2022高考数学一轮总复习课件:8.7 抛物线

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1、87 抛物线抛物线 【教材梳理】 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F_)距离相等的点的轨 迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_,直线 l 叫做抛物线的 _ 2抛物线的标准方程及几何性质 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图形 焦点 p 2,0 0,p 2 准线 xp 2 yp 2 范围 x0,yR y0,xR 对称 轴 y 轴 顶点 原点 O(0,0) 离心 率 性 质 开口 向左 向上 【常用结论】 3抛物线焦点弦的性质 直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F,交抛物线于 A(x1,y1),B(

2、x2,y2)两点,则有: (1)通径的长为 2p; (2)焦点弦长公式:|AB x1x2p; (3)x1x2p 2 4 ,y1y2p2; (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 (5)若 为弦 AB 的倾斜角,则|AF| p 1cos,|BF| p 1cos;|AB| 2p sin2; 1 |AF| 1 |BF| 2 p;以 AF 或 BF 为 直径的圆与 y 轴相切 4抛物线中的最值 P 为抛物线 y22px(p0)上的任一点,F 为焦点,则有:| PF p 2;焦点弦 AB 以通径(2p)为最小值;A(m, n)为一定点,则| PA |PF 有最小值 5抛物线的焦半径 抛物线上的点 P

3、(x0,y0)与焦点 F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦 半径)记作 r|PF (1)y22px(p0),rx0p 2; (2)y22px(p0),rx0p 2; (3)x22py(p0),ry0p 2; (4)x22py(p0),ry0p 2 【自查自纠】 1l 焦点 准线 2 p 2,0 0,p 2 xp 2 y p 2 x0,yR y0,xR x 轴 e1 向右 向下 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 ( ) (3)方程 yax

4、2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 a 4,0 ,准线方 程是 xa 4 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2,0 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA OB 3 4p 2 ( ) (5)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) (2020全国卷)已知 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p ( ) A2 B3 C6 D9 解:设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|xA

5、p 212, 即 129p 2,解得 p6故选 C 已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物 线 C 的方程是 ( ) Ay2 2 2x By2 2x Cy2 4x Dy2 4 2x 解:由已知可知双曲线的焦点为( 2,0),( 2,0) 设抛物线 C 的方程为 y2 2px(p0),则p 2 2, 所以 p2 2,所以抛物线 C 的方程为 y2 4 2x故选 D 若抛物线 y24x 的准线为 l,P 是抛物线上任意一点,则 P 到准线 l 的距离 与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A2 B13 5 C14 5 D3 解: 由抛物线定义可

6、知, 点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 由抛物线 y24x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离, 所以点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点 F(1, 0)到直线 3x4y70 的距离,即 |37| 32422故选 A 抛物线 y22x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_ 解:抛物线 y22x 的焦点为 F(1 2,0),准线方程为 x 1 2,设 A(x1,y1),B(x2, y2), 则|AF|BF|x11 2x2 1 25, 解得 x1x24, 故线段AB的中点

7、横坐标为 2 故 线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2故填 2 考点一考点一 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程 (1)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点, F 为抛物线的焦点, 若 B(3, 2), 则|PB| |PF|的最小值为_ 解: 如图, 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q, 交抛物线于点 P1, 则|P1Q|P1F|则 有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4,即|PB|PF|的最小值为 4故填 4 (2)【多选题】(2020年黄石一中高二下期末)经过点 P(4,2)的抛物线的 标准方程为 ( ) Ay2x Bx28y Cx28y Dy28x 解:若抛物线的焦

8、点在 x 轴上,设抛物线的方程为 y22px(p0),又因为抛物线 经过点 P(4,2),所以(2)22p4,解得 p1 2,所以抛物线的方程为 y 2x若抛 物线的焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x22py(p0),又因为抛物线经过点 P(4, 2),所以 422p(2),解得 p4,所以抛物线的方程为 x28y故选 AC (3)若点 A,B 在抛物线 y22px(p0)上,O 是坐标原点,正OAB 的面积为 4 3,则该抛物 线的方程是( ) Ay22 3 3 x By2 3x Cy22 3x Dy2 3 3 x 解:根据对称性,可知 ABx 轴,由于正OAB 的面积是 4 3,故 3

9、 4 |AB|2 4 3,故|AB|4,正OAB 的高为 2 3,故可设点 A 的坐标为(2 3,2),代入抛物 线方程得 44 3p,解得 p 3 3 ,故所求抛物线的方程为 y22 3 3 x故选 A 【点拨】 与抛物线有关的最值问题, 一般情况下都与抛物线的定义有关由 于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度“看 到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途 径另外,抛物线切线相关问题,注意应用导数工具,可避免联立或减少运算量, 使问题简单化求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦 点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提

10、下,由于标准方程只有一个参 数 p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 (1)设 P 为抛物线 y28x 上的动点, P 在 y 轴的投影为点 M, 点 A(4, 6),则|PA|PM|的最小值是 解:由题得焦点 F(2,0),准线 x2,延长 PM 交准线于 H 点,则有|PF| |PH|,所以|PM|PH|2|PF|2,所以|PM|PA|PF|PA|2,即求出 |PF|PA|的最小值即可已知点 A 在抛物线外,由三角形两边之和大于第三边 可知|PF|PA|FA|, 当点 P 是线段 FA 和抛物线的交点时, |PF|PA|可取得最 小值为|FA|,由两点之间距离公式计算求得|FA|2

11、10,则|PA|PM|的最小值 是 2 102故填 2 102 (2)(2019届四川乐山高三三调)已知抛物线 y2ax 上的点 M(1,m)到其焦 点的距离为 2,则该抛物线的标准方程为( ) Ay24x By22x Cy25x Dy23x 解:抛物线 y2ax 的准线方程 xa 4, 因为抛物线 y2ax 上的点 M(1,m)到其焦点的距离为 2, 所以 1a 42,所以 a4, 即该抛物线的标准方程为 y24x故选 A (3)已知双曲线 C1:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 2若抛物线 C2:x 2 2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C

12、2的方程为 ( ) Ax28 3 3 y Bx216 3 3 y Cx28y Dx216y 解:由 e21b 2 a24 得 b a 3,则双曲线的渐近线方程为 y 3x,即 3x y0, 抛物线 C2的焦点坐标为(0,p 2),则有 p 2 22,解得 p8, 故抛物线 C2的方程为 x216y故选 D 考点二考点二 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 (1)(2019届江西新八校高三二联)如图,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交 抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|4|BF|,且|AF|6,则 p( ) A9 4 B 9 2 C9 D18 解:设准线与 x 轴

13、交于点 P,分别作 AM,BH 垂直于准线,垂足分别为 M,H 由抛物线定义知|AM|AF|,|BF|BH|又|BC|4|BF|,则|BC| |BH| |AC| |AM|4,又|AM|AF|6,所 以|AC|24,则|CF|AC|AF|18,又|AC| |CF| |AM| |PF| ,即24 18 6 p,所以 p 9 2故选 B (2)【多选题】(2021届广东高三上调研)设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准 线为 l,A 为 C 上一点,以 F 为圆心,|FA|为半径的圆交 l 于 B,D 两点若ABD 90,且ABF 的面积为 9 3,则 ( ) A|BF|3 BABF 是等

14、边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 解:根据题意,作出图形如图所示 因为|FA|为半径的圆交 l 于 B,D 两点,所以|FA|FB|,又|FA|AB|,所以ABF 为等 边三角形,B 正确; 因为ABD90, ABx 轴, 所以BFO60, 所以|BF|2p, SABF 3 4 |BF|2 3 4 4p29 3,解得 p3,所以|BF|6,所以 A 不正确; 焦点到准线的距离为 p3,所以 C 正确; 抛物线的方程为 y26x,所以 D 正确故选 BCD (3)(2020山东省高三三模)已知抛物线 C:y24x 与圆 E:(x1)2y29 相交于 A,B

15、 两点,点 M 为劣弧AB 上不同于 A,B 的一个动点,平行于 x 轴 的直线 MN 交抛物线于点 N,则MNE 的周长的取值范围为 ( ) A(3,5) B(5,7) C(6,8) D(6,8 解:如图所示,圆 E 的圆心为(1,0),半径为 3,抛物线的焦点为(1,0),准线为 x1 由 y24x, (x1)2y29解得 A(2,2 2),B(2,2 2),所以 2x M0),A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知 y1y2p8, 又 AB 的中点到 x 轴的距离为 3, 所以 y1y26,所以 p2, 所以抛物线的标准方程为 x24y ()由题意知,直线 m 的斜率存在,

16、设直线 m:ykx6,P(x3,y3),Q(x4,y4), 由 ykx6, x24y 消去 y 得 x24kx240,0 显然成立,所以 x3x44k, x3x424(*) 易知抛物线在点 P x3,x 2 3 4 处的切线方程为 yx 2 3 4 x3 2 (xx3), 令 y1,得 xx 2 34 2x3 ,所以 R x2 34 2x3 ,1 , 又 Q,F,R 三点共线,所以 kQFkFR,又 F(0,1), 所以 x2 4 4 1 x4 11 x2 34 2x3 ,即(x2 34)(x 2 44)16x3x40, 整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40, 将(*)式代入上式得 k21 4,所以 k 1 2,所以直线 m 的方程为 y 1 2x6

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