1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 高考大题规范解答系列(五)解析几何 考点突破互动探究 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 范围问题 (2018 浙江高考)如图，已知点P是y 轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不 同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上 例 1 (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 4 1(x0)上的动点，求 PAB 面积的取值范围 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【分析】 设出A，B的坐标及点P的坐标，利用PA，PB的中点在 抛物线上建立方程，利用根与系数
2、的关系求得点A，B，P的纵坐标之间 的关系，由此证明结论成立 先根据根与系数的关系，求得|PM|，再表示出PAB的面积，最 后结合点P在椭圆上，并利用二次函数在给定区间的值域，求得三角形 面积的取值范围 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)设 P(x0，y0)，A 1 4y 2 1，y1 ，B 1 4y 2 2，y2 1 分得分点 因为PA， PB的中点在抛物线上， 所以y1， y2为方程 yy0 2 24 1 4y 2x 0 2 ， 即 y22y0y8x0y2 00 的两个不同的实根 3 分得分点 所以 y1y22y0， 4 分得分点 因此
3、，PM 垂直于 y 轴 5 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由(1)可知 y1y22y0， y1y28x0y2 0， 所以|PM|1 8(y 2 1y 2 2)x03 4y 2 03x0， 7 分得分点 |y1y2|2 2y2 04x0 9 分得分点 因此，PAB 的面积 SPAB1 2|PM| |y1y2| 3 2 4 (y2 04x0)3 2， 10 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 因为 x2 0y 2 0 4 1(x00)， 所以 y2 04x04x 2 04x044,5， 因此，PAB 面积的取值范围是 6 2，15 10
4、4 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【评分细则】 设出点的坐标得1分 利用PA，PB的中点在C上，建立二次方程得2分 由韦达定理得y1y22y0得1分 由y1y22y0得点M的纵坐标为y0，又点P纵坐标为y0，因此PM垂 直于y轴，得1分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 结合韦达定理求|PM|，得2分 求出|y1y2|，得2分 正确写出PAB的面积，得1分 合理的转化为二次函数求出PAB面积的范围，得2分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生分析 问题、解决问题的
5、能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑 推理、数学抽象、数学运算 2解题技巧：在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x、y轴 上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键 是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、 纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问 题转化为求函数的值域或最值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3解决范围问题的答题模板 定变量根据题意选取恰当的变量. 找关系根据条件确定变量间的等量关系或不等式关系. 得结果利用函数或不等式知识求出所求问题范围. 高考一轮总复习 数学（新高考）
6、第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 山东烟台期末)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，F 是其右焦点，直线 ykx 与椭圆交于 A，B 两点，|AF|BF|8 (1)求椭圆的标准方程； (2)设 Q(3,0)，若AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 F1为椭圆的左焦点，连接 F1B，由椭圆的对称性可知， |AF|F1B|， 所以|AF|BF|BF1|BF|2a8， 所以 a4， 又 e 3 2 c a，a 2b2c2， 解得 c2 3，b2， 椭圆的标准方程为 x2 16 y2 4 1 高
7、考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则QA (x13，y1)，QB (x23，y2)， 联立 x2 16 y2 4 1 ykx ，得(4k21)x2160， 所以 x1x20，x1x2 16 4k21， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 因为AQB 为锐角，所以QA QB 0， 所以QA QB (x13)(x23)y1y2 93(x1x2)x1x2y1y2 93(x1x2)(1k2)x1x2 9161k 2 4k21 0， 解得 k 35 10 或 k 35 10 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考
8、点二 定点、定值问题 例 2 (2017 全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x 2 2 y21 上，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【分析】 看到求点 P 的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后 利用已知条件，采用代入法求轨迹方程 看到过点 P且垂直于 OQ的直线l过C 的左焦点 F， 想到证明OQ PF 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析
9、几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0) NP (xx0，y)，NM (0，y0)， 1 分得分点 由NP 2 NM ，得 x0 x，y0 2 2 y， 3 分得分点 因为 M(x0，y0)在椭圆 C 上， 所以x 2 2 y 2 2 1， 5 分得分点 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22 6 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由题意知 F(1,0)，设 Q(3，t)，P(m，n)， 则OQ (3，t)，PF (1m，n)， 7 分得分点 OQ PF 33mtn， 8 分得分点 OP (m，n)，PQ
10、(3m，tn)， 9 分得分点 由OP PQ 1 得3mm2tnn21， 10 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又由(1)知 m2n22，故 33mtn0 所以OQ PF 0，即OQ PF ， 11 分得分点 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【评分细则】 设出点的坐标，并求出NP 和NM 得 1 分 由NP 2NM ，正确求出 x0 x，y0 2 2 y 得 2 分 代入法求出x 2 2 y 2 2 1 得 2 分 化简成 x2y
11、22 得 1 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求出OQ 和PF 的坐标得 1 分 正确求出OQ PF 的值得 1 分 正确求出OP 和PQ 的坐标得 1 分 正确得出3mm2tnn21 得 1 分 得出OQ PF 得 1 分 写出结论得 1 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养： 圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的热点问题， 常与向量巧妙交汇，综合考查考生“数学运算”的核心素养 2解题技巧：(1)得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则 给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(2)问中求出 3mm2tnn21
12、 就得分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所 以在答题时一定要写清得分关键点，如第(2)问一定要写出OQ PF 0，即 OQ PF ，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3解决定值(点)问题的答题模板 定目标通过研究特殊情形，得出目标关系所要探求的定值点. 选参数 找寻适合运动变化的参数，如点的坐标、直线的斜率 等，把相关问题用参数表示. 建联系把定值点问题转化为与参数有关的方程问题. 得结果确定与参数无关的值点，即为所求. 高考一轮总复习 数学（新高考）
13、 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)(2021 广西南宁、玉林、贵港等市联考)设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab 0)，右顶点是 A(2,0)，离心率为1 2 求椭圆 C 的方程； 若直线 l 与椭圆交于两点 M，N(M，N 不同于点 A)，若AM AN 0， 求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)已知 A、B 分别为椭圆 E： x2 a2y 2 1(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB 8，P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D 求 E 的方程； 证明：
14、直线 CD 过定点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)右顶点是 A(2,0)，离心率为1 2， 所以 a2，c a 1 2， c1，则 b 3， 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 当直线 MN 斜率不存在时，设 lMN：xm， 与椭圆方程x 2 4 y 2 3 1 联立得：|y|3 1m 2 4 ， |MN|23 1m 2 4 ， 设直线 MN 与 x 轴交于点 B，|MB|AB|，即3 1m 2 4 2m， m2 7或 m2(舍)， 直线 m 过定点 2 7，0 ； 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
15、 解析几何 当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 斜率为 k， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线 MN：ykxb(k0)， 与椭圆方程x 2 4 y 2 3 1 联立，得(4k23)x28kbx4b2120， x1x2 8kb 4k23，x1x2 4b212 4k23 ， y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2， (8kb)24(4k23)(4b212)0，kR， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 AM AN 0，则(x12，y1) (x22，y2)0， 即 x1x22(x1x2)4y1y20， 7b24k216kb0， b2 7k 或 b
16、2k， 直线 lMN：yk x2 7 或 yk(x2)， 直线过定点 2 7，0 或(2,0)舍去； 综上知直线过定点 2 7，0 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)依据题意作出如下图形： 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由椭圆方程 E：x 2 a2y 2 1(a1)可得： A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)， AG (a,1)，GB (a，1)， AG GB a218，a29， 椭圆方程为：x 2 9 y21 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 证明：设 P(6，y0)， 则直线 AP 的方程为：y y00 63(x3)，即：y y
17、0 9 (x3)， 联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： x2 9 y21 yy0 9 x3 ， 整理得：(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解得：x3 或 x3y 2 027 y2 09 ， 将 x3y 2 027 y2 09 代入直线 yy0 9 (x3) 可得：y 6y0 y2 09， 所以点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 ， 6y0 y2 09 同理可得：点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ，2y 0 y2 01 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 CD 的方程为：y 2
18、y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03 y2 01 x3y 2 03 y2 01 ， 整理可得：y 2y0 y2 01 8y0y2 03 69y4 0 x3y 2 03 y2 01 8y0 63y2 0 x3y 2 03 y2 01 整理得：y 4y0 33y2 0 x 2y0 y2 03 4y0 33y2 0 x3 2 故直线 CD 过定点 3 2，0 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 最值问题 例 3 (2021 吉林模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与
19、长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q 证明：OT 平分线段 PQ(其中 0 为坐标原点)； 当 |TF| |PQ|最小时，求点 T 的坐标 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【分析】 看到焦距为4，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 想到2c4，a 3b，a2b2c2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)由已知可得 a2b22b， 2c2 a2b24， 解得 a26，b22 2 分得
20、分点 所以椭圆 C 的标准方程是x 2 6 y 2 2 1 3 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由(1)可得点 F 的坐标是(2,0)， 设点 T 的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率是 kTF m0 32m 当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ 1 m， 直线 PQ 的方程是 xmy2 当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2， 也符合 xmy2 的形式 5 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得 xmy2， x2 6 y 2 2 1. 消去
21、 x，得(m23)y24my20 其判别式 16m28(m23)0， 所以 y1y2 4m m23，y1y2 2 m23， x1x2m(y1y2)4 12 m23 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以 PQ 的中点 M 的坐标为 6 m23， 2m m23 7 分得分点 所以直线 OM 的斜率是 kOMm 3 又直线 OT 的斜率 kOTm 3 ， 所以点 M 在直线 OT 上， 因此 OT 平分线段 PQ 8 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由可得 |TF| m21， 9 分得分点 |PQ| x1x22y1y22 m21y1y224y1y2 m2
22、1 4m m23 242 m23 24m21 m23 10 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以 |TF| |PQ| 1 24 m232 m21 1 24 m21 4 m21 4 1 2444 3 3 当且仅当 m21 4 m21， 即 m1 时取等号， 此时 |TF| |PQ|取得最小值， 11 分得分点 所以当 |TF| |PQ|最小时，点 T 的坐标是(3,1)或(3，1) 12 分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【评分细则】 列方程组求出 a2与 b2给 2 分 写出椭圆的标准方程给 1 分 根据题意恰当设出直线方程，给 2 分，不
23、讨论 m0 的情况，扣 1 分 方程联立消元，结合韦达定理求出点 M 的坐标，给 2 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 证明 OT 平分线段 PQ，给 1 分 写出|TF|的表达式，给 1 分 写出|PQ|的表达式，给 1 分 写出 |TF| |PQ|的表达式，利用均值不等式确定最小值，给 1 分 正确写出点 T 的坐标，给 1 分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养：本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系 等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问 题的能力以及运算求解能力 高考一轮总复习 数学（新高考）
24、第八章 解析几何 2解题技巧：(1)注意通性通法的应用 在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答 题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法如在解 决本例(2)时，注意本题的实质是直线与圆锥曲线的相交问题，因此设 出直线方程，然后联立椭圆方程构造方程组，利用根与系数关系求出y1 y2，y1y2的值即为通法 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)关键步骤要全面 阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有关键步骤、关键点则得分， 没有要相应扣分，所以解题时要写全关键步骤，踩点得分，对于纯计算 过程等非得分点的步骤可简写或不写，如本例(2)中，消元化简时，可直
25、 接写出结果，利用弦长公式求|PQ|时，也可省略计算过程 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3最值问题 (1)常见解法有两种：几何法与代数法 若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映 出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来 求解，这就是几何法 将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为函数的最值 问题，再充分利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相 关知识去求解，这就是代数法 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)易错点 利用基本不等式求最值问题要指出能取到最值，或求出取到最值 的条件； 利用函数观点解决最
26、值问题时，要注意自变量的取值范围 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 4解决最值问题的答题模板 设方程搞联立 设出相关直线的方程，确定参数，如斜率、截距等，联立方程组 得一元二次方程. 抓条件促转化 抓住已知条件，把问题转化为关于参数的方程或不等式，确定参 数的范围. 建函数求结果 针对所求问题构建关于参数的函数等，利用函数或基本不等式知 识求最值或范围，有时应用换元法简化运算. 查关键写规范反思回顾，查看关键点、易错点，强化解题的规范性. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 3 (2020 全国卷)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2
27、,3)， 点 A 为其左顶点，且 AM 斜率为1 2 (1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可知直线 AM 的方程为：y31 2(x2)， 即 x2y4 当 y0 时，解得 x4，所以 a4， 椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2,3)， 可得 4 16 9 b21，解得 b 212 所以 C 的方程： x2 16 y2 121 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设与直线 AM 平行的直线方程为：x2ym， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与
28、 AM 距离比较远的直线与椭圆 的切点为 N，此时AMN 的面积取得最大值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 联立直线方程 x2ym 与椭圆方程 x2 16 y2 121 可得 3(m2y)24y248， 化简可得 16y212my3m2480， 所以 144m2416(3m248)0， 即 m264，解得 m8 与 AM 距离比较远的直线方程 x2y8， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 AM 方程为 x2y4 点 N 到直线的距离即两平行线之间的距离 d 84 14 12 5 5 ， 由两点间距离公式可得 |AM| 242323 5， 所以AMN 的面
29、积的最大值为1 23 5 12 5 5 18 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 (1)(2021 广东新高考适应性考试)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 左、 右焦点分别为 F1， F2， 短轴长为 2 3， A， B 在椭圆 C 上， 且AF2 BF2 0，ABF1的周长为 8 求椭圆 C 的标准方程； 过椭圆 C 上的动点 M 作 C 的切线 l，过原点 O 作 OPl 于点 P， 求OMP 的面积的最大值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 广东梅州质检)已知直线 l： xy10 与焦点为 F 的抛物线 C
30、：y22px(p0)相切 求抛物线 C 的方程； 过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点到直 线 l 的距离之和的最小值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由AF2 BF2 0， 可知 A，B，F2三点共线，且 ABx 轴 由ABF1的周长为 8，得 4a8， 所以 a2，且 b 3， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 显然直线 l 斜率存在且不为 0，设直线 l：ykxt， 联立 ykxt， 3x24y212， 得(34k2)x28ktx4t2120， 且 64
31、k2t24(34k2)(4t212)0， 得 t24k23， 所以 xM 8kt 234k2 4k t 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 联立 y1 kx， ykxt， 得 xP kt k21， 所以|OP|1 1 k2 |kt| k21 |t| k21， 则 |MP| 1k2 4k t kt k21 1k2 4k34kkt2 tk21 |k| |t| k21， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以 SOMP1 2|MP| |OP| 1 2 |k| |t| k21 |t| k21 1 2 |k| k21 1 2 1 |k| 1 |k| 1 4， 当且仅当 k1
32、 时取等号， 所以OMP 的面积的最大值为1 4 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)直线 l：xy10 与抛物线 C 相切， 由 xy10 y22px 消去 x 得，y22py2p0， 从而 4p28p0，解得 p2 抛物线 C 的方程为 y24x 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由于直线 m 的斜率不为 0，所以可设直线 m 的方程为 tyx1， A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 tyx1 y24x 消去 x 得，y24ty40， y1y24t，从而 x1x24t22， 线段 AB 的中点 M 的坐标为(2t21,2t) 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设点 A 到直线 l 的距离为 dA，点 B 到直线 l 的距离为 dB，点 M 到直 线 l 的距离为 d，则 dAdB2d2 |2t22t2| 2 2 2|t2t1|2 2 t1 2 23 4 当 t1 2时，可使 A、B 两点到直线 l 的距离之和最小，距离的最小 值为3 2 2 谢谢观看
