1、第第 4 节节 科学测量：用单摆测量重力加速度科学测量：用单摆测量重力加速度 【学习目标要求】 1.会设计用单摆测重力加速度的实验方案。 2.学会正确使用实 验器材获取数据，对数据进行分析后得出结论。3.会分析误差，用物理语言准确 描述实验结论。 一、实验目的 1.用单摆测量重力加速度。 2.会使用秒表测量时间。 3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 二、实验器材 长约 1 m 的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游 标卡尺。 三、实验原理与设计 单摆做简谐运动时，由周期公式 T2 l g，可得 g 42l T2 。因此，测出单摆摆长 和振动周期，便
2、可计算出当地的重力加速度。 四、实验步骤 1.做单摆 取约 1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线 的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以 外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2.测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长 l线，用游标卡尺测出小钢球直径 d，测量多次，取平均 值，则单摆的摆长 ll线d 2。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于 5 )，然后释放小球，待振动稳定后，从小 球经过平衡位置时开始用秒表计时， 记下单摆做 3050 次全振动的总时间， 算出 平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出
3、测得周 期数值的平均值。 4.改变摆长，重做几次实验。 五、数据处理 1.公式法 将测得的几次的周期 T 和摆长 l 的对应值分别代入公式 g4 2l T2 中算出重力加速度 g 的值，再算出 g 的平均值，即为当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式 T2 l g可得 T 24 2 g l，因此以 T2为纵轴、以 l 为横轴作出 的 T2l 图像是一条过原点的直线， 如图所示， 求出斜率 k， 即可求出 g 值。 kT 2 l ， g4 2 k 。 六、误差分析 1.系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看做质 点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥
4、摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪 段长度作为摆长等。 2.偶然误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过 平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即 4，3，2，1，0，1，2，在 数“零”，的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然 误差，应进行多次测量后取平均值。 七、注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在 1 m 左右，小球应选用 密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发 生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时
5、控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过 5 。可通过估算振幅的办法掌 握。 4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可 在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进 行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。 探究探究 1 科学科学探究之实验设计探究之实验设计 【例 1】 (2021 四川雅安期末)某研究性学习小组在进行“用单摆测量重力加速 度”的实验中(实验装置如图甲所示)， 已知单摆在摆动过程中的最大偏角小于 5 ， 在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数
6、为 1，到第 n 次经过 最低点所用的时间为 t，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后 的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为 L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为 d(读 数如图乙所示) (1)从乙图可知，摆球的直径为 d_mm。 (2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的表达式 g_。 (3)实验结束后，同学们在讨论如何能够提高测量结果的精确度时，提出了以下建 议，其中可行的是_。 A.尽可能选择细、轻且不易伸长的线作为摆线 B.当单摆经过最高位置时开始计时 C.质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 D.测量多组周期 T 和摆长 l，作 T2l 关系图像来处理数据 答案 (1)
7、10.682 (2) 2（n1）2 Ld 2 t2 (3)AD 解析 (1)螺旋测微器的主尺读数为 10.5 mm，可动刻度读数为 18.20.01 mm 0.182 mm，则最终读数为 10.682 mm。 (2)由题，从单摆运动到最低点开始计时且记数为 1，到第 n 次经过最低点所用的 时间内为 t，则单摆全振动的次数为 Nn1 2 ，周期为 T t N 2t n1，单摆的长度 为 lLd 2，由单摆的周期公式 T2 l g得 g 2（n1）2 Ld 2 t2 。 (3)公式中，重力加速度的测量值与摆长有关，所以要尽可能选择细、轻且不易伸 长的线作为摆线， A 正确； 为了减小误差， 需要
8、当单摆经过平衡位置时开始计时， B 错误；为了减小误差，质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，C 错 误；应用图像法处理实验数据可以减小实验误差，测量多组周期 T 和摆长 l，作 T2l 关系图像来处理数据，D 正确。 【针对训练】 (2021 辽宁沈阳铁路实验中学月考)将一单摆装置竖直悬挂于某一 深度为 h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图(甲)所示，将 悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒 壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心间的距离 L， 并通过改变 L 而测出对应的摆动周期 T，再以 T2为纵轴、L 为
9、横轴做出函数关系 图像，就可以通过此图像得出小筒的深度 h 和当地重力加速度 g。 (1)现有如下测量工具： A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺。 本实验所需的测量工具有_； (2)如果实验中所得到的 T2L 关系图像如图(乙)所示， 那么真正的图像应该是 a、 b、c 中的_； (3)由图像可知，小筒的深度 h_m；当地 g_m/s2。 答案 (1)BD (2)a (3)0.3 9.86 解析 (1)根据单摆的周期公式可得 T2 Lh g ，解得 T24 2 g L4 2h g 。 实验所需的测量工具有秒表和毫米刻度尺。 (2)根据函数关系可知，真正的图像应该是 a。 (3)由图像
10、可知4 2 g 1.2 0.34， 42h g 1.2，解得 g9.86 m/s2，h0.3 m。 探究探究 2 科学探究之数据处理科学探究之数据处理 【例 2】 某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中， (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为 _ cm。 (2)测得摆线长为 89.2 cm，然后用秒表记录了单摆振动 30 次全振动所用的时间如 图乙中秒表所示， 则： 该单摆的摆长为_ cm， 秒表所示读数为_ s。 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长 l，测出相应的周期 T，从而得出 一组对应的 l 与 T 的数值，再以 l 为横坐标，T2为
11、纵坐标，将所得数据连成直线 如图丙所示，则测得的重力加速度 g_ m/s2。( 取 3.14，计算结果保留 3 位有效数字) 答案 (1)0.97 (2)89.685 57.0 (3)9.86 解析 (1)主尺示数为 9 mm，游标尺示数为 0.1 mm70.7 mm，故小球的直径 为 9.7 mm，即 0.97 cm。 (2)单摆摆长为绳长加小球半径，因此摆长为(89.20.485)cm89.685 cm；秒表不 需要估读，由图可知示数为 57.0 s。 (3)由单摆周期公式可得 T24 2 g l，斜率为4 2 g 4，解得 g9.86 m/s2。 探究探究 3 科学探究之实验创新科学探究
12、之实验创新 【例 3】 甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 (1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。 为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应 该选用_。(用器材前的字母表示) a.长度接近 1 m 的细绳 b.长度为 30 cm 左右的细绳 c.直径为 1.8 cm 的塑料球 d.直径为 1.8 cm 的铁球 e.最小刻度为 1 cm 的米尺 f.最小刻度为 1 mm 的米尺 该组同学先测出悬点到小球球心的距离 l，然后用秒表测出单摆完成 n 次全振 动所用的时间 t。请写出重力加速度的表达式 g_。(用所测物理量表示) (2)乙组同学在图甲所示装置的基
13、础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆 球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间 变化的关系，如图丙所示的 vt 图线。 由图丙可知，该单摆的周期 T_s。 更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出 T2l(周期二次 方摆线长)图像，并根据图像拟合得到方程 T24.04l0.035。由此可以得出当 地的重力加速度 g_m/s2。(取 29.86，结果保留 3 位有效数字) 答案 (1)adf 4 2n2l t2 (2)2.0 9.76 解析 (1)根据 T2 l g得 g 42l T2 ， 则可知要准确地测量出当地的重力加速度 需要测量摆长，摆长
14、等于摆线的长度和摆球的半径之和，所以选择长度近 1 m 的 细绳，直径为 1.8 cm 的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为 1 mm 的米 尺，故选 a、d、f。 因为 T t n，则 g 42n2l t2 。 (2)根据单摆振动的 vt 图像知，单摆的周期 T2.0 s。 根据 T2 l g得 T 24 2l g ， 图线的斜率 k4 2 g 4.04， 解得 g9.76 m/s2。 1.(2021 浙江宁波咸祥中学期中)某同学在用单摆测定重力加速度时，由于摆球质 量分布不均匀，无法确定其重心位置，他第一次取悬线长为 L1，测得单摆振动周 期为 T1；第二次取悬线长为 L2，测得单摆
15、振动周期为 T2。由此可计算重力加速度 g 为( ) A.4 2（L1L2） T21T22 B.4 2（L1L2） T21T22 C.4 2（L1L2） T21T22 D.4 2 L1L2 T1T2 答案 B 解析 设摆球的重心到线与球结点的距离为 r， 根据单摆周期的公式 T2 l g得 T12 L1r g ，T22 L2r g 联立以上两式解得 g4 2（L1L2） T21T22 ，B 正确，A、C、D 错误。 2.(2021 湖北十堰期末)在“用单摆测定重力加速度的实验中” (1)用游标卡尺测量摆球直径的情况如图甲所示，读出摆球直径为_cm； (2)测单摆周期时，当摆球经过_时开始计时并
16、计 1 次，测出经过该位置 N 次所用时间为 t，则单摆周期为_； (3)若测量出多组周期 T、摆长 l 数值后，画出 T2l 图像如图乙所示，则此图线的 斜率的物理意义是_。 答案 (1)2.07 (2)最低点 2t N1 (3) 42 g 解析 (1)由图甲所示可知， 摆球直径为 20 mm70.1 mm20.7 mm2.07 cm。 (2)选最低点时开始计时，是因为单摆经过最低点时速度最快，相对来说引起的时 间误差会很小，这样测量单摆周期更精确。测单摆周期时，当摆球经过最低点时 开始计时并计 1 次，测出经过该位置 N 次所用时间为 t，则单摆周期 T t N1 2 2t N1。 (3)
17、由单摆周期公式 T2 l g可知 T 24 2 g l 则 T2l 图像斜率的物理意义 k4 2 g 。 3.(2021 广西临桂两江中学高二月考)有两组同学利用假期分别去参观北京大学和 南京大学的物理实验室， 各自利用先进的DIS系统用单摆测量当地重力加速度g。 (1)关于实验的操作或者误差的分析，下列说法正确的是_。 A.让摆线长适当大些，并从平衡位置开始计时有助于减小实验误差 B.操作中提前按下秒表，但准确结束计时，将会导致实验结果偏大 C.若实验者在计算摆长时忘记加上球的半径，则实验结果一定会偏小 D.若实验中不小心让摆球在水平面内做圆锥摆运动而实验者没有发现，将会导致 实验结果偏大
18、(2)在南京大学做探究的同学利用计算机绘制了当地两个单摆的振动图像(如图)， 由图可知，两单摆摆长之比la lb_； (3)若去北大的那组同学是这样操作的：当小球经过平衡位置时按下秒表开始计时， 并计数“1”，当第 n 次经过平衡位置时结束计时，所用时间为 t，摆长为 l，则计算 当地重力加速度 g 的表达式为 g_(用所给物理量表示) 答案 (1)AD (2)94 (3)（n1） 2 t2 2l 解析 (1)让摆线长适当大些，并从平衡位置开始计时有助于减小实验误差，A 正 确；操作中提前按下秒表，但准确结束计时，造成周期测量值偏大，根据重力加 速度测量公式 g4 2 T2 l 可知将会导致重
19、力加速度测量值偏小，B 错误；若实验者在计算摆长时忘 记加上球的半径， 如果通过 T2l 图像的斜率计算重力加速度， 则实验结果准确， C 错误；若实验中不小心让摆球在水平面内做圆锥摆运动而实验者没有发现，根 据圆锥摆的受力可知 Tcos mg，Tsin m(2 T )2lsin 整理得 g4 2 T2 lcos ，相当于摆长变为 lcos ，但实验者还按 l 计算，相当于摆长 测量值偏大，从而将会导致实验结果偏大，D 正确。 (2)由图可知振动周期之比Ta Tb 3 2 根据单摆振动周期公式 T2 l g可得 la lb T2a T2b 9 4。 (3)根据该同学记录，可得振动周期 T 2t
20、 n1 代入公式可得 g（n1） 2 t2 2l。 4.(2021 阜新市第二高级中学月考)在“用单摆测定重力加速度”的实验中： (1)需要记录的数据有：小钢球的直径 d、_、_和周期 T； (2)用标准游标卡尺测小钢球的直径如图甲所示，则直径 d 为_mm； 甲 (3)如图乙所示，某同学由测量数据作出 lT2图线，根据图线求出重力加速度 g _m/s2(已知 29.86，结果保留 3 位有效数字)。 乙 答案 (1)摆线长 l线 30 次全振动的总时间 t (2)18.6 (3)9.66 解析 (1)根据单摆的周期公式 T2 l g知要测重力加速度，需要测量小钢球的 直径 d、摆线长 l线从
21、而得到单摆的摆长 l；还要测量 30 次全振动的总时间 t 从而 得到单摆的周期 T。 (2)游标卡尺的主尺读数为 18 mm，游标尺上第 6 个刻度和主尺上某一刻度对齐， 所以游标尺读数为 60.1 mm0.6 mm 所以最终读数为 18 mm0.6 mm18.6 mm。 (3)根据单摆的周期公式 T2 l g得 l g 42T 2 再根据 lT2图像的斜率为 k1.20.6 52.550.245 即 g 420.245 得 g9.66 m/s2。 5.(2021 武汉外国语高二检测)甲同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但 没有合适的摆球，他找到了一个儿童玩具弹性小球，其直径大小为 2
22、 cm，代替实 验如图甲所示小球，他设计的实验步骤如下： A.将弹性球用长细线系好，结点为 A，将线的上端固定于 O 点 B.用刻度尺测量 OA 间线的长度 L 作为摆长 C.将弹性球拉开一个大约 30 的角度，然后由静止释放 D.从弹性球摆到最高点时开始计时，测出 50 次全振动的总时间 t，由 T t 50得出 周期 T E.改变 OA 间线的长度再做几次实验，记下每次相应的 L 和 T 值 F.求出多次实验中测得的 L 和 T 的平均值，作为计算时使用的数据，代入公式 g (2 T )2L，求出重力加速度 g。 (1)该中学生以上实验中出现重大错误的步骤是_。 (2)该中学生用 OA 的
23、长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量 值比真实值_(选填“偏大”或“偏小”)。 (3)另一位乙同学在完成该实验时，通过改变摆线的长度，测得 6 组和摆线长度对 应的周期 T， 画出 LT2图线， 然后在图线上选取 A、 B 两个点， 坐标如图乙所示。 他 采 用 恰 当 的 数 据 处 理 方 法 ， 则 计 算 重 力 加 速 度 的 表 达 式 应 为 g _，请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球 心处的情况相比，将_(选填“偏大”“偏小”或“相同”)。造成图线不 过坐标原点的原因是_(选填“多加球半径”或“漏加球半 径”)。 答案 (1)B、C、D、F (2)偏小
24、 (3)4 2（LBLA） T2BT2A 相同 多加球半径 解析 (1)B(摆长应从悬点到弹性球的质心)、C(摆角太大，不能看做简谐运动)、 D(测量时间应从单摆摆到最低点开始)、F(必须先分别求各组 L 和 T 值对应的 g， 再取所求得的各个 g 的平均值)。 (2)由 g4 2l T2 可知，摆长偏小，所以测得的重力加速度偏小。 (3)设两次实验中摆线长分别为 LA、LB，对应的周期分别为 TA、TB，弹性球的半 径为 R，由 TA2 LAR g ，TB2 LBR g ，解得 g4 2（LBLA） T2BT2A ；由计算 结果可知，该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比相同；由图 线可知，造成图形不过坐标原点的原因是多加球半径。
