1、3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 第一课时第一课时 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 课标要求 素养要求 1.了解抛物线的简单几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的 抛物线问题. 通过研究抛物线的几何性质，提升数学 抽象及数学运算素养. 自主梳理 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 准线方程 xp 2 x
2、p 2 yp 2 yp 2 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e1 通径长 2p (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲 线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对 称轴垂直. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)抛物线没有渐近线.() (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为 p.() 提示 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为通径长，为 2p. (3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.() 提示 抛物线不是中心对称图形. (4)抛物线中，参数 p 值越大，抛物线开口越
3、开阔，反之开口越扁狭.() 2.已知抛物线 y22px(p0)，直线 xm 与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 y1y2( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 因为抛物线 y22px(p0)关于 x 轴对称，xm 与 x 轴垂直，故 y1y2， 即 y1y20. 3.过抛物线 y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若 x1x23p，则|PQ|等于( ) A.4p B.5p C.6p D.8p 答案 A 解析 因为 PQ 过焦点，所以|PQ|x1x2p4p. 4.抛物线 y2x 的焦点到准线的距离等于_. 答案
4、1 2 解析 在抛物线 y22py(p0)中，p 的几何意义为焦点到准线的距离. 题型一 抛物线的几何性质 【例 1】 已知双曲线方程是x 2 8 y2 91，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的 标准方程及抛物线的准线方程. 解 因为双曲线x 2 8 y2 91 的右顶点坐标为(2 2，0)，所以 p 22 2，且抛物线的焦 点在 x 轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为 y28 2x，其准线方程为 x 2 2. 思维升华 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物 线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线 的准线与对称轴的交点和焦点关于抛
5、物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距 离之间的转化，简化解题过程. 【训练 1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点 M(1， 2).求抛物线的标准方程和准线方程. 解 当抛物线的焦点在 x 轴上时， 设其标准方程为 y2mx(m0). 将点 M(1，2)代入，得 m4. 抛物线的标准方程为 y24x； 当抛物线的焦点在 y 轴上时， 设其标准方程为 x2ny(n0). 将点 M(1，2)代入，得 n1 2. 抛物线的标准方程为 x21 2y. 故所求的抛物线的标准方程为 y24x 或 x21 2y. 准线方程分别为 x
6、1 或 y1 8. 题型二 抛物线性质的应用 【例 2】 (1)已知正三角形 AOB 的一个顶点 O 位于坐标原点，另外两个顶点 A， B 在抛物线 y22px(p0)上，求这个三角形的边长. 解 如图所示，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y212px1，y222px2. 又|OA|OB|， 所以 x21y21x22y22， 即 x21x222px12px20， 整理得(x1x2)(x1x22p)0. 因为 x10，x20，2p0， 所以 x1x2，由此可得|y1|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称， 由此得AOx30 ， 所以 y1 3 3 x1，与 y212px1联立，
7、 解得 y12 3p. 所以|AB|2y14 3p， 即这个三角形的边长为 4 3p. (2)已知 A， B 是抛物线 y22px(p0)上两点， O 为坐标原点， 若|OA|OB|， 且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线 AB 的方程. 解 如图，设点 A(x0，y0)， 由题意可知点 B(x0，y0)， F p 2，0 是AOB 的垂心， AFOB，kAF kOB1， 即 y0 x0p 2 y0 x0 1. y20 x0 x0p 2 ， 又y202px0，x02pp 2 5p 2 . 直线 AB 的方程为 x5p 2 . 思维升华 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛
8、物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题. 【训练 2】 (1)(多选题)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 上，|MF|5，若 y 轴上存在点 A(0，2)，使得AM AF 0，则 p 的值可以为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线为 l， 点 A 是抛物线上一点， 且AFO120 (O 为坐标原点)，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是_. 答案 (1)AD (2)4 3 解析 (1)由题意可得，以 MF 为
9、直径的圆过点(0，2)， 设点 M(x，y)，由抛物线定义知|MF|xp 25， 可得 x5p 2. 因为圆心是 MF 的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为 5p 2 p 2 2 5 2， 由已知可知圆半径也为5 2， 据此可知该圆与 y 轴相切于点 A(0，2)， 故圆心纵坐标为 2， 则 M 点纵坐标为 4，即点 M 5p 2，4 ， 代入抛物线方程得 p210p160， 所以 p2 或 p8.故选 AD. (2)由抛物线方程可知 F(1，0)，准线 l 的方程为 x1.如图，设 A(x0，y0)，过 A 作 AHx 轴于 H，在 RtAFH 中，|FH|x01， 由AFO120 得AFH60 ， 故 y0|AH| 3(x01)， 所以点 A 的坐标为(x0， 3(x01)， 将此代入抛物线方程可得 3x2010 x030， 解得 x03 或 x01 3(舍)，所以点 A 的坐标为(3，2 3)， 故 SAKF1 2(31)2 34 3. 两种对应关系 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系 y2ax 一次项为 x 项，x 轴 为对称轴 a0 时，焦点在 x 轴正半轴上，开口向右 a0 时，焦点在 y 轴正半轴上，开口向上 a0 时，焦点在 y 轴负半轴上，开口向下
