1、第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_又有_ 的量；向量的大小叫做向量的 _(或_) 平面向量是自由向量 零向量 长度为_的向量；其方 向是任意的 记作_ 单位向量 长度等于_的向量 非零向量 a 的单位向量为a |a| 平行向量 方向_或_ 的非零向量 共线向量 10_的向量又叫 做共线向量 0 与任一向量 _或共线 相等向量 长度_且方向 _的向量 相反向量 长度_且方向 _的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的表示方法 (1)字母表示法：如 a，AB 等 (2
2、)几何表示法：用一条_表示向量 3向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 _法则 _法则 (1)交换律： ab_. (2)结合律： (ab)c _. 减法 求a与b的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 21_法则 aba(b) 数乘 求实数与向量a的积 的运算 (1)|a| 22_. (2)当 0 时，a 与 a 的 方向 23_；当 0 时，a 与 a 的方向 24 _；当 0 时，a 25_ (a) 26 _； ()a 27 _； (ab) 28 _. 二、必明 3 个易误点 1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终
3、点 2在向量共线的充要条件中易忽视“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个 3要注意向量共线与三点共线的区别与联系 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量就是有向线段( ) (2)零向量没有方向( ) (3)若向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反( ) (4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同( ) (5)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上( ) 二、教材改编 2设 M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD ( ) A.OM B
4、2OM C3OM D4OM 3已知 e1，e2是两个不共线的向量，ae12e2，b2e1ke2.若 a 与 b 是共线向量，则 实数 k 的值为_ 三、易错易混 4对于非零向量 a，b，“ab0”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 2021 山东青岛二中月考如图所示， 在ABC 中， AD2 3AB， BE 1 2BC， 则DE 等于( ) A.1 3AC 1 2AB B.1 3AC 1 6AB C.1 2AC 1 3AB D.1 2AC 1 6AB 考点一 平面向量的基本概念自主练透型 1下列命题中正确的是( ) A若两个向量相等，
5、则它们的起点相同，终点相同 B若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 C若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB DC ，则 ABCD 为平行四边形 Dab 的充要条件是|a|b|且 ab 2判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab； 若 ab，则|a|b|.其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 悟 技法 向量有关概念的 5 个关键点 (1)向量：方向、长度 (2)非零共线向量：方向相同或相反 (3)单位向量：长度是一个单位长度 (4)零向量：方向没有限制，长度是 0. (5)相等向量：方向相同且长度相等. 考点二
6、 向量的线性运算自主练透型 3化简AC BD CD AB 得( ) A.AB B.DA C.BC D0 42021 唐山统考在等腰梯形 ABCD 中，AB 2CD ，M 为 BC 的中点，则AM ( ) A.1 2AB 1 2AD B.3 4AB 1 2AD C.3 4AB 1 4AD D.1 2AB 3 4AD 悟 技法 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三 角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形
7、的准确作出图形，确定每一个点的位置 (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式 (3)比较、观察可知所求. 考点三 平面向量共线定理的应用 互动讲练型 例 设两个非零向量 a 和 b 不共线 (1)如果AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k, 使 kab 和 akb 共线 悟 技法 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量 a，b，若存在实数 ，使 ab，则 a 与 b 共线 (2)证明三点共线，若存在实数 ，使AB AC，则 A，B，C 三点共线 (3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(
8、组)求参数的值 提醒 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点. 变式练(着眼于举一反三) 1若将本例(1)中“BC 2a8b”改为“BCamb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点 共线？ 2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 第五章第五章 平面向量平面向量 第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 【知识重温】【知识重温】 大小 方向 模 长度 零 0 1 个单位长度 相同 相反 方向相 同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 有向线段 三角形 平 行四边形 ba a(bc) 21三角形 22 |a| 23 相同 24相反 250 26
9、 a 27aa 28ab 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点， 则OA OB OC OD 0AB ACAD 2AC 4OM . 答案：D 3解析：a 与 b 是共线向量， 存在实数 t，有 bta， 即 2e1ke2t(e12e2)， 则 2t， k2t， 解得：k4. 答案：4 4解析：若 ab0，则 ab，所以 ab. 若 ab，则 ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件 答案：A 5解析：DE DB BE 1 3AB 1 2(AC AB)1 2AC 1 6AB ，故选 D. 答案：D 课堂
10、考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点； B 错误，若 b0，则 a 与 c 不一定共线； C 正确，因为AB DC ，所以|AB |DC |且AB DC ；又 A，B，C，D 是不共线的四点，所 以四边形 ABCD 为平行四边形； D 错误，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 答案：C 2解析：只有正确 答案：A 考点二 3解析：因为AC BD CD AB ACCD DB BA 0. 答案：D 4解析：因为A
11、B 2CD ，所以AB 2DC .又 M 是 BC 的中点，所以AM 1 2(AB AC)1 2 (AB AD DC )1 2(AB AD 1 2AB )3 4AB 1 2AD . 答案：B 考点三 例 解析：(1)证明：因为AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BC CD 2a8b3(ab)5(ab)5AB ，所以AB，BD 共线，又AB 与BD 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线 (2)因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数 ，使 kab(akb)， 即(k)a(k1)b， 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 k0， k10， 所以 k210, 即 k 1. 变式练 1解析：BC CD (amb)3(ab)4a(m3)b，即BD 4a(m3)b. 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 ，使BD AB ， 即 4a(m3)b(ab)， 4， m3， 解得 m7. 故当 m7 时，A，B，D 三点共线 2解析：因为 kab 与 akb 反向共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)(0)， 所以 k， k1， 所以 k 1. 又 0，k，所以 k1. 故当 k1 时两向量反向共线
