1、86 双曲线双曲线 【教材梳理】 1双曲线的定义 (1) 定 义 ： 平 面 内 与 两 个 定 点 F1， F2的 距 离 的 差 的 _ 等 于 常 数 2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点 间的距离叫做双曲线的_ (2)另一种定义： 平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e1) 的轨迹叫做双曲线定点 F 叫做双曲线的一个焦点，定直线 l 叫做双曲线的一条准线，常数 e 叫 做双曲线的_ (3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_“离心率 e 2”是“双曲线为等 轴双曲线”的_条件，且等轴双曲线两条渐近线互相_一般可设其 方程为 x
2、2y2(0) 2双曲线的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 (1)图形 (2)标准 方程 y2 a2 x2 b21(a0，b0) (3)范围 xa 或 xa ya 或 ya (4)中心 原点 O(0，0) (5)顶点 A1(a，0)，A2(a，0) (6)对称轴 x 轴，y 轴 (7)焦点 F1(0，c)，F2(0，c) (8)焦距 2c2 a2b2 (9)离心率 (10)渐近线 方程 y a bx 【常用结论】 3与双曲线定义及标准方程相关结论 (1)已知双曲线的标准方程， 只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程， 即方程x 2 a2 y2 b20
3、 就是双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线方程 (2)求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相 类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 Ax2By21 的形式，当 A0，B0，AB 时 为椭圆，当 A B0 时为双曲线 (3)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲 线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点 (4)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为 x2 a2 y2 b2(0) 4与双曲线几何性质相关结论 (1)离心率
4、ec a 1 b a 2 (2)焦点到渐近线的距离为 b (3)通径长为2b 2 a (4)P为双曲线上一点， 则|OP|a， |PF1|ca， PF1F2的面积为Sb2 sin 1cos b2 tan 2 (F1PF2) 【自查自纠】 1(1)绝对值 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直 2(2)x 2 a2 y2 b21(a0，b0) (5)A1(0，a)，A2(0，a) (7)F1(c，0)，F2(c，0) (9)ec a(e1) (10)y b a 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点
5、的轨迹是双曲线 ( ) (2)平面内到点 F1(0，2)，F2(0，2)的距离之差的绝对值等于 4 的点的轨迹是双曲线 ( ) (3)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 ( ) (5)设 P 是双曲线 x2 16 y2 201 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于 1 或 17 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2019浙江卷)渐近线方程为 x y0 的双曲线的离心率是( ) A 2 2 B1 C 2 D2 解：由题意知 ab，则 ec
6、 a a2a2 a 2故选 C 已知双曲线 x2 a3 y2 2a1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 a 等于 ( ) A3 2 B5 C7 D1 2 解：根据题意可知，双曲线的标准方程为 y2 2a x2 3a1 由其焦距为 4，得 c2，则有 c22a3a4，解得 a1 2故选 D (2020天津卷)设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过抛物线 y 24x 的焦点和点(0，b)的直线为 l若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂 直，则双曲线 C 的方程为( ) Ax 2 4 y 2 4 1 Bx2y 2 4 1 Cx 2 4 y21 Dx2
7、y21 解：由题可知，抛物线的焦点为(1，0)，所以直线 l 的方程为 xy b1，即直线的斜 率为b，又双曲线的渐近线的方程为 y b ax，所以 bb a， （b） b a1， 因为 a0，b0， 解得 a1， b1故选 D 已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率 e2，且它的一个顶点 到相应焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为_ 解：由题意得 ca1， c a2， 解得 a1， c2， 则 b 3，故所求方程为 x2y 2 3 1故填 x2y 2 3 1 考点一考点一 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程 (1)(20192020 学年陕西汉中市高三
8、上第五次质检)若双曲线 E： x2 9 y2 161 的左、 右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|7，则|PF2|等于( ) A1 B13 C1 或 13 D15 解：由题意得 a3，c5，|PF1|PF2|6，而|PF1|7，解得|PF2| 13 或 1 而|PF2|ca2，所以|PF2|13故选 B (2)经过点 A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 线方程为_ 解：设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a2 1(a0)， 把点 A(4，1)代入，得 a215(负值舍)， 故所求方程为 x2 15 y2 151故填 x2 15 y2 151 (3)(201
9、9哈尔滨调研)已知双曲线 C 的右焦点 F 与抛物线 y28x 的焦点相同， 若 以点 F 为圆心， 2为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程 为 ( ) Ay 2 3 x21 Bx 2 3 y21 Cy 2 2 x 2 2 1 Dx 2 2 y 2 2 1 解：设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，而抛物线 y 28x 的焦点为(2，0)， 即 F(2，0)，所以 4a2b2又圆 F：(x2)2y22 与双曲线 C 的渐近线 y b ax 相切， 由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为 2b b2a2 2， 所以a 2b22， 故双曲
10、线 C 的方程为x 2 2 y 2 2 1故选 D (4)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_ 解：如图所示， 设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B 根据两圆外切的条件， 有|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1、C2的距离的差是常数且小于 |C1C2|6 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支， 其中 a1，c3，则 b28 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 故填 x2y 2 8 1(x1) 【点拨】 双曲线定义
11、的应用主要有两个方面： 一是判定平面内动点的轨 迹是否为双曲线，进而求出双曲线方程；二是在“焦点三角形”中常利用正弦 定理、 余弦定理， 经常结合|PF1|PF2|2a， 运用平方的方法， 建立与|PF1| |PF2| 的联系求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确 定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为 Ax2By21(AB0)，这 样可以简化运算 (1)已知双曲线x 2 2 y21，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为 双曲线上一点，若 PF1PF2，则F1PF2的面积是 ( ) A4 B2 C1 D1 2 解：由双曲线x 2 2 y21，可知 a 2，c a2
12、b2 3， 所 以 |PF1| |PF2| 2a 22 ， 两 边 平 方 可 得 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|8， 因为 PF1PF2，则由勾股定理得|PF1|2|PF2|24c212，因此可得 |PF1|PF2|2， 所以 SPF1F21 2|PF1|PF2|1故选 C (2)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y 1 2x，则该双曲线的 标准方程为_ 解：由双曲线的渐近线方程为 y 1 2x，可设该双曲线的标准方程为 x2 4 y2(0)， 已知该双曲线过点(4， 3)，所以4 2 4 ( 3)2，即 1，故所求双曲线的标准方程为x 2 4 y21故填x 2
13、4 y21 (3)已知双曲线 C1与双曲线 C2的焦点重合，C1的方程为x 2 3 y21，若 C2 的一条渐近线的倾斜角是 C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C2的方程为 _ 解：由题意得 C1的焦点为( 2，0)，所以双曲线 C2的焦点为( 2，0)，即 c2 而 C1的一条渐近线为 y 3 3 x，其斜率 ktan 3 3 ， 即 C1的一条渐近线的倾斜角 6， 所以 C2的一条渐近线的倾斜角为 2 3，其斜率 ktan2 3，即 C2 的一条渐近 线为 y 3xb ax，即 b a 3 又 a2b2c24，所以 a1，b 3， 所以 C2的方程为 x2y 2 3 1故填 x2y
14、2 3 1 (4)已知点 M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆 C 与直线 MN 相切于点 B，分别过点 M，N 且与圆 C 相切的两条直线相交于点 P，则点 P 的轨迹方程为 ( ) Ax2 y2 101(x0) Bx 2y 2 8 1(x1) Cx2y 2 8 1(x0) Dx2 y2 101(x1) 解：如图所示， 设两切线分别与圆相切于点 S，T， 则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN| 2(定值)，且 20)，经过点(3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是_ 解：由已知得 324 2 b21，解得 b 2或 b 2，因为 b0，所以 b
15、 2因 为 a1，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x故填 y 2x (2)(2019届内蒙古呼伦贝尔高三模拟)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2c，焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 3 2 c，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 3x By 2x Cy x Dy 2x 解：由双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点(c，0)到渐近线 bxay0 的距离为 3 2 c，得 bc a2b2 3 2 c，可得b c 3 2 ，则b a 3，则 C 的渐近线方程为 y 3x 故选 A 【点拨】 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)或 y
16、2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方 程的方法是：令右边的常数等于 0， 即令x 2 a2 y2 b20，得 y b ax，或令 y2 a2 x2 b20， 得 y a bx 反之， 已知渐近线方程为 y b ax， 可设双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(a0， b0，0) (1)(2020届东北师大附中高三第五次模拟)已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) Axy0 Bx 3y0 C 3xy0 D2xy0 解：因为双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 所以双曲线的渐近线方程为 y b ax，
17、 又因为双曲线的离心率为 2，所以 c2a， 可得 b c2a2 3a， 因此，双曲线的渐近线方程为 3xy0故选 C (2)(2019届辽宁沈阳省示范协作校高三一模)设 F1和 F2为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的两个焦点，若 F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程 是( ) Ay 3 3 x By 3x Cy 21 7 x Dy 21 3 x 解： 由题设可知 c24b22c4b23c2， 即 b23a2b a 3 故 选 B 命题角度 2 离心率 (1)(2020全国卷)已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右
18、焦点，A 为 C 的 右顶点， B 为 C 上的点， 且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3， 则 C 的离心率为_ 解：联立 xc， x2 a2 y2 b21， a2b2c2， 解得 xc， y b2 a ，所以|BF| b2 a 依题可得，|BF| |AF|3，又|AF|ca，则 b2 a ca c2a2 a（ca）3，变形得 ca3a，c 2a， 因此，双曲线 C 的离心率为 ec a2故填 2 (2)(2019全国卷)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ，
19、F1B F2B 0，则 C 的离心 率为_ 解：如图，由F1A AB ，得|F1A|AB|又|OF1|OF2|，得 OA 是 F1F2B 的中位线，即 BF2OA由F1B F2B 0，得 F1BF2B，所以 OAF1A，所以|OB|OF1|，AOBAOF1， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得BOF2AOF1， 又BOF2AOBAOF1180，所以BOF2AOF1 BOA60， 又渐近线 OB 的斜率为b atan60 3，所以该双曲线的离心率 e c a 1 b a 2 1（ 3）22故填 2 (3)经过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，倾斜角为 60的直线与双曲线的右
20、支 有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A2，) B(1，2) C(1，2 D(2，) 解： 由题意知， 已知直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， 所以 b a 3， 离心率 e2c 2 a2 a2b2 a2 4，所以 e2故选 A 【点拨】 求双曲线离心率或其范围的常用方法： 求 a 及 b 或 c 的值， 由 ec 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2求 e；列出含有 a，b，c 的齐次式(或不等式)， 借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 (1)(2020江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 a2 y2
21、 5 1(a0) 的一条渐近线方程为 y 5 2 x，则该双曲线的离心率是_ 解：由于双曲线的一条渐近线方程为 y 5 2 x，即b a 5 2 ，所以双曲线的 离心率为c a 1 b a 2 3 2故填 3 2 (2)(2019届山东省高三5月校级联考)在矩形 ABCD 中，AB2AD，以 A，B 为 焦点的双曲线经过 C， D 两点， 则此双曲线的离心率为 ( ) A3 5 2 B3 5 2 C1 5 2 D1 5 2 解： 以 AB 所在直线为 x 轴， 线段 AB 的中垂线为 y 轴， 可设双曲线方程为x 2 a2 y2 c2a2 1(ca0)，由题意双曲线过点(c，c)，代入得c 2
22、 a2 c2 c2a21e 2 e2 e211，e 23 5 2 ， 又 e1，所以 e23 5 2 ，故 e1 5 2 另解：设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，依题意有 2b2 a 2c，即 b2ac，即 c2 a2ace2e10，解得 e1 5 2 故选 C (3)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，若在右 支上存在点 A 使得点 F2到直线 AF1的距离为 2a，则离心率 e 的取值范围 是_ 解：设直线 AF1的方程为 yk(xc)，则由题意可得|k|b a，所以 2a |2kc| 1k2 |k|a b b aabe 2故
23、填( 2， ) 考点三考点三 双曲线的综合问题双曲线的综合问题 (2021新高考八省模拟演练)双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 C 上当 BFAF 时，|AF|BF| (1)求 C 的离心率； (2)若 B 在第一象限，证明：BFA2BAF 解：(1)设双曲线的离心率为 e，半焦距为 c，则 F(c，0)，由 BFAF 知，B c，b 2 a ， 因为|AF|BF|，A(a，0)，故b 2 a ac，c2ac2a20，即 e2e20，解得 e2 (2)证明：当 BFAF 时，BAF45，BFA90，显然BFA2BAF； 当 BF 与
24、 AF 不垂直时，设 B(x0，y0)，其中 x0a，y00 因为 e2，故 c2a，b 3a， 故渐近线方程为 y 3x，所以BAF 0， 3 ，BFA 0，2 3 ， 又 tanBFA y0 x0c y0 x02a，tanBAF y0 x0a， 所 以tan2 BAF 2y0 x0a 1 y0 x0a 2 2y0（x0a） （x0a）2y2 0 2y0（x0a） （x0a）2b2 x2 0 a21 2y0（x0a） （x0a）23a2 x2 0 a21 2y0（x0a） （x0a）23（x2 0a 2） 2y0 （x0a）3（x0a） y0 x02a tanBFA， 因为 2BAF 0，2
25、 3 ，BFA 0，2 3 ， 故BFA2BAF 【点拨】 双曲线的综合问题难度一般不大， 此例体现了新高考 “四翼” 中 “综 合性”的要求，这类问题常与其他知识综合在一起考查，如三角函数、向量等， 要求灵活应用相关知识解题 已知双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0， 且顶点到渐近线的距离为2 5 5 (1)求此双曲线的方程； (2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第 一、二象限，若AP PB ，求AOB 的面积 解：(1)依题意得 a b2， |20a| 5 2 5 5 ， 解得 a2， b1， 故双曲线的方程为y 2 4 x21 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y2x， 设 A(m，2m)，B(n，2n)，其中 m0，n0， 由AP PB 得点 P 的坐标为(mn 2 ，mn) 将点 P 的坐标代入y 2 4 x21，整理得 mn1设AOB2，因为 tan( 2)2， 则 tan1 2，从而 sin2 4 5又|OA| 5m，|OB| 5n， 所以 SAOB1 2|OA|OB|sin22mn2
