1、 第 1 页 2022 年中考年中考数学数学热身模拟试卷（热身模拟试卷（1） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容：同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1、全卷共 6 页，三个大题，共 25 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟，考试形式闭卷。 2、一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。 3、不能使用科学计算器。 一、选择题（以下每小题均有一、选择题（以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相应的位置作答，每小题铅笔在答题卡相应的位置作答，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 计
2、算 2-（-1）的结果是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 1 2面对全国 14 亿人口，国家卫健委表示：新冠疫苗接种率至少要达到 60%甚至 70%，才能建立全民保 护。这意味着需要接种的人数至少在 8.5 亿以上，8.5 亿用科学记数法可表示为（ ） A8.510 8 B8.510 9 C8510 9 D0.8510 7 3.如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论错误的是（ ） A. 1=4+5 B. 23 C.25 D. 1=2 4下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 5已知样本数据 2，3，5，3，7，
3、下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B平均数是 4 C众数是 7 D方差是 3 6下列运算正确的是（ ） AA 3a2a5 Ba+2a3a 2 C（ab） 3ab3 D（a 3）2a6 7不等式组 13 392 x x 的解集是（ ） A无解 Bx-2 Cx3 D3x2 8如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BED运动到点D停止，点Q从点 B出发沿BC运动到点C停止， 它们的运动速度都是 1cm/s 现P，Q两点同时出发， 设运动时间为x（s） ， BPQ的面积为y（cm 2），若 y与x的对应关系如图所示，则矩形ABCD的面积是（ ） 第 2 页 A56cm 2 B
4、72cm 2 C84cm 2 D96cm 2 9.如图，在ABCV中，按以下步骤作图：分别以点B和C为圆心，以大于 1 2 BC的长为半径作弧， 两弧相交于点M和N；作直线MN交AC于点D，连接BD若 AC=7，AD=3，则BD的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10如图，已知抛物线：y1x 22x+3 与 x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C将 抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的 对应点为点D，若BDB90，求抛物线y2的解析式（ ） A: y2x 2 2+3x4 B. y 2x 2 2+3x3 C：
5、y2x 2 2+4x4 D. y 2x 2 2+4x3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分） 11分解因式：m3m 12如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请添加一个条件： ，使ABCD 是菱形 13如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）反比例函数 y= （k0）的图 象经过OABC 的顶点 C，则 k 14如图，在 66 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A、B、C 为格点，作ABC 的外接圆，则的长等于 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5cm，BC2cm，点 M，N 分别在边
6、AB，CD 上，CN1cm现 将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B，C上，在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中， 若边 MB与边 CD 交于点 E，求 DE 最大值与最小值的和为 cm 第 3 页 第第 1212 题题 第第 1313 题题 第第 1414 题题 第第 1515 题题 三、简答题（本大题三、简答题（本大题 1010 题，共题，共 100100 分）分） 16.（本题满分 8 分）如图，在 55 的网格中，ABC的三个顶点都在格点上。 （1）在图 1 中画出一个以AB为边的ABDE，使顶点D，E在格点上。 （2）在图 2 中画出一条恰好平分ABC
7、周长的直线l（至少经过两个格点）。 17.（本题满分 10 分）在世界环境日（6 月 5 日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部 分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不 完整的统计图表 测试成绩统计表测试成绩统计表 等级 频数 （人数） 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 第 4 页 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中a_，b_，c_； （2）补全条形统计图； （3）若该校有 2400 名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学
8、生约有多 少人？ 18.（本题满分 10 分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F （1）求证：ABEDFA； （2）若6AB，4BC ，求DF的长 19（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线yax3a（a0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 与双曲线y（x0）的一个交点为C，且BCAC （1）求点A的坐标； （2）当SAOC3 时，求a和k的值 20.（本题满分 10 分）新高考将采用“312 ”模式：“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目， “1”是指在物理、历史 2 科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理 4 科中任选 2 科 （1）若小丽在
9、“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是_； （2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2 中选化学、生物的概率 21.（本题满分 10 分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共 需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元 （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，那么最多可购买甲种词典多 少本？ 第 5 页 22（本题满分 8 分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在
10、观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为 30，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为 14，观测点与大桥主 架的水平距离CM为 60 米，且AB垂直于桥面（点A，B，C，M在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度AB（结果精确到 1 米） （参考数据 sin140.24，cos140.97，tan140.25，1.73） 23.（本题满分 10 分）如图，在 RtABC 的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O 与边AB相切于点D，ACAD，连接OA交O 于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F （1）若 AB=10， 5
11、4 inBS，求O 的半径. （2） 若F是AB的中点， 试探究 AF， EF，FD 的数量关系并说明理由. 24（本题满分 12 分）抛物线yx 2+bx+c 经过点A（3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧 如图 1，过点P作PDx轴于点D，作PEy轴于点E，当PD2PE时，求PE的长； 如图 2，在直线 AC 下方，抛物线上是否存在点 P，使得PAC 的面积最大，若存在，求出 P 点的坐 标及PAC 的面积最大值，若不存在，请说明理由。 第 6 页 25.（本题满分 12 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两
12、个正方形按如图所示的位置摆放（点E、 A、D在同一条直线上），发现BEDG且BEDG 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图 1），还能得到BEDG吗？若能，请给出证明； 若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如 图 2），试问当F 与C 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BEDG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且 = = 2 3，AE2，AB4，将矩形 AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图 3），连接D
13、E，BG问：在旋转过程中，BE 与 DG 的位置关系如 何？DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值。 第 7 页 答案答案 一、选择题（以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相 应的位置作答，每小题 3 分，共 30 分） 1. 计算 2-（-1）的结果是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 1 【答案】C 【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可 【详解】解：2-（-1）=2+1=3 2面对全国 14 亿人口，国家卫健委表示：新冠疫苗接种率至少要达到 60%甚至 70%，才能建立全民保护。 这意味着需要接种的人数至少在 8.
14、5 亿以上，8.5 亿用科学记数法可表示为（ ） A8.5108 B8.5109 C85109 D0.85107 【答案】A 【分析】利用科学计数法计算即可。 【详解】解：8.5 亿=850 000 000=8.5108 3.如图，AB 和 CD相交于点 O，则下列结论错误的是（ ） A. 1=4+5 B. 23 C.25 D. 1=2 【答案】C 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案 【详解】解：由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知2=5+4.所以25 错误 4下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A
15、 B C D 【答案】B 【分析】根据三视图进行判断，即可得到答案 【详解】A 俯视图和主视图，左视图不一致， C 三视图都不一致， D 三视图都不一致 5已知样本数据 2，3，5，3，7，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B平均数是 4 C众数是 7 D方差是 3 【答案】B 第 8 页 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可 【解答】解：样本数据 2，3，5，3，7 中平均数是 4，中位数是 3，众数是 3，方差是 S2= 1 5（24） 2+（3 4）2+（54）2+（34）2+（74）23.2 6下列运算正确的是（ ） AA3a2a5 Ba+2a3
16、a2 C（ab）3ab3 D（a3）2a6 【答案】A 【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可 【解答】解：a2a3a3+2a5，因此选项 A 符合题意； a+2a3a，因此选项 B 不符合题意； （ab）3a3b3，因此选项 C 不符合题意； （a3）2a6，因此选项 D 不符合题意； 【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正 确计算的前提 7不等式组 13 392 x x 的解集是（ ） A无解 Bx-2 Cx3 D3x2 【答案】D 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部
17、分即可 【解答】解：不等式组 13 392 x x ， 由得：x2， 由得：x3， 则不等式组的解集为3x2， 8如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从点 B 出发沿折线 BED 运动到点 D 停止，点 Q 从 点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止， 它们的运动速度都是 1cm/s 现 P， Q 两点同时出发， 设运动时间为 x （s） ， BPQ 的面积为 y（cm2），若 y 与 x 的对应关系如图所示，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A56cm2 B72cm2 C84cm2 D96cm2 【答案】B 第 9 页 【分析】过点 E 作 EHBC，由三角形面积公式求
18、出 EHAB6，由图 2 可知当 x14 时，点 P 与点 D 重合，则 AD12，可得出答案 【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x10，y30， 过点 E 作 EHBC， 由三角形面积公式得：y30， 解得 EHAB6， AE8， 由图 2 可知当 x14 时，点 P 与点 D 重合， ADAE+DE8+412， 矩形的面积为 12672 9.如图，在ABCV中，按以下步骤作图：分别以点B和C为圆心，以大于 1 2 BC的长为半径作弧，两弧 相交于点M和N；作直线MN交AC于点D，连接BD若 AC=7，AD=3，则BD的长为（ ） A. 2 B. 3
19、C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 由作图可知， M N是线段 BC的垂直平分线，据此可得解 【详解】解：由作图可知， M N 是线段 BC的垂直平分线， 第 10 页 BD=CD=AC-AD=7-3=4， 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这 一性质添加辅助线是解题的关键 10如图，已知抛物线：y1x22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C将抛 物线 y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线 y2与 x 轴交于 B，B两点（B在 B 的右侧），顶点 D 的对应 点为点 D，若BDB90，求
20、抛物线 y2的解析式； A. y2x2+3x4 B. y2x2+3x3 C：y2x2+4x4 D. y2x2+4x3 【答案】D 【分析】设平移后的抛物线的解析式为 y2（xa）2+b，如图 1 中，过 点 D作 DHOB于 H，连接 BD，BD构建方程组解决问题 即可 【解答】解：设平移后的抛物线的解析式为 y2（xa）2+b， 如图 1 中，过点 D作 DHOB于 H，连接 BD D是抛物线的顶点， DBDB，D（a，b）， BDB90，DHBB， BHHB， DHBHHBb， a1+b， 又y2（xa）2+b，经过 B（1，0）， b（1a）2， 解得 a2 或 1（不合题意舍弃），b1
21、， y2（x2）2+1x2+4x3 二、填空题二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11.分解因式：m3m 第 11 页 【答案】m（m+1）（m1） 【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：m3m， m（m21）， m（m+1）（m1） 【点睛】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式 12如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请添加一个条件： ，使ABCD 是菱形 【答案】ADDC（答案不唯一） 【分析】根据菱形的定义得出答案即可 【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形， 平行四边形 ABCD
22、 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为：ADDC； 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键。 13如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）反比例函数 y= （k0）的图象 经过OABC 的顶点 C，则 k 【答案】2 【分析】连接 OB，AC，根据 O，B 的坐标易求 P 的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分 即可求出则 C 点坐标，根据待定系数法即可求得 k 的值 【解答】解：连接 OB，AC，交点为 P， 四边形 OABC 是平行四边形， APCP，OPBP， O（0，0），B（1，2），
23、 P 的坐标（1 2，1）， A（3，1）， C 的坐标为（2，1）， 第 12 页 反比例函数 y= （k0）的图象经过点 C， k212， 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得 C 点的坐标是解答此题 的关键 14如图，在 66 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A、B、C 为格点，作ABC 的 外接圆，则的长等于 【答案】 【分析】由 AB、BC、AC 长可推导出ACB 为等腰直角三角形，连接 OC，得出BOC90，计算出 OB 的长就能利用弧长公式求出的长了 【解答】解：每个小方格都是边长为 1 的正方形， AB2，AC，BC，
24、AC2+BC2AB2， ACB 为等腰直角三角形， AB45， 连接 OC，则COB90， OB， 的长为：， 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5cm，BC2cm，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，CN1cm现将 四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B，C上，在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB与边 CD 交于点 E，求 DE 最大值与最小值的和为 cm 【答案】3.5cm 【分析】探究点 E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可 第 13 页 【解答】解：如图 2 中，当点 M 与 A 重合时，DE 的值最小。 根据题意易得：AEEN，设
25、 AEENxcm， 在 RtADE 中，则有 x222+（4x）2，解得 x= 5 2， DE4 5 2 = 3 2（cm）， 如图 3 中，当点 M 运动到 MBAB 时，DE的值最大，DE5122（cm） DE 最大值与最小值的和 3.5cm 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学 知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、简答题三、简答题（本大题 10 题，共 100 分） 16.（本题满分 8 分）如图，在 5 5 的网格中，ABC的三个顶点都在格点上 （1）在图 1中画出一个以 AB为边的ABDE，使顶点 D，E在格点上 （2）
26、在图 2中画出一条恰好平分ABC周长的直线 l（至少经过两个格点） 【详解】解：（1）如图平行四边形 ABDE 即为所求（点 D 的位置还有 6种情形可取）每小题 4 分，画对才 给分。 ； 17.（本题满分 10 分）在世界环境日（6 月 5 日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学 第 14 页 生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的 统计图表 测试成绩统计表测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答
27、下列问题： （1）表中a_，b_，c_； （2）补全条形统计图； （3）若该校有 2400 名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少 人？ 【答案】（1）0.25，54，120；（2）见解析；（3）1680人 【详解】解：（1）样本的总频数（人数）=12 0.1=120c（人）， 其中：“优秀”等次的频率 30 =0.25 120 a， “良好”等次的频数=120 0.45=54b（人） 故答案为：0.25，54，120；每空 1 分，共 3 分 （2）如下图； 该小题 3 分 第 15 页 （3）试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生=24000.25 0.
28、451680（人）.3 分 答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有 1680 人.1 分 【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图，读懂统计图，掌握“频率= 频数 总数 ”是解决问题的关键 18.（本题满分 10 分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F （1）求证：ABEDFA； （2）若6AB，4BC ，求DF的长 【答案】（1）见解析；（2） 6 10 5 DF 【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形， 90B ，ADBC AEBDAF ，.2 分 DFAE， 90DFA BDFA ，.4 分 ABEDFA.5 分 解：（2）ABEDFA， ABAE D
29、FAD .6 分 4BC ，E是BC的中点， 11 42 22 BEBC.7 分 第 16 页 在Rt ABE中， 2222 622 10AEABBE .8 分 又4ADBC， 62 10 4DF ， 6 10 5 DF .10 分 19（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yax3a（a0）与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， 与双曲线 y（x0）的一个交点为 C，且 BCAC （1）求点 A 的坐标； （2）当 SAOC3 时，求 a 和 k 的值 【解答】解：（1）由题意得：令 yax3a（a0）中 y0，.1 分 即 ax3a0，解得 x3，.3 分 点 A 的坐标为（3
30、，0）.4 分 （2）过 C 点作 y 轴的垂线交 y 轴于 M 点，作 x 轴的垂线交 x 轴于 N 点，如下图所示： 显然，CMOA， BCMBAO，且ABOCBO， BCMBAO，.5 分 ，即：， CM1，.6 分 又 第 17 页 即：， CN2，.7 分 C 点的坐标为（1，2）， 故反比例函数的 k122，.8 分 再将点 C（1，2）代入一次函数 yax3a（a0）中， 即 2a3a，解得 a1，.9 分 当 SAOC3 时，a1，k2.10 分 20.（本题满分 10 分）新高考将采用“312 ”模式：“3”是指语文、数学、外语 3科为必选科目，“1” 是指在物理、历史 2
31、科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理 4 科中任选 2 科 （1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是_； （2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2 中选化学、生物的概率 【答案】（1） 1 3 ；（2）图表见解析， 1 6 【详解】（1） 1 3 ；.3 分 （2）列出树状图如图所示： .7 分 由图可知，共有 12 种可能结果，其中选化学、生物的有 2 种， 所以，P（选化学、生物） 21 126 .9 分 答：小明同学选化学、生物的概率是 1 6 .10 分 21. （本题满分 10 分） 某校计划为教师购买甲、 乙两
32、种词典 已知购买 1本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290元 （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2） 学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本， 总费用不超过 1600元， 那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】（1）每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元；（2）学校最多可购买甲种词典 5 本 【详解】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据题意，得 2170 23290 xy xy .2 分 第 18 页 解得 70 50 x y .4 分 答：每本甲种词典的
33、价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元.5 分 （2）设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典(30)m本，根据题意，得 7050(30)1600mm .7 分 解得5m.9 分 答：学校最多可购买甲种词典 5 本.10 分 22（本题满分 8 分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB，在观测点 C 处 测得大桥主架顶端 A 的仰角为 30，测得大桥主架与水面交汇点 B 的俯角为 14，观测点与大桥主架 的水平距离 CM 为 60 米，且 AB 垂直于桥面（点 A，B，C，M 在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度 AM；（结果保留根号） （2）
34、求大桥主架在水面以上的高度 AB（结果精确到 1 米） （参考数据 sin140.24，cos140.97，tan140.25，1.73） 【解答】解：（1）AB 垂直于桥面， AMCBMC90， 在 RtAMC 中，CM60，ACM30， tanACM，.2 分 AMCMtanACM6020（米），.3 分 答：大桥主架在桥面以上的高度 AM 为 20米；.4 分 （2）在 RtBMC 中，CM60，BCM14， tanBCM， MBCMtanBCM600.2515，.6 分 ABAM+MB15+2050（米）.7 分 答：大桥主架在水面以上的高度 AB 约为 50 米.8 分 23.（本题
35、满分 10 分）如图，在 RtABC 的边 BC 上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O 与边 AB相切于点D，ACAD，连接OA交O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F 第 19 页 （1）若 AB=10， 5 4 inBS，求O 的半径； （2）若F是AB的中点，试探究 AF，EF，FD 的数量关系并说明理由 【答案】（1） 8 3 ；（2）AFBD CE，理由见解析 【详解】解：（1）在 Rt ABC 中, 5 4 in AB AC BS， AB=10， 5 4 10 AC AC=8，.2 分 AD=AC=8 BD=AB-AD=2， OB2=OD2+BD2， （6-OC）2=OC
36、2+4， OC= 8 3 ， .4 分 （2）连接 OD，DE， O与边 AB相切于点 D， ODAB，即ADO=90 ， AO=AO，AC=AD，OC=OD， ACOADO（SSS） ACO=ADO=90 ，AOC=AOD，.5 分 又CO=DO，OE=OE， COEDOE（SAS）， COE=DOE， DE=CE.6 分 OC=OE=OD， 第 20 页 OCE=OEC=OED=ODE， DEF=180 -OEC-OED=180 -2OCE，.7 分 点 F是 AB中点，ACB=90 ， CF=BF=AF， FCB=FBC， DFE=180 -BCF-CBF=180 -2OCE，.8 分
37、DEF=DFE， DE=DF， DE=CE(已证) CE=DF.9 分 CE+EF=DF+BD EF=BD AF=BF=BD+FD=EF+FD.10 分 24（本题满分 12 分）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是该抛物线上的动点，且位于 y 轴的左侧 如图 1，过点 P 作 PDx 轴于点 D，作 PEy 轴于点 E，当 PD3PE 时，求 PE 的长； 如图 2，在直线 AC 下方，抛物线上是否存在点 P，使得PAC 的面积最大，若存在，求出 P 点的坐 标及PAC 的面积最大值，若不存在，请说
38、明理由。 【解答】解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（1，0）， cb cb 4160 10 解得： 3 4 b c ， 抛物线解析式为：yx2+3x4；.2 分 （2）设点 P（a，a2+3a4）， 点 P 位于 y 轴的左侧， 第 21 页 a0，PEa， PD3PE， |a2+3a4|3a，.4 分 a2+3a43a 或 a2+3a43a， 解得：a1133，a2133（舍去）或 a32，a42（舍去）.5 分 PE2 或133；.6 分 存在点 P，理由如下， 抛物线 yx2+3x4 与 x 轴交于点 C， 点 C（0，4），A（4，0） 直线 AC 的解
39、析式为4xy.8 分 设 P 的坐标为（m , m2+3m4）,过 P 点做 x 轴的垂线交 AC 于 Q 点，设 Q 的坐标为（m , -m-4） 则 QP=-m2-4m 4m-m4 2 1 2 PAC S mmS PAC 82 2 822 2 ）（mS PAC .10 分 当 m= -2 时 PAC S最大值为 8 m= -2 代入 m2+3m4 m2+3m4= 6 点 P 的坐标（2，6）.12 分 25.（本题满分 12 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 E、A、 D 在同一条直线上），发现 BEDG 且 BEDG 小组讨论后，提出了下列三个问题
40、，请你帮助解答： （1）将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转（如图 1），还能得到 BEDG 吗？若能，请给出证明； 若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD，将菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如 图 2），试问当F 与C 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 BEDG 仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且 = = 2 3，AE2，AB4，将矩 第 22 页 形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如图 3），连接 DE，BG问：在旋转过程中，BE 与 DG 的位置关系 如
41、何？DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值。 【分析】（1）由正方形的性质得出 AEAF，EAG90，ABAD，BAD90，得出EAB GAD，证明AEBAGD（SAS），则可得出结论； （2）由菱形的性质得出 AEAG，ABAD，证明AEBAGD（SAS），由全等三角形的性质可得出 结论； （3） 证明EABGAD， 得出BEAAGD， 则 A， E， G， Q 四点共圆， 得出GQEGAE90， 连接 EG，BD，由勾股定理可求出答案 【解答】（1）证明：四边形 AEFG 为正方形， AEAF，EAG90， 又四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， EABGAD， AEBA
42、GD（SAS）， BEDG；.3 分 （2）当EAGBAD 时，BEDG， 理由如下： EAGBAD， EABGAD， 又四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为菱形， AEAG，ABAD， AEBAGD（SAS）， BEDG；.6 分 （3）解：如图，设 BE 与 DG 交于 Q， 第 23 页 = = 2 3，AE2，AB4 AG3，AD6.7 分 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为矩形， EAGBAD， EABGAD， = ， EABGAD， BEAAGD， A，E，G，Q 四点共圆，.9 分 GQEGAE90， GDEB，.10 分 连接 EG，BD， ED2+GB2 EQ2+QD2+GQ2+QB2 EQ2+GQ2+QD2+QB2 EG2+BD2 AE2+AG2+AB2+AD2.11 分 22+32+42+62 65.12 分
