1、3.1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第一课时第一课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 课标要求 素养要求 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用 椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽 象与数学运算素养. 自主梳理 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa，byb bxb，aya 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1
2、(b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长2b，长轴长2a 焦点 ( a2b2，0) (0， a2b2) 焦距 |F1F2|2a2b2 对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点 离心率 ec a(0，1) (1)椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在 性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等. (2)利用方程研究曲线对称性的方法如下： 若把曲线方程中的 x 换成x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； 若把曲线方程中的 y 换成y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称； 若同时把曲线方程中的 x 换成x，y 换成y，方程不变，则曲线关于
3、原点对 称. 2.离心率的作用 因为 ac0，所以 0eb0)的长轴长是 a.() 提示 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长是 2a. (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.() 提示 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越扁. (3)若椭圆的对称轴为坐标轴， 长轴长与短轴长分别为 10， 8， 则椭圆的方程为 x2 25 y2 161.() 提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一. (4)设 F 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最大值 为 ac(c 为椭圆的半焦距).() 2.椭圆 25x29y2225 的长轴长、短
4、轴长、离心率依次是( ) A.5，3，4 5 B.10，6，4 5 C.5，3，3 5 D.10，6，3 5 答案 B 解析 将椭圆方程化为标准方程为x 2 9 y2 251，焦点在 y 轴上，a5，b3，c a2b24，长轴长 10，短轴长 6，e4 5. 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1， 0)， 离心率等于1 2， 则C的方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4y 21 答案 C 解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于 x 轴上， 且 c1，ec a 1 2，即 a2，b 2a2c23， 因此椭圆的方程是x 2
5、 4 y2 31. 4.已知椭圆的长轴长为 8，离心率为1 4，则椭圆的标准方程为_. 答案 x2 16 y2 151 或 y2 16 x2 151 解析 由题意知，2a8，ec a 1 4，a4，c1，从而 b 2a2c215. 椭圆的标准方程为 x2 16 y2 151 或 y2 16 x2 151. 题型一 椭圆的简单几何性质 【例 1】 求椭圆 25x2y225 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 解 把已知方程化成标准方程为 y2 25x 21， 则 a5，b1.所以 c 2512 6， 因此，椭圆的长轴长 2a10，短轴长 2b2， 两个焦点分别是 F1(0，2 6)，F2(0，2
6、 6)， 椭圆的四个顶点分别是 A1(0，5)，A2(0，5)，B1(1，0)，B2(1，0). 思维升华 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判 断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，就可以得 到椭圆相应的几何性质. 【训练 1】 已知椭圆 C1： x2 100 y2 641，设椭圆 C2 与椭圆 C1的长轴长、短轴长 分别相等，且椭圆 C2的焦点在 y 轴上. (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质. 解 (1)由椭圆 C1： x2 100 y2 641，可知 a10，b8，c
7、 a 2b26，故其长半 轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标为(6，0)，(6，0)，离心率 e3 5. (2)椭圆 C2： y2 100 x2 641.性质如下： 范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称； 顶点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)；焦点：(0，6)， (0，6)；离心率：e3 5. 题型二 由椭圆的几何性质求方程 【例 2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为1 2，焦距为 8； (2)已知椭圆的离心率为 e2 3，短轴长为 8 5. 解 (1)由题意知
8、，2c8，c4，ec a 4 a 1 2， a8，从而 b2a2c248， 椭圆的标准方程是 y2 64 x2 481. (2)由 ec a 2 3得 c 2 3a， 又 2b8 5，a2b2c2，所以 a2144，b280， 所以椭圆的标准方程为 x2 144 y2 801 或 x2 80 y2 1441. 思维升华 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而 确定方程的形式； 若不能确定焦点所在的坐标轴， 则应进行讨论， 然后列方程(组) 确定 a，b，这就是我们常用的待定系数法. 【训练 2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(10，0)，则焦点 坐
9、标为( ) A.( 13，0) B.(0， 10) C.(0， 13) D.(0， 69) (2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍， 则该椭圆的标准方程是_. 答案 (1)D (2) x2 16 y2 41 解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上， 且 a13，b10，则 c a2b2 69，故选 D. (2)由已知，得焦点在 x 轴上，且 a2b， c2 3， a2b2c2， b 24， a216， 所求椭圆的标准方程为 x2 16 y2 41. 题型三 求椭圆的离心率 角度 1 求离心率 【例 31】 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b2
10、1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右 顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 6 6 |F1F2|，求椭圆 C 的离心率. 解 由题意知 A(a，0)，B(0，b)，从而直线 AB 的方程为x a y b1，即 bxayab 0，又|F1F2|2c， ab a2b2 6 3 c.(*) b2a2c2，(*)式可化简为 3a47a2c22c40， 解得 a22c2或 3a2c2(舍去)，e 2 2 . 角度 2 求离心率的取值范围 【例 32】 已知椭圆 x2 5a y2 4a211 的焦点在 x 轴上，求它的离心率 e 的最大 值. 解 椭圆 x2 5a
11、y2 4a211 的焦点在 x 轴上， 5a4a21，1 4a1， 椭圆的离心率 e 5a4a21 5a 11 5 4a1 a 11 52 4a 1 a 5 5 当且仅当4a1 a， 即a1 2时取等号 ， 椭圆的离心率的最大值为 5 5 . 思维升华 求椭圆离心率的方法： 直接求出 a 和 c，再求 ec a，也可利用 e 1b 2 a2求解. 若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然 后整理成c a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解. 【训练 3】 (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭 圆的
12、离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为_. 答案 (1)A (2) 2 2 ，1 解析 (1)如图，BF1F2是正三角形， 在 RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60 ， c acos 60 1 2， 即椭圆的离心率 e1 2，故选 A. (2)依题意可得 2c2b，即 cb. 所以 c2b2，从而 c2a2c2， 即 2c2a2，e2c 2 a2 1 2，所以 e 2 2 . 又因为 0e1， 所以椭圆离心率的取值范围是 2 2 ，1 . 1.一个步骤确定椭圆几何性质的基本步骤 (1
13、)化标准，把椭圆方程化成标准形式； (2)定位置，根据标准方程中 x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置； (3)求参数，写出 a，b 的值，并求出 c 的值； (4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质. 2.两种方法求椭圆离心率及范围的方法 (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 ec a求解.若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a 2 b2c2求出 c 或 a，再代入公式 ec a求解. (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除 以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.
