1、2021 年陕西省宝鸡市渭滨区中考数学一模试卷年陕西省宝鸡市渭滨区中考数学一模试卷 一一.选择题选择题 1的算术平方根是（ ） A B C D4 2下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 3如图，已知 ABCD，1125，255，则C（ ） A45 B50 C70 D65 4在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 A（5，b） ，B（a，4）两点，则 a，b 一定满足的 关系式为（ ） Aab1 Ba+b9 Cab20 D 5下列运算正确的是（ ） Ax2yyx2y2 B （ab3）2a2b6 Cb3+b3b6 D （ab
2、）6（ab）3a3b3 6如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD2，CE5， 则 CD（ ） A2 B3 C4 D2 7如图，一次函数 yx+6 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，过点 B 的直线 l 平分ABO 的面积， 则直线 l 相应的函数表达式为（ ） Ayx+6 Byx+6 Cyx+6 Dyx+6 8如图，在矩形 ABCD 中，BC8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 D 作 AC 的垂线 DE，交 AC 于点 E，AE3CE则 DE 的值为（ ） A4 B2 C4 D2 9如图，AB 是O 的直径，弦 C
3、D 交 AB 于点 E，且 AECD16，BACBOD，则O 的半径为 （ ） A4 B8 C10 D6 10在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛 物线的函数表达式为 yx2+4x+m，则 m 的值是（ ） A1 或 7 B1 或 7 C1 或7 D1 或7 二、填空题二、填空题 11比较大小： 2 （填“”或“”号） 12如图，在正六边形 ABCDEF 中，AC 于 FB 相交于点 G，则值为 13 如图， 已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D， 且与直角边 AB 相交于点 C 若 点 A 的坐标为（6，4） ，
4、则AOC 的面积为 14如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC8，F 是 AB 边上的中点，点 D、B 分别在 AC、BC 边上 运动，且保持 ADCE，连接 DE、DF、EF，则CDE 面积的最大值为 三三.解答题解答题 15计算：2sin45|1|（） 2+（2021）0 16化简： （x1） 17如图，在ABC 中，点 D 为 AB 中点，请用尺规作图方法，在线段 AC 上找一点 E，使得 DEBC （请 保留作图痕记，不写作法） 18如图，ABC 中，点 D、E 在边 BC 上，ADCAEB，CDBE求证：BADCAE 19第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张
5、家口市举行为了调查学生对冬奥知识的了 解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制） ，根据调查结果绘制 了如图尚不完整的统计图表： 组别 成绩分组（单位：分） 频数 频率 A 50 x60 3 0.06 B 60 x70 0.24 C 70 x80 16 b D 80 x90 a E 90 x100 8 0.16 所抽取学生测试成绩在 80m90 这一组的具体成绩是： 80 82 83 83 85 85 86 86 86 88 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的学生共有 人，a ；b ； （2）请补全频数分布直方图； （3）本次调查中，所
6、抽取学生的中位数落在 组； （4）该校共有学生 1200 人，若成绩在 85 分以上（含 85 分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试， 请估计该校学生成绩为优秀的人数 20九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之 间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C，镜 子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时看到旗杆顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的 标记点 C 重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度 ED1.5 米，CD1 米，然后在阳光下，小越从 D 点 沿 DM 方向走了 15.8
7、米到达 F 处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得 FG1.6 米， FH3.2 米，已知 ABBM，EDBM，GFBM 若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图 中提供的相关信息求出旗杆的高 AB 21快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和 价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数 （件） 1000 800 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共 10 台，并且使这 10 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8500 件 （1） 设购买甲种型号的机器人 x 台， 购买这 10 台机器人所花的
8、费用为 y 万元， 求 y 与 x 之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这 10 台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 22只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取 得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数都表示为两个素数的和” 如 103+7 （1）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 13 的概率是 ； （2）从 7，13，23，29 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，用画树状 图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 3
9、6 的概率 23如图，在ABC 中，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，DACB （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 E 是 AB 上一点，若BCEB，tanB，O 的半径是 4，求 EC 的长 24已知抛物线 L1：yx2+bx+c 经过点 M（2，3） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线 L1的表达式； （2）平移抛物线 L1，设平移后的抛物线为 L2，抛物线 L2的顶点记为 P，它的对称轴与 x 轴交于点 Q， 已知点 N（2，8） ，怎样平移才能使得以 M、N、P、Q 顶点的四边形为菱形？ 25问题发现 （1）如图，RtABC 中，ACB90，AC3，BC4
10、CDAB 于点 D，则 CD 的长为 ； 问题探究 （2）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 M、N 分别在 BD，BC 上，求 CM+MN 的最小值； 问题解决 （3）有一度假山庄，它的平面图为矩形 ABCD，现在山庄管理人员想在山庄内找到一点 G（点 G 不在 AB、BC、AD 上）与 CD 共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门 E 到点 G 的距离与到拐角 B 的距离相等，如图，经过测量得知 AB30m，BC40m，BE10m，请问绿化区GCD 的面积是否 存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 2021 年陕西省宝鸡市渭滨区中考数学一模试卷年陕西省宝鸡
11、市渭滨区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题选择题 1的算术平方根是（ ） A B C D4 【分析】利用算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：的算术平方根； 故选：A 2下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得 到的图形，可得答案 【解答】解：A主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故 本选项符合题意； B 主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
12、而俯视图的底层左边是一个 小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； C主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意 D主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的 左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A 3如图，已知 ABCD，1125，255，则C（ ） A45 B50 C70 D65 【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可 【解答】解：ABCD，1125， FGD1125， 255， CFGD21255570， 故选：C 4在
13、平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 A（5，b） ，B（a，4）两点，则 a，b 一定满足的 关系式为（ ） Aab1 Ba+b9 Cab20 D 【分析】设该正比例函数是 ykx（k0） ，将 A、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得 a，b 一定满足 的关系式 【解答】解：设该正比例函数是 ykx（k0） ，则 b5k，4ak ， ab20 故选：C 5下列运算正确的是（ ） Ax2yyx2y2 B （ab3）2a2b6 Cb3+b3b6 D （ab）6（ab）3a3b3 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式x2y2，不符合题意； B、原式a2b6，符合题
14、意； C、原式2b3，不符合题意； D、原式（ab）3，不符合题意 故选：B 6如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD2，CE5， 则 CD（ ） A2 B3 C4 D2 【分析】根据直角三角形的性质得出 AECE5，进而得出 DE3，利用勾股定理解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，CE 为 AB 边上的中线，CE5， AECE5， AD2， DE3， CD 为 AB 边上的高， 在 RtCDE 中，CD， 故选：C 7如图，一次函数 yx+6 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，过点 B 的直线 l 平分AB
15、O 的面积， 则直线 l 相应的函数表达式为（ ） Ayx+6 Byx+6 Cyx+6 Dyx+6 【分析】由一次函数 yx+6 求得 A、B 的坐标，根据题意求得 C 的坐标，然后根据待定系数法即可求 得 【解答】解：一次函数 yx+6 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B， 令 y0，则求得 x8，令 x0，求得 y6， A（8，0） ，B（0，6） ， 过点 B 的直线 l 平分ABO 的面积， ACOC， C（4，0） ， 设直线 l 的解析式为 ykx+6， 把 C（4，0）代入得4k+60， 解得 k， 直线 l 的解析式为 yx+6， 故选：D 8如图，在矩形 ABCD 中
16、，BC8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 D 作 AC 的垂线 DE，交 AC 于点 E，AE3CE则 DE 的值为（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】先证明ADEDCE，根据相似三角形对应边成比例列式求出 DE23CE2，利用勾股定理求 出 CE2的值，即可求解 【解答】解：DEAC， AEDCED90， 四边形 ABCD 是矩形， ADCADE+CDE90，ADBC8， DAC+ADE90， DACCDE， ADEDCE， ， AE3CE， DE23CE2， 在 RtADE 中，AD2AE2+DE2，即 649CE2+3CE2， 解得：CE2， DE23CE216， DE4
17、（负值舍去） ， 故选：A 9如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AECD16，BACBOD，则O 的半径为 （ ） A4 B8 C10 D6 【分析】先根据BACBOD 可得出，故可得出 ABCD，由垂径定理即可求出 DE 的长， 再根据勾股定理即可得出结论 【解答】解：BACBOD， ， ABCD， AECD16， DECD8， 设 ODr，则 OEAEr16r， 在 RtODE 中，ODr，DE8，OE16r， OD2DE2+OE2，即 r282+（16r）2，解得 r10 故选：C 10在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单
18、位长度，若其中一条抛 物线的函数表达式为 yx2+4x+m，则 m 的值是（ ） A1 或 7 B1 或 7 C1 或7 D1 或7 【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点， 根据题意得出关于 m 的方程，解方程即可求得 【解答】解：一条抛物线的函数表达式为 yx2+4x+m， 这条抛物线的顶点为（2，m+4） ， 关于 x 轴对称的抛物线的顶点（2，m4） ， 它们的顶点相距 6 个单位长度 |m+4（m4）|6， 2m+86， 当 2m+86 时，m1， 当 2m+86 时，m7， m 的值是1 或7 故选：D 二、填空题二、填空题 11比
19、较大小： 2 （填“”或“”号） 【分析】先求出 2，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可 【解答】解：2， 2， 故答案为： 12如图，在正六边形 ABCDEF 中，AC 于 FB 相交于点 G，则值为 【分析】 由正六边形的性质得出 ABBCAF， ABCBAF120， 由等腰三角形的性质得出ABF BACBCA30， 证出 AGBG， CBG90， 由含 30角的直角三角形的性质得出 CG2BG 2AG，即可得出答案 【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， ABBCAF，ABCBAF120， ABFBACBCA30， AGBG，CBG90， CG2BG2AG， ；
20、故答案为： 13 如图， 已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D， 且与直角边 AB 相交于点 C 若 点 A 的坐标为（6，4） ，则AOC 的面积为 9 【分析】要求AOC 的面积，已知 OB 为高，只要求 AC 长，即点 C 的坐标即可，由点 D 为三角形 OAB 斜边 OA 的中点，且点 A 的坐标（6，4） ，可得点 D 的坐标为（3，2） ，代入双曲线可 得 k，又 ABOB，所以 C 点的横坐标为6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积 【解答】解：点 D 为OAB 斜边 OA 的中点，且点 A 的坐标（6，4） ， 点 D 的坐标为（3，2） ， 把（3，2）
21、代入双曲线， 可得 k6， 即双曲线解析式为 y， ABOB，且点 A 的坐标（6，4） ， C 点的横坐标为6，代入解析式 y， y1， 即点 C 坐标为（6，1） ， AC3， 又OB6， SAOCACOB9 故答案为：9 14如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC8，F 是 AB 边上的中点，点 D、B 分别在 AC、BC 边上 运动，且保持 ADCE，连接 DE、DF、EF，则CDE 面积的最大值为 8 【分析】设 ADx，则 CEADx，CD8x，根据三角形面积公式列式，由二次函数配方可得最大 值 【解答】解：设 ADx，则 CEADx，CD8x， C90， SCDE（x28x+
22、1616）（x4）2+8， 0， 当 x4，即 AD4 时，CDE 面积有最大值是 8， 故答案为：8 三三.解答题解答题 15计算：2sin45|1|（） 2+（2021）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别 化简得出答案 【解答】解：原式2（1）9+1 +19+1 7 16化简： （x1） 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解法后约分即可 【解答】解：原式 17如图，在ABC 中，点 D 为 AB 中点，请用尺规作图方法，在线段 AC 上找一点 E，使得 DEBC （请 保留作图痕记，不写作法） 【分
23、析】作ADEB 即可 【解答】解：如图，直线 DE 即为所求作 18如图，ABC 中，点 D、E 在边 BC 上，ADCAEB，CDBE求证：BADCAE 【分析】由“SAS”可证ADCAEB，可得BAEDAC，可得结论 【解答】证明：ADCAEB， ADAE， 在ADC 和AEB 中， ， ADCAEB（SAS） ， BAEDAC， BADCAE 19第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市举行为了调查学生对冬奥知识的了 解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制） ，根据调查结果绘制 了如图尚不完整的统计图表： 组别 成绩分组（单位：分
24、） 频数 频率 A 50 x60 3 0.06 B 60 x70 0.24 C 70 x80 16 b D 80 x90 a E 90 x100 8 0.16 所抽取学生测试成绩在 80m90 这一组的具体成绩是： 80 82 83 83 85 85 86 86 86 88 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的学生共有 50 人，a 11 ；b 0.32 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）本次调查中，所抽取学生的中位数落在 C 组； （4）该校共有学生 1200 人，若成绩在 85 分以上（含 85 分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试， 请估计该校学生成绩为优
25、秀的人数 【分析】 （1）根据 A 组的频数和频率，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出 a 和 b 的值； （2）根据频数分布表中的数据，可以得到 B 组和 D 组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以得到中位数落在哪一组； （4）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生成绩为优秀的人数 【解答】解： （1）这次被调查的学生共有 30.0650（人） ， b16500.32， a50（10.060.240.320.16）11， 故答案为：50，11，0.32； （2）由（1）知，a11，B 组的频数为：500.2412， 补全的频数分布直方图如右图
26、所示； （3）由频数分布表可知，本次调查中，所抽取学生的中位数落在 C 组； （4）1200360（人） ， 即该校学生成绩为优秀有 360 人 20九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之 间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C，镜 子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时看到旗杆顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的 标记点 C 重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度 ED1.5 米，CD1 米，然后在阳光下，小越从 D 点 沿 DM 方向走了 15.8 米到达 F 处此时旗杆的
27、影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得 FG1.6 米， FH3.2 米，已知 ABBM，EDBM，GFBM 若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图 中提供的相关信息求出旗杆的高 AB 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 AB1.5BC，进而得出 BC 的长，即可得出答案 【解答】解：由题意可得：BCAECD，ABCEDC， 故ABCEDC， 则， 即1.5， AB1.5BC， GFAB， GFHABH， ， ， 解得：BC10， 故 AB1.5BC15 米 答：旗杆的高 AB 为 15 米 21快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工
28、作效率和 价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数 （件） 1000 800 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共 10 台，并且使这 10 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8500 件 （1） 设购买甲种型号的机器人 x 台， 购买这 10 台机器人所花的费用为 y 万元， 求 y 与 x 之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这 10 台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【分析】 （1）根据总费用甲种型号机器人的费用+乙种机器人的费用，求出 y 与 x 的关系式即可； （2）根据这 10 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8
29、500 件，列出不等式，求得 x 的取值范围，再 利用（1）中函数，求出 y 的最小值即可 【解答】解： （1）y 与 x 之间的函数关系式为： y5x+3（10 x）2x+30； （2）由题可得：1000 x+800（10 x）8500， 解得 x， 20，y2x+30， y 随 x 的增大而增大， 当 x3 时，y 取得最小值， y最小23+3036， 购买 3 台甲种型号的机器人，能使购买这 10 台机器人所花总费用最少，最少费用为 36 万元 22只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取 得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于
30、 2 的偶数都表示为两个素数的和” 如 103+7 （1）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 13 的概率是 ； （2）从 7，13，23，29 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，用画树状 图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 36 的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 12 个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和等于 36 的结果有 4 个，再由概率公 式求解即可 【解答】解： （1）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 13 的概率是， 故答案
31、为：； （2）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽到的两个素数之和等于 36 的结果有 4 个， 抽到的两个素数之和等于 36 的概率为 23如图，在ABC 中，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，DACB （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 E 是 AB 上一点，若BCEB，tanB，O 的半径是 4，求 EC 的长 【分析】 （1）欲证明 AC 是切线，只要证明 ABAC 即可； （2）设 ECEBx，在 RtAEC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】 （1）证明：AB 是直径， ADB90， B+BAD90， DACB， DAC+BAD90， BAC
32、90， BAAC， AC 是O 的切线 （2）解：BCEB， ECEB，设 ECEBx， 在 RtABC 中，tanB，AB8， AC4， 在 RtAEC 中，EC2AE2+AC2， x2（8x）2+42， 解得 x5， CE5 24已知抛物线 L1：yx2+bx+c 经过点 M（2，3） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线 L1的表达式； （2）平移抛物线 L1，设平移后的抛物线为 L2，抛物线 L2的顶点记为 P，它的对称轴与 x 轴交于点 Q， 已知点 N（2，8） ，怎样平移才能使得以 M、N、P、Q 顶点的四边形为菱形？ 【分析】 （1）将 M、C 两点的坐标代入 yx
33、2+bx+c，得到关于 b、c 的二元一次方程组，求出 b、c 的 值，得出抛物线 L 的函数表达式； （2）由题意得，M（2，3） ，N（2，8） ，则当 PQMN5 时，四边形 MNPQ 为平行四边形设点 Q（m，0） ，则 P 点的坐标为（m，5） ，根据菱形的性质得到 PNMN5，故（m2）2+（5+8）2 52，易得点 P 的坐标为（6，5）或（2，5） 由抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求得 答案 【解答】解： （1）抛物线 L：yx2+bx+c 经过点 M（2，3） ，点 C（0，3） 代入得， 解得， 抛物线 L1的表达式为：yx22x3； （2）由题意得，M（2，3）
34、，N（2，8） ， MNy 轴，MN5， PQMNy 轴， 当 PQMN5 时，四边形 MNPQ 为平行四边形 设点 Q（m，0） ，则 P 点的坐标为（m，5） ， 要使得以 M、N、P、Q 为顶点的四边形为菱形， 只需 PNMN5， （m2）2+（5+8）252， 解得 m16，m22， 点 P 的坐标为（6，5）或（2，5） yx22x3（x1）24， 抛物线 L1的顶点坐标为（1，4） ， 当点 P 的坐标为（6，5）时，651，5（4）1， 将原抛物线先向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到符合条件的抛物线 L2； 当点 P 的坐标为（2，5）时，213，5（4）1，
35、将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到符合条件的抛物线 L2 25问题发现 （1）如图，RtABC 中，ACB90，AC3，BC4CDAB 于点 D，则 CD 的长为 ； 问题探究 （2）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 M、N 分别在 BD，BC 上，求 CM+MN 的最小值； 问题解决 （3）有一度假山庄，它的平面图为矩形 ABCD，现在山庄管理人员想在山庄内找到一点 G（点 G 不在 AB、BC、AD 上）与 CD 共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门 E 到点 G 的距离与到拐角 B 的距离相等，如图，经过测量得知 AB30m，BC40m，
36、BE10m，请问绿化区GCD 的面积是否 存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用面积法求高即可 （2）先根据轴对称确定出点 M 和 N 的位置，再利用面积求出 CF，进而求出 CE，最后用三角函数即可 求出 CM+MN 的最小值； （3）如图 3 中，作 EHAB 交E 于 H，作 HKBC 于 K，可得四边形 EBKH 是正方形，当点 G 到 CD 的距离最小时，GDC 的面积最小，因为点 G 在E 上运动，观察图象可知当点 G 与 H 重合时，点 G 到 CD 的距离最小，此时DGC 的面积最小 【解答】解：如图 1 中， 在 RtABC 中，AC3，
37、BC4，根据勾股定理得，AB5， ACBCABCD， CD 故答案为 （2）如图 2 中，作出点 C 关于 BD 的对称点 E， 过点 E 作 ENBC 于 N，交 BD 于 M，连接 CM，此时 CM+MNEN 最小 四边形 ABCD 是矩形， BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5， CEBC， BDCFBCCD， CF， 由对称得，CE2CF， 在 RtBCF 中，cosBCF， sinBCF， 在 RtCEN 中，ENCEsinBCE； 即：CM+MN 的最小值为； （3）存在 理由：如图 3 中，作 EHAB 交E 于 H，作 HKBC 于 K，可得四边形 EBKH 是正方形， BKHKEHBE10m， 当点 G 到 CD 的距离最小时，GDC 的面积最小， 点 G 在E 上运动， 观察图象可知当点 G 与 H 重合时，点 G 到 CD 的距离最小，这个距离的最小值为 401030m， 此时 SGDC3030450m2 GDC 的面积的最小值为 450m2
