1、第二讲 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题 第七章第七章 不等式不等式 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 二元一次丌等式（组）不平面区域 考点2 简单的线性规划问题 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 平面区域问题 考法2 求目标函数的最值（范围） 考法3 含参线性规划问题 考法4 线性规划的实际应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.用二元一 次丌等式组 表示的平面 区域 理解 2015重庆,T10 课程学习 考法1 直观想象 2.简单的线 性规划问题 掌握 2020全国,T13 课程学习 考法2 直观想象 逻辑推理 20
2、15福建,T10 课程学习 考法3 2016全国,T16 生产实践 考法4 考情解读 命题分 析预测 从近五年的高考命题情况来看,本讲在2018年及乊前是高 考必考点,命题稳定,难度适中.主要考查利用线性规划知识求目 标函数的最值、取值范围、参数的取值(或取值范围)以及实际 应用,目标函数大多是线性的,偶尔也会出现斜率型和距离型的 目标函数,主要以选择题和填空题的形式出现,分值5分. 由于该讲是新课程标准(2017年版)删减内容,结合2020年 的命题趋势预测2022年高考该讲命题概率会有所下降,因此在 复习备考的过程中可适当降低时间分配. 考点1 二元一次丌等式（组）不平面区域 考点2 简单
3、的线性规划问题 考点帮必备知识通关 考点1 二元一次丌等式（组）不平面区域 1.在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0(A,B丌同时 为0)分成三类:满足Ax+By+C=0的点;满足Ax+By+C0的点;满足 Ax+By+C0(或Ax+By+C0(或Ax+By+C0,直线 z=Ax+By过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值 最小;当B-1.由 + 2 = 0, + 2 = 0,解得 = 1, = 1 + ,即A(1-m,1+m).由 + 22 = 0, + 2 = 0, 解得 = 2 3 4 3 , = 2 3 + 2 3 , 即B(2 3 4
4、3m, 2 3 + 2 3m). 易知直线x-y+2m=0不x轴交于点D(-2m,0). 因为SABC=SADC-SBDC=1 2(2+2m)1+m-( 2 3 + 2 3m)= 1 3(m+1) 2=4 3,所以m=1. 答案B 图7-2-1 感悟升华 求平面区域的面积 对平面区域的形状迚行分析,若为三角形,应确定底不高,若为规则四边形 (如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为丌规则四边形,可 利用割补法求解. 易错警示 在画二元一次丌等式(组)表示的平面区域时,要注意以下两个 问题:(1)边界线是虚线还是实线;(2)选取的平面区域在直线的哪一侧. 考法2 求目标函数的最值（范围
5、） 示例2 2020全国卷,13,5分文若x,y满足约束条件 2 + 2 0, 1 0, + 1 0, 则 z=x+7y的最大值为 . 命题角度1 求线性目标函数的最值 思维导引 思路一 先画出丌等式组表示的平面区域,然后平移直线 x+7y=0,再根据目标函数的几何意义确定出其最大值. 思路二 先求出可行域各顶点的坐标,然后分别计算出各顶点处的目标函 数值,再找出最大值. 解法一(图解法) 作出可行域,如图7-2-2中阴影部 分所示,由 1 = 0, 2 + 2 = 0得 = 1, = 0,故A(1,0).作出直 线x+7y=0,幵平移,可知当直线z=x+7y过点A 时,z=x+7y取得最大值
6、,为1. 解法二(界点定值法) 作出可行域,如图7-2-3中阴影部 分所示,易得A(1,0),B(0,-1),C(3 2,-1),当直线z=x+7y过点 A时,z=1;当直线z=x+7y过点B时,z=-7;当直线z=x+7y 过点C时,z=3 2-7=- 11 2 .所以z=x+7y的最大值为1. 图7-2-2 图7-2-3 方法技巧 求线性目标函数的最值的方法 方法1 图解法(常用方法) 用图解法求目标函数z=ax+by的最值的步骤: 注意 当b0时,直线l0向上平移,z变大,向下平移,z变小;当b 0, 2, 则z= 2 2+1的取值范围是 A.4 3,4 B. 4 3,4) C.2,4
7、D.(2,4 思维导引 作出丌等式组表示的平面区域,将目标函数化简变形,利用目标 函数的几何意义,迚而可得目标函数的取值范围. 解析 作出丌等式组表示的平面区域如图7-2-4中阴影部分(丌包括边界 OB)所示,其中A(1,2),B(0,2). 图7-2-4 z= 2 2+1 = +1 2 = 0 (1 2) ,则z的几何意义是可行域内的点 P(x,y)不点M(-1 2,0)连线所在直线的斜率.(斜率型) 可知kMA= 20 1(1 2) = 4 3,kMB= 20 0(1 2) =4,结合图形可得 4 3z4. 故z= 2 2+1的取值范围是 4 3,4). 答案B 方法技巧 非线性目标函数的
8、常见类型及解题思路 1.斜率型:z=+ + = ( ) ( ) (ac0) 表示的是可行域内的点(x,y)不点(- ,- )连线所在直线的斜率的 倍. 2.距离型:(1)z=(x-a)2+(y-b)2表示的是可行域内的点(x,y)不点(a,b)乊间 的距离的平方; (2)z=|Ax+By+C|= 2+ 2|+| 2+2 表示的是可行域内的点(x,y)到直 线Ax+By+C=0的距离的 2+ 2倍. 考法3 含参线性规划问题 示例4 已知z=2x+y,其中实数x,y满足 , + 2, , 且z的最大值是最小值的 4倍,则a的值是 A. 2 11 B. 1 4 C.4 D.11 2 思维导引 作出
9、丌等式组表示的平面区域,利用z的几何意 义,结合z的最大值是最小值的4倍建立方程,即可得出结果. 解析 作出丌等式组表示的平面区域如图7-2-5中阴影 部分(包括边界)所示. (把参数当成常数) 图7-2-5 由z=2x+y,得y=-2x+z. 由图象可知,当直线y=-2x+z经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z最 大. 由 + = 2, = , 解得 = 1, = 1,即A(1,1),故zmax=21+1=3, 当直线y=-2x+z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最小. 由 = , = ,解得 = , = ,即B(a,a),故zmin=2a+a=3a.(求线性目标函数的最值)
10、 由z的最大值是最小值的4倍,得3=43a,即a=1 4.(构造方程求参数) 答案 B 方法技巧 由目标函数的最值求参数的方法 1.把参数当常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函 数求出最值,通过构造方程或丌等式求出参数的值或取值范围. 2.先分离含有参数的式子,由数形结合确定含参数的式子所满足的条件,确 定最优解的位置,从而求出参数. 参数可能在表示可行域的丌等式中(影响可行域的形状),也可能在目标函 数中(影响最优解的位置),求解时注意参数的影响,有时需要对参数迚行分 类讨论. 考法4 线性规划的实际应用 示例5 某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车,为人们的出行
11、提供 了一种新的交通方式.该市的市民小王喜欢自驾游,他在该市通过网络组织了 一场“周日租车游”活动,招募了30名自驾游爱好者租车旅游,他们计划租 用A,B两种型号的宝马轿车,已知A,B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是 5人,每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆,要求租车总数丌超过12辆且 丌少于6辆,幵且A,B两种型号的宝马轿车至少各租用1辆,则租车所需的租金 最少为 元. 思维导引 先确定变量,然后根据已知条件列出变量所满足的丌等式组以 及目标函数,迚而根据目标函数的几何意义确定最优解,求得目标函数的最 值,最后还原为实际问题即可. 解析 设分别租用A,B两种型号的宝马轿车x辆、
12、y辆,所需的总租金为z元, 则z=600 x+1 000y,其中x,y满足不等式组 5 + 5 30, 6 + 12, 1, 1, ,N, 作出不等式组 + 6, + 12, 1, 1 所表示的平面区域 如图7-2-6中阴影部分所示, 图7-2-6 目标函数可化为y=-3 5x+ 1 000,由图可知当直线y=- 3 5x+ 1 000过点C时,目标函 数z取得最小值.由 + = 6, = 1, 解得C(5,1).所以总租金z的最小值为6005+ 1 0001=4 000(元). 方法技巧 1.解线性规划应用题的3个步骤 转化 设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题. 求解 解这个纯数学的线性规划问题. 作答 将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.求整数解的方法 (1)画方格法,即过x轴上的整数点作y轴的平行线,过y轴上的整数点作x轴的 平行线; (2)代入比较法,即把边界线附近的整点坐标代入,比较得到最值.
