1、87 抛物线抛物线 【教材梳理】 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F_)距离相等的点的轨 迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的 _ 2抛物线的标准方程及几何性质 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图形 焦点 p 2，0 0，p 2 准线 xp 2 yp 2 范围 x0，yR y0，xR 对称 轴 y 轴 顶点 原点 O(0，0) 离心 率 性 质 开口 向左 向上 【常用结论】 3抛物线焦点弦的性质 直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A(x1，y1)，B(
2、x2，y2)两点，则有： (1)通径的长为 2p； (2)焦点弦长公式：|AB x1x2p； (3)x1x2p 2 4 ，y1y2p2； (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 (5)若 为弦 AB 的倾斜角，则|AF| p 1cos，|BF| p 1cos；|AB| 2p sin2； 1 |AF| 1 |BF| 2 p；以 AF 或 BF 为 直径的圆与 y 轴相切 4抛物线中的最值 P 为抛物线 y22px(p0)上的任一点，F 为焦点，则有：| PF p 2；焦点弦 AB 以通径(2p)为最小值；A(m， n)为一定点，则| PA |PF 有最小值 5抛物线的焦半径 抛物线上的点 P
3、(x0，y0)与焦点 F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦 半径)记作 r|PF (1)y22px(p0)，rx0p 2； (2)y22px(p0)，rx0p 2； (3)x22py(p0)，ry0p 2； (4)x22py(p0)，ry0p 2 【自查自纠】 1l 焦点 准线 2 p 2，0 0，p 2 xp 2 y p 2 x0，yR y0，xR x 轴 e1 向右 向下 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (3)方程 yax
4、2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0 ，准线方 程是 xa 4 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2，0 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA OB 3 4p 2 ( ) (5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p ( ) A2 B3 C6 D9 解：设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|AF|xA
5、p 212， 即 129p 2，解得 p6故选 C 已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物 线 C 的方程是 ( ) Ay2 2 2x By2 2x Cy2 4x Dy2 4 2x 解：由已知可知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0) 设抛物线 C 的方程为 y2 2px(p0)，则p 2 2， 所以 p2 2，所以抛物线 C 的方程为 y2 4 2x故选 D 若抛物线 y24x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离 与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A2 B13 5 C14 5 D3 解： 由抛物线定义可
6、知， 点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 由抛物线 y24x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离， 所以点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点 F(1， 0)到直线 3x4y70 的距离，即 |37| 32422故选 A 抛物线 y22x 上的两点 A，B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_ 解：抛物线 y22x 的焦点为 F(1 2，0)，准线方程为 x 1 2，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)， 则|AF|BF|x11 2x2 1 25， 解得 x1x24， 故线段AB的中点
7、横坐标为 2 故 线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2故填 2 考点一考点一 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程 (1)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点， 若 B(3， 2)， 则|PB| |PF|的最小值为_ 解： 如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q， 交抛物线于点 P1， 则|P1Q|P1F|则 有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为 4故填 4 (2)【多选题】(2020年黄石一中高二下期末)经过点 P(4，2)的抛物线的 标准方程为 ( ) Ay2x Bx28y Cx28y Dy28x 解：若抛物线的焦
8、点在 x 轴上，设抛物线的方程为 y22px(p0)，又因为抛物线 经过点 P(4，2)，所以(2)22p4，解得 p1 2，所以抛物线的方程为 y 2x若抛 物线的焦点在 y 轴上，设抛物线的方程为 x22py(p0)，又因为抛物线经过点 P(4， 2)，所以 422p(2)，解得 p4，所以抛物线的方程为 x28y故选 AC (3)若点 A，B 在抛物线 y22px(p0)上，O 是坐标原点，正OAB 的面积为 4 3，则该抛物 线的方程是( ) Ay22 3 3 x By2 3x Cy22 3x Dy2 3 3 x 解：根据对称性，可知 ABx 轴，由于正OAB 的面积是 4 3，故 3
9、 4 |AB|2 4 3，故|AB|4，正OAB 的高为 2 3，故可设点 A 的坐标为(2 3，2)，代入抛物 线方程得 44 3p，解得 p 3 3 ，故所求抛物线的方程为 y22 3 3 x故选 A 【点拨】 与抛物线有关的最值问题， 一般情况下都与抛物线的定义有关由 于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看 到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途 径另外，抛物线切线相关问题，注意应用导数工具，可避免联立或减少运算量， 使问题简单化求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦 点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提
10、下，由于标准方程只有一个参 数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 (1)设 P 为抛物线 y28x 上的动点， P 在 y 轴的投影为点 M， 点 A(4， 6)，则|PA|PM|的最小值是 解：由题得焦点 F(2，0)，准线 x2，延长 PM 交准线于 H 点，则有|PF| |PH|，所以|PM|PH|2|PF|2，所以|PM|PA|PF|PA|2，即求出 |PF|PA|的最小值即可已知点 A 在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边 可知|PF|PA|FA|， 当点 P 是线段 FA 和抛物线的交点时， |PF|PA|可取得最 小值为|FA|，由两点之间距离公式计算求得|FA|2
11、10，则|PA|PM|的最小值 是 2 102故填 2 102 (2)(2019届四川乐山高三三调)已知抛物线 y2ax 上的点 M(1，m)到其焦 点的距离为 2，则该抛物线的标准方程为( ) Ay24x By22x Cy25x Dy23x 解：抛物线 y2ax 的准线方程 xa 4， 因为抛物线 y2ax 上的点 M(1，m)到其焦点的距离为 2， 所以 1a 42，所以 a4， 即该抛物线的标准方程为 y24x故选 A (3)已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2若抛物线 C2：x 2 2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C
12、2的方程为 ( ) Ax28 3 3 y Bx216 3 3 y Cx28y Dx216y 解：由 e21b 2 a24 得 b a 3，则双曲线的渐近线方程为 y 3x，即 3x y0， 抛物线 C2的焦点坐标为(0，p 2)，则有 p 2 22，解得 p8， 故抛物线 C2的方程为 x216y故选 D 考点二考点二 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 (1)(2019届江西新八校高三二联)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交 抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|4|BF|，且|AF|6，则 p( ) A9 4 B 9 2 C9 D18 解：设准线与 x 轴
13、交于点 P，分别作 AM，BH 垂直于准线，垂足分别为 M，H 由抛物线定义知|AM|AF|，|BF|BH|又|BC|4|BF|，则|BC| |BH| |AC| |AM|4，又|AM|AF|6，所 以|AC|24，则|CF|AC|AF|18，又|AC| |CF| |AM| |PF| ，即24 18 6 p，所以 p 9 2故选 B (2)【多选题】(2021届广东高三上调研)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准 线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点若ABD 90，且ABF 的面积为 9 3，则 ( ) A|BF|3 BABF 是等
14、边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 解：根据题意，作出图形如图所示 因为|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，所以|FA|FB|，又|FA|AB|，所以ABF 为等 边三角形，B 正确； 因为ABD90， ABx 轴， 所以BFO60， 所以|BF|2p， SABF 3 4 |BF|2 3 4 4p29 3，解得 p3，所以|BF|6，所以 A 不正确； 焦点到准线的距离为 p3，所以 C 正确； 抛物线的方程为 y26x，所以 D 正确故选 BCD (3)(2020山东省高三三模)已知抛物线 C：y24x 与圆 E：(x1)2y29 相交于 A，B
15、 两点，点 M 为劣弧AB 上不同于 A，B 的一个动点，平行于 x 轴 的直线 MN 交抛物线于点 N，则MNE 的周长的取值范围为 ( ) A(3，5) B(5，7) C(6，8) D(6，8 解：如图所示，圆 E 的圆心为(1，0)，半径为 3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为 x1 由 y24x， （x1）2y29解得 A(2，2 2)，B(2，2 2)，所以 2x M0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知 y1y2p8， 又 AB 的中点到 x 轴的距离为 3， 所以 y1y26，所以 p2， 所以抛物线的标准方程为 x24y ()由题意知，直线 m 的斜率存在，
16、设直线 m：ykx6，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由 ykx6， x24y 消去 y 得 x24kx240，0 显然成立，所以 x3x44k， x3x424(*) 易知抛物线在点 P x3，x 2 3 4 处的切线方程为 yx 2 3 4 x3 2 (xx3)， 令 y1，得 xx 2 34 2x3 ，所以 R x2 34 2x3 ，1 ， 又 Q，F，R 三点共线，所以 kQFkFR，又 F(0，1)， 所以 x2 4 4 1 x4 11 x2 34 2x3 ，即(x2 34)(x 2 44)16x3x40， 整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40， 将(*)式代入上式得 k21 4，所以 k 1 2，所以直线 m 的方程为 y 1 2x6
