1、第九章第九章 统计统计 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.一个容量为 20 的样本，已知某组的频率为 0.25，则该组的频数为( ) A.2 B.5 C.15 D.80 解析 由题意得 200.255. 答案 B 2.某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若 样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为( ) A.7 B.15 C.25 D.35 解析 由题意设样本容量为 n，则 n 75
2、0 7 350，解得 n15. 答案 B 3.有一个容量为 66 的样本， 数据的分组及各组的频数如下： 11.5，15.5) 2 15.5，19.5) 4 19.5，23.5) 9 23.5，27.5) 18 27.5，31.5) 11 31.5，35.5) 12 35.5，39.5) 7 39.5，43.5) 3 则总体中大于或等于 31.5 的数据约占( ) A. 2 11 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析 由题意知样本的容量为 66，而落在31.5，43.5)内的样本数为 1273 22，故总体中大于或等于 31.5 的数据约占22 66 1 3. 答案 B 4.甲组数据为：5
3、，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39， 则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是( ) A.极差 B.平均数 C.中位数 D.都不相同 解析 由题中数据的分布，可知极差不同， 甲的中位数为1621 2 18.5，乙的中位数为1418 2 16， x 甲51612252137 6 58 3 ， x 乙1614183839 6 58 3 ， 所以甲、乙的平均数相同.故选 B. 答案 B 5.下表记录了某地区一年之内的月平均降水量. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平 均降 水量 /cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6
4、 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则 25%分位数为( ) A.5.1 B.5.2 C.5.3 D.5.6 解析 把这组数据由小到大的顺序排列，得：4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6， 5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，因为 1225%3，所以 25%分位数为5.15.3 2 5.2， 故选 B. 答案 B 6.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力 情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后 5 组 频数和为 62，设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a，最大频率为 0.32，则
5、a 的值 为( ) A.64 B.54 C.48 D.27 解析 前两组中的频数为 100(0.050.11)16. 因为后五组频数和为 62，所以前三组频数和为 38. 所以第三组频数为 381622.又最大频率为 0.32，故第四组频数为 0.32100 32.所以 a223254.故选 B. 答案 B 7.记样本 x1，x2，xm的平均数为x ，样本 y1，y2，yn的平均数为y (x y ). 若样本 x1，x2，xm，y1，y2，yn的平均数为z 1 4x 3 4y ，则m n的值为( ) A.3 B.4 C.1 4 D.1 3 解 析 由 题 意 知 x1 x2 xm m x ，
6、y1 y2 yn n y ， z （x1x2xm）（y1y2yn） mn mx ny mn mx mn ny mn 1 4x 3 4y .所以 m mn 1 4， n mn 3 4，可得 3mn，所以 m n 1 3. 答案 D 8.从某项综合能力测试中抽取了 100 人的成绩，统计如下表所示，则这 100 人成 绩的标准差为( ) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. 3 B.2 10 5 C.3 D.8 5 解析 x 520410330230110 100 3， s2 1 100(202 2101230121022) 160 100 8 5，s 2 10 5
7、. 答案 B 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.下列说法正确的是( ) A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 解析 平均数不大于最大值，不小于最小值， B 项错误，其余全对. 答案 ACD 10.如图 1 为某省 2018 年 14 月份快递业务量统计图，图 2 为该省
8、2018 年 14 月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是( ) 图 1 图 2 A.2018 年 14 月份快递业务量 3 月份最高，2 月份最低，差值接近 2 000 万件 B.2018 年 14 月份快递业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月份最高，和春节 蛰伏后网购迎来喷涨有关 C.从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D.从 14 月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 解析 由图 1 可知快递业务量 3 月份为 4 397 万件，2 月份为 2 411 万件，差值为 4 3972 4111 986 万件，故 A 正确；由图 1 可知 B 也正确；对于 C
9、，由两图易 知业务量从高到低变化是 3 月4 月1 月2 月， 业务收入从高到低变化是 3 月 4 月1 月2 月，保持高度一致，所以 C 正确；对于 D，由图知业务收入 2 月比 1 月减少，4 月比 3 月减少，整体不具备高速增长之说，所以 D 不正确. 答案 ABC 11.在发生某公共卫生事件期间， 有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规 模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：中位数为 2，众数为 3 C.丙地：极差为 3
10、，第 80 百分位数为 4 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3 解析 因为平均数和中位数不能保证某一天的病例不超过 7 人，故 A 不正确；乙 地中位数为 2，众数为 3，可以有一天的感染人数为 8，故 B 不正确；C 中数据的 最大可能取值为 7，故 C 正确；当总体平均数是 2，若有一个数据超过 7，则 s2 1 10(82) 23.6，则方差就超过 3，总体平均数是 2，总体方差为 3 时，没有 数据超过 7，故 D 正确. 答案 CD 12.如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及完成情况的气泡图， 气泡的 大小表示完成率的高低，如 10 月份销售任务是 4
11、00 台，完成率为 90%，则下列 叙述不正确的是( ) A.2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B.2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C.2018 年第一季度总销量为 900 台 D.2018 年月销量最大的是 6 月份 解析 由题图得 3 月份的销售任务是 400 台，所以 A 正确；由题图得 2018 年月 销售任务超过 600 台的只有 3 个月，则平均值不超过 600 台，所以 B 正确；由题 图得第一季度的总销量为 30050%200100%400120%830(台)，故 C 不正确；由题图得销量最大的月份是 5 月份，为 800 台，故 D 不正确. 答
12、案 CD 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知一组数 1，2，m，6，7 的平均数为 4，则这组数的方差为_. 解析 由题意，得1 5(12m67)4，解得 m4，所以这组数的方差为 s21 5(14) 2(24)2(44)2(64)2(74)226 5 答案 26 5 14.一组数据中的每一个数据都乘 2，再减去 80，得到一组新数据，若求得新数据 的平均数是 1.2，方差是 4.4，则原来数据的平均数和方差分别是_. 解析 设原数据的平均数为x ，方差为 s2，则新数据的平均数为 2x 80，方差为 4s2，由题意得 2x 801.2，x 40.6，4s
13、24.4，s21.1. 答案 40.6 1.1 15.某学校共有学生 2 000 人，其中高一 800 人，高二、高三各 600 人，学校对学 生在暑假中每天的读书时间做了调查统计， 全体学生每天读书时间的平均数为x 3 小时，方差为 s22.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别 为x 12.6，x 23.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为 s211，s22 2，s233，则高三学生每天读书时间的平均数x 3_. 解析 由题意可得 2.003 800 2 0001(32.6) 2 600 2 0002(3.23) 2 600 2 0003(x 33)2， 解得x
14、33.3 或 2.7. 答案 3.3 或 2.7 16.从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分 布直方图(如图).由图中数据可知 a_.若要从身高在120， 130)， 130， 140)， 140，150三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则 从身高在140，150内的学生中选取的人数应为_.（本题第一空 2 分，第 二空 3 分） 解析 5 个矩形面积之和为 1， 即(0.0050.0100.020a0.035)101， 0.0701010a1，a0.030. 三组内学生数的频率分别为：0.3，0.2，0.1， 三组内学生的
15、人数分别为 30，20，10. 因此从140，150内选取的人数为10 60183. 答案 0.030 3 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知数据 x1，x2，x10的平均数x 20，方差 s20.015.求： (1)3x1，3x2，3x10的平均数和方差； (2)4x12，4x22，4x102 的平均数和方差. 解 (1)x 1 10(3x13x23x10) 3 10(x1x2x10) 3x 32060； s2 1 10(3x13x )2(3x23x )2(3x103x )2 9 10(x1x )2(x2x )2(x1
16、0 x )2 9s290.0150.135. (2)x 4x 2420278； s216s2160.0150.24. 18.(12 分)某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营 销、生产各部门中，如下表所示： 类别 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 小计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要从管理中抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽
17、选出 席人？ 解 (1)不同年龄段的人的身体状况有所差异，所以应该按年龄段用分层随机抽样 的方法来调查单位职工的身体状况，管理部门中老年、中年、青年所占的比例分 别为 40 160 1 4， 80 160 1 2， 40 160 1 4， 所以在抽取 40 人的样本中， 老年人抽 40 1 410(人)， 中年人抽 801 420(人)，青年人抽取 40 1 410(人). (2)因为不同部门的人对单位的发展及薪金要求有所差异，所以应该按部门用分层 随机抽样的方法来确定参加座谈会的人员，管理、技术开发、营销、生产人数分 别占的比例为 160 2 000 2 25， 320 2 000 4 25
18、， 480 2 000 6 25， 1 040 2 000 13 25，所以在抽取 25 人出 席座谈会中，管理人员抽 25 2 252(人)，技术开发人员抽 25 4 254(人)，营销 人员抽 25 6 256(人)，生产人员抽 25 13 2513(人). 19.(12 分)某中学高一女生共有 450 人， 为了了解高一女生的身高(单位： cm)情况， 随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： 组别 频数 频率 145.5，149.5) 8 0.16 149.5，153.5) 6 0.12 153.5，157.5) 14 0.28 157.5，161.5) 10
19、0.20 161.5，165.5) 8 0.16 165.5，169.5 m n 合计 M N (1)求出表中字母 m，n，M，N 所对应的数值； (2)画出频率分布直方图； (3)估计该校高一女生身高在149.5，165.5)范围内有多少人？ 解 (1)由题意得 M 8 0.1650，落在区间165.5，169.5内的频数 m50(86 14108)4， 频率为 n0.08，总频率 N1.00. (2)频率分布直方图如图. (3)该所学校高一女生身高在149.5， 165.5)之间的比例约为0.120.280.200.16 0.76，则估计该校高一女生在此范围内的人数为 4500.76342
20、. 20.(12 分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下： 男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35， 58，94，52； 女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100， 74. (1)分别计算和比较男女生得分的平均数和标准差； (2)分别计算男、女生得分的四分位数. 解 (1)男生的平均得分为x 甲 1 20(35384494)61. 男生的方差是 s2甲 1 20(3561) 2(3861)2(9461)2256.25， s甲16. 女生的平均
21、得分是 x 乙 1 18(51525589100)71. 女生的方差是 s2乙 1 18(5171) 2(5271)2(10071)2162.11， s乙13. (2)男生的数据从小到大的排序为： 35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85， 90，94. 女生的数据从小到大排序为： 51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100. 所以男、女生的四分位数分别为： 25%分位数 50%分位数 75%分位数 男生 49 57.5 71.5 女生 63 69.5 77 21
22、.(12 分)某公司计划购买 1 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几 个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数，得下面柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买 易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频
23、率不小于 0.5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此 作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解 (1)当 x19 时，y3 800； 当 x19 时，y3 800500(x19)500 x5 700. 所以 y 与 x 的函数解析式为 y 3 800，x19， 500 x5 700，x19(xN). (2)由柱状图知， 需更换的零件数不大于18的频率为0.46， 不大于19的频率为0.7， 故 n 的最小
24、值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购 买易损零件上的费用为 3 800，20 台的费用为 4 300，10 台的费用为 4 800，因此 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 800704 300204 80010)4 000， 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买 易损零件上的费用为 4 000，10 台的费用为 4 500，因此这 100 台机器在购买易损 零件上所需费用的平均数为 1 100(4 000904 50010)4 050. 比较
25、两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 22.(12分)某工厂有工人1 000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)， 另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层随机抽样方法(按 A 类， B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力(生产能 力指一天加工的零件数). (1)A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人？ (2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如表 1 和表 2. 表 1 生产能 力分组 100，110) 110，120) 120，130) 130，140) 140
26、，150 人数 4 8 x 5 3 表 2 生产能 力分组 110，120) 120，130) 130，140) 140，150 人数 6 y 36 18 先确定 x，y，再补全频率分布直方图(如图).就生产能力而言，A 类工人中个体 间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算， 可通过观察 直方图直接回答结论) 分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数， 并估计该工厂工人的生产能 力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). A 类工人生产能力的频率分布直方图 B 类工人生产能力的频率分布直方图 解 (1)A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25
27、名和 75 名. (2)由 48x5325，得 x5. 由 6y361875，得 y15. 频率分布直方图如图： A 类工人生产能力的频率分布直方图 B 类工人生产能力的频率分布直方图 从图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小. x A 4 25105 8 25115 5 25125 5 25135 3 25145123， x B 6 75115 15 75125 36 75135 18 75145133.8， x 25 100123 75 100133.8131.1. A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力 的平均数的估计值分别为 123，133.8 和 131.1.
