长 la+b+c，a2+b2c2； 又2ab（a+b）2（a2+b2）（a+b）2c2（a+b+c） （a+bc） ab（a+b+c） （a+bc） ， aba+b+c， （a+b+c） （a+bc）/4a+b+c （a+bc）1， a+bc4， a2+b2c2（a+b4）2a2+b2+168a8b+2ab 168a8b+2ab0， 即 ab4a4b+80， 即（a4） （b4）8， 又边长为整数， a4
20、1，2，4，8，1，2，4，8 a5，6，8，12，0，2，0，4 又a0， a5，6，8，12，2， b12，8，6，5，0， 又a，b，c 都是整数， 有两种直角三角形， 分别是 6，8，10 和 5，12，13； 故答案为 2 13在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0） ，B（0，4） ，将BOA 绕点 A 按顺时针方向旋转得CDA，连接 OD当DOAOBA 时，直线 CD 的解析式为 yx+4 【分析】由旋转的性质得到三角形 BOA 与三角形 CDA 全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形 AOM 与三角形 AOB 相似， 确定出 OD 与 AB 垂直， 再由 OADA， 利用
21、三线合一得到 AB 为角平分线，M 为 OD 中点， 利用 SAS 得到三角形 AOB 与三角形 ABD 全等， 得出 AD 垂直于 BC， 进而确定出 B， D，C 三点共线，求出直线 OD 解析式，与直线 AB 解析式联立求出 M 坐标，确定出 D 坐标，设直线 CD 解析式为 ymx+n，把 B 与 D 坐标代入求出 m 与 n 的值，即可确定出解析式 【解答】解：BOA 绕点 A 按顺时针方向旋转得CDA， BOACDA， DOAOBA，OAMBAO， AOMABO， AMOAOB90， ODAB， AOAD， OAMDAM，OMDM， 连接 BD， 在AOB 和ABD 中， ， AO
22、BABD（SAS） ， ABDACD， ADBADC90， B，D，C 三点共线， 设直线 AB 解析式为 ykx+b， 把 A 与 B 坐标代入得：， 解得：， 直线 AB 解析式为 yx+4， 直线 OD 解析式为 yx， 联立得：， 解得：，即 M（，） ， M 为线段 OD 的中点， D（，） ， 设直线 CD 解析式为 ymx+n， 把 B 与 D 坐标代入得：， 解得：m，n4， 则直线 CD 解析式为 yx+4 故答案为：yx+4 14在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA，PC5，则 PB 【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角A
23、BC 中，已知 PA、PC，通过辅助线求出 AD，DC 及 PD 边的长，进而 PB 可求 【解答】解：如图所示，过点 B 作 BEAC，过点 P 作 PD，PF 分别垂直 AC，BE 在APD 中，PA2PD2+AD25， 在PCD 中，PC2PD2+CD2，且 AD+CD5， 解得 AD，CD，PD， 在 RtABC 中，BEAE， 所以在 RtBPF 中，PB2PF2+BF210， 所以 PB 三、解答题（本大题共 4 小题,15 题，16 题 7 分，17,18 题 8 分，共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学
24、活动，青春旅行社现有 42 座和 48 座两种客车供选择租用，若只租用 42 座客车若干辆，则正好坐满；若租用 48 座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 36 人；已知 42 座客车每辆租金 400 元，48 座客车每辆租金 440 元 （1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案 【分析】 （1）设租 42 座的车 x 辆，则租 48 座的客车（x1）辆不等关系：租 48 座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 36 人 （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：只租 42 座客车；只租 48 座客车；合租两
25、种车再进一步比较得到结论即可 【解答】解： （1）设租用 42 座客车 x 辆， 根据题意，得：， 解得：8x10， x 为整数， x9， 42x378， 答：该校初三年级共有 378 名学生参加此次研学活动； （2）方案：租 42 座车 9 辆的费用：94003600（元） 方案：租 48 座车 8 辆的费用：84403520（元） ； 方案742，余下人数正好 42 座， 可以得出：租 48 座车 7 辆和 42 座车 1 辆的总费用：7440+14003480（元） 348035203600， 方案：租 48 座车 7 辆和 42 座车 1 辆最省钱 16下面是小张探索函数 y|x1|2
26、 的图象与性质的不完整的过程： 【列表格】 ：列出 y 与 x 的几组对应值： x 2 1 0 1 2 3 4 y 1 0 1 2 1 0 m ： 根据上面不完整的探索过程，完成下列问题： （1）直接写出表格中 m 的值； （2）在答题卡中的平面直角坐标系中，画出函数 y|x1|2 的图象； （3）结合您画的函数的图象，解决问题：当|x1|2x时，写出 x 的取值范围 【分析】 （1）把 x4 代入 y|x1|2，即可求出 m 的值； （2）根据表格数据，描点、连线，画出该函数的图象； （3）根据图象即可求|x1|2x时 x 的取值范围 【解答】解： （1）把 x4 代入 y|x1|2，解得
27、y1， m1 （2）该函数的图象如图： （3）由图形可知，当当|x1|2x时 x 的取值范围是x2 17如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC，已知 AB5，DE1，BD8，设 CDx （1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长； （2）请问点 C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值 【分析】 （1）由于ABC 和CDE 都是直角三角形，故 AC，CE 可由勾股定理求得； （2）若点 C 不在 AE 的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，AC+CEAE，故当 A、C、
28、E三点共线时，AC+CE 的值最小； （3）由（1） （2）的结果可作 BD12，过点 B 作 ABBD，过点 D 作 EDBD，使 AB2，ED3，连接 AE 交 BD 于点 C，则 AE 的长即为代数式+的最小值，然后构造矩形 AFDB，RtAFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得 AE 的值 【解答】解： （1）AC+CE+； （2）当 A、C、E 三点共线时，AC+CE 的值最小； （3）如右图所示，作 BD12，过点 B 作 ABBD，过点 D 作 EDBD，使 AB2，ED3， 连接 AE 交 BD 于点 C，设 BCx，则 AE 的长即为代数+的最小值 过点 A 作 AFBD 交
29、 ED 的延长线于点 F，得矩形 ABDF， 则 ABDF2，AFBD12，EFED+DF3+25， 所以 AE13， 即+的最小值为 13 故代数式+的最小值为 13 18记三角形三边长为 a、b、c，对应边上的高为 ha、hb、hc，请解答： （1）已知 ha：hb：hc2：3：4，且这三角形周长为 26cm，求 a、b、c （2）若三角形的三条高分别为 2、x、6，求 x 的取值范围 （3）若三条高分别为 2、x、6 的三角形是直角三角形，求 x （4）若三条高分别为 2、x、6 的三角形是等腰三角形，求 x 【分析】 （1）设 ha2k，hb3k，hc4k，根据三角形的面积公式列出等式
30、，得出 a：b：c6：4：3，再由三角形的周长为 26cm，即可得出答案； （2）设三角形的面积为 s，根据三角形的面积公式，可用含 s 的代数式分别表示 a、b、c 的值，再根据三角形三边关系定理列出不等式组，求解即可； （3）设三角形的面积为 s，由（2）知 as，b，c显然 ac，所以分两种情况进行讨论：如果 a 为斜边； 如果 b 为斜边 对每一种情况， 都可以利用勾股定理列出关于 x 的方程， 解方程即可； （4）设三角形的面积为 s，由（2）知 as，b，c显然 ac，所以分两种情况进行讨论：ab；bc对每一种情况，列方程求出解以后，利用三角形三边关系定理检验 【解答】解： （1）
31、设 ha2k，hb3k，hc4k，则 ahabhbchc， 即a2kb3kc4k， 2a3b4c， a：b：c6：4：3， 又a+b+c26cm， a12cm，b8cm，c6cm； （2）设三角形的面积为 s，则 sahaa，sbhbbx，schc3c， as，b，c， 又 acba+c， 即 ss+， ， x3； （3）设三角形的面积为 s，由（2）知 as，b，c 显然 ac，分两种情况： 如果 a 为斜边，那么 a2b2+c2， 即 s2+， 解得 x； 如果 b 为斜边，那么 b2a2+c2， 即s2+， 解得 x 故所求 x 的值为或； （4）设三角形的面积为 s，由（2）知 as，b，c 显然 ac，分两种情况： 如果 ab，那么 s，解得 x2； 如果 bc，那么 b+ca，不满足三角形三边关系定理，故舍去 故所求 x2
