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2022版新高考数学人教版一轮课件:高考大题规范解答系列5 解析几何

1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 高考大题规范解答系列(五)解析几何 考点突破互动探究 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 范围问题 (2018 浙江高考)如图,已知点P是y 轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y24x上存在不 同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上 例 1 (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 4 1(x0)上的动点,求 PAB 面积的取值范围 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【分析】 设出A,B的坐标及点P的坐标,利用PA,PB的中点在 抛物线上建立方程,利用根与系数

2、的关系求得点A,B,P的纵坐标之间 的关系,由此证明结论成立 先根据根与系数的关系,求得|PM|,再表示出PAB的面积,最 后结合点P在椭圆上,并利用二次函数在给定区间的值域,求得三角形 面积的取值范围 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)设 P(x0,y0),A 1 4y 2 1,y1 ,B 1 4y 2 2,y2 1 分得分点 因为PA, PB的中点在抛物线上, 所以y1, y2为方程 yy0 2 24 1 4y 2x 0 2 , 即 y22y0y8x0y2 00 的两个不同的实根 3 分得分点 所以 y1y22y0, 4 分得分点 因此

3、,PM 垂直于 y 轴 5 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由(1)可知 y1y22y0, y1y28x0y2 0, 所以|PM|1 8(y 2 1y 2 2)x03 4y 2 03x0, 7 分得分点 |y1y2|2 2y2 04x0 9 分得分点 因此,PAB 的面积 SPAB1 2|PM| |y1y2| 3 2 4 (y2 04x0)3 2, 10 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 因为 x2 0y 2 0 4 1(x00), 所以 y2 04x04x 2 04x044,5, 因此,PAB 面积的取值范围是 6 2,15 10

4、4 12 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【评分细则】 设出点的坐标得1分 利用PA,PB的中点在C上,建立二次方程得2分 由韦达定理得y1y22y0得1分 由y1y22y0得点M的纵坐标为y0,又点P纵坐标为y0,因此PM垂 直于y轴,得1分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 结合韦达定理求|PM|,得2分 求出|y1y2|,得2分 正确写出PAB的面积,得1分 合理的转化为二次函数求出PAB面积的范围,得2分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析 问题、解决问题的

5、能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑 推理、数学抽象、数学运算 2解题技巧:在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x、y轴 上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键 是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、 纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问 题转化为求函数的值域或最值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 3解决范围问题的答题模板 定变量根据题意选取恰当的变量. 找关系根据条件确定变量间的等量关系或不等式关系. 得结果利用函数或不等式知识求出所求问题范围. 高考一轮总复习 数学(新高考)

6、第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 山东烟台期末)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ,F 是其右焦点,直线 ykx 与椭圆交于 A,B 两点,|AF|BF|8 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 Q(3,0),若AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设 F1为椭圆的左焦点,连接 F1B,由椭圆的对称性可知, |AF|F1B|, 所以|AF|BF|BF1|BF|2a8, 所以 a4, 又 e 3 2 c a,a 2b2c2, 解得 c2 3,b2, 椭圆的标准方程为 x2 16 y2 4 1 高

7、考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则QA (x13,y1),QB (x23,y2), 联立 x2 16 y2 4 1 ykx ,得(4k21)x2160, 所以 x1x20,x1x2 16 4k21, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 因为AQB 为锐角,所以QA QB 0, 所以QA QB (x13)(x23)y1y2 93(x1x2)x1x2y1y2 93(x1x2)(1k2)x1x2 9161k 2 4k21 0, 解得 k 35 10 或 k 35 10 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考

8、点二 定点、定值问题 例 2 (2017 全国卷)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:x 2 2 y21 上,过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x3 上,且OP PQ 1,证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【分析】 看到求点 P 的轨迹方程,想到先设出点的坐标,然后 利用已知条件,采用代入法求轨迹方程 看到过点 P且垂直于 OQ的直线l过C 的左焦点 F, 想到证明OQ PF 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析

9、几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0) NP (xx0,y),NM (0,y0), 1 分得分点 由NP 2 NM ,得 x0 x,y0 2 2 y, 3 分得分点 因为 M(x0,y0)在椭圆 C 上, 所以x 2 2 y 2 2 1, 5 分得分点 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22 6 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由题意知 F(1,0),设 Q(3,t),P(m,n), 则OQ (3,t),PF (1m,n), 7 分得分点 OQ PF 33mtn, 8 分得分点 OP (m,n),PQ

10、(3m,tn), 9 分得分点 由OP PQ 1 得3mm2tnn21, 10 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 又由(1)知 m2n22,故 33mtn0 所以OQ PF 0,即OQ PF , 11 分得分点 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ, 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 12 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【评分细则】 设出点的坐标,并求出NP 和NM 得 1 分 由NP 2NM ,正确求出 x0 x,y0 2 2 y 得 2 分 代入法求出x 2 2 y 2 2 1 得 2 分 化简成 x2y

11、22 得 1 分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 求出OQ 和PF 的坐标得 1 分 正确求出OQ PF 的值得 1 分 正确求出OP 和PQ 的坐标得 1 分 正确得出3mm2tnn21 得 1 分 得出OQ PF 得 1 分 写出结论得 1 分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养: 圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的热点问题, 常与向量巧妙交汇,综合考查考生“数学运算”的核心素养 2解题技巧:(1)得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则 给分,无则没分,所以对于得分点步骤一定要写全,如第(2)问中求出 3mm2tnn21

12、 就得分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所 以在答题时一定要写清得分关键点,如第(2)问一定要写出OQ PF 0,即 OQ PF ,否则不得分,因此步骤才是关键的,只有结果不得分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 3解决定值(点)问题的答题模板 定目标通过研究特殊情形,得出目标关系所要探求的定值点. 选参数 找寻适合运动变化的参数,如点的坐标、直线的斜率 等,把相关问题用参数表示. 建联系把定值点问题转化为与参数有关的方程问题. 得结果确定与参数无关的值点,即为所求. 高考一轮总复习 数学(新高考)

13、 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)(2021 广西南宁、玉林、贵港等市联考)设椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab 0),右顶点是 A(2,0),离心率为1 2 求椭圆 C 的方程; 若直线 l 与椭圆交于两点 M,N(M,N 不同于点 A),若AM AN 0, 求证:直线 l 过定点,并求出定点坐标 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)已知 A、B 分别为椭圆 E: x2 a2y 2 1(a1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB 8,P 为直线 x6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D 求 E 的方程; 证明:

14、直线 CD 过定点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)右顶点是 A(2,0),离心率为1 2, 所以 a2,c a 1 2, c1,则 b 3, 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 当直线 MN 斜率不存在时,设 lMN:xm, 与椭圆方程x 2 4 y 2 3 1 联立得:|y|3 1m 2 4 , |MN|23 1m 2 4 , 设直线 MN 与 x 轴交于点 B,|MB|AB|,即3 1m 2 4 2m, m2 7或 m2(舍), 直线 m 过定点 2 7,0 ; 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

15、 解析几何 当直线 MN 斜率存在时,设直线 MN 斜率为 k, M(x1,y1),N(x2,y2),则直线 MN:ykxb(k0), 与椭圆方程x 2 4 y 2 3 1 联立,得(4k23)x28kbx4b2120, x1x2 8kb 4k23,x1x2 4b212 4k23 , y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2, (8kb)24(4k23)(4b212)0,kR, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 AM AN 0,则(x12,y1) (x22,y2)0, 即 x1x22(x1x2)4y1y20, 7b24k216kb0, b2 7k 或 b

16、2k, 直线 lMN:yk x2 7 或 yk(x2), 直线过定点 2 7,0 或(2,0)舍去; 综上知直线过定点 2 7,0 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)依据题意作出如下图形: 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由椭圆方程 E:x 2 a2y 2 1(a1)可得: A(a,0),B(a,0),G(0,1), AG (a,1),GB (a,1), AG GB a218,a29, 椭圆方程为:x 2 9 y21 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 证明:设 P(6,y0), 则直线 AP 的方程为:y y00 63(x3),即:y y

17、0 9 (x3), 联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得: x2 9 y21 yy0 9 x3 , 整理得:(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解得:x3 或 x3y 2 027 y2 09 , 将 x3y 2 027 y2 09 代入直线 yy0 9 (x3) 可得:y 6y0 y2 09, 所以点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 , 6y0 y2 09 同理可得:点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ,2y 0 y2 01 , 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 直线 CD 的方程为:y 2

18、y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03 y2 01 x3y 2 03 y2 01 , 整理可得:y 2y0 y2 01 8y0y2 03 69y4 0 x3y 2 03 y2 01 8y0 63y2 0 x3y 2 03 y2 01 整理得:y 4y0 33y2 0 x 2y0 y2 03 4y0 33y2 0 x3 2 故直线 CD 过定点 3 2,0 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点三 最值问题 例 3 (2021 吉林模拟)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与

19、长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q 证明:OT 平分线段 PQ(其中 0 为坐标原点); 当 |TF| |PQ|最小时,求点 T 的坐标 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【分析】 看到焦距为4,短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 想到2c4,a 3b,a2b2c2 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)由已知可得 a2b22b, 2c2 a2b24, 解得 a26,b22 2 分得

20、分点 所以椭圆 C 的标准方程是x 2 6 y 2 2 1 3 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由(1)可得点 F 的坐标是(2,0), 设点 T 的坐标为(3,m),则直线 TF 的斜率是 kTF m0 32m 当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ 1 m, 直线 PQ 的方程是 xmy2 当 m0 时,直线 PQ 的方程是 x2, 也符合 xmy2 的形式 5 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, 得 xmy2, x2 6 y 2 2 1. 消去

21、 x,得(m23)y24my20 其判别式 16m28(m23)0, 所以 y1y2 4m m23,y1y2 2 m23, x1x2m(y1y2)4 12 m23 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 所以 PQ 的中点 M 的坐标为 6 m23, 2m m23 7 分得分点 所以直线 OM 的斜率是 kOMm 3 又直线 OT 的斜率 kOTm 3 , 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ 8 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由可得 |TF| m21, 9 分得分点 |PQ| x1x22y1y22 m21y1y224y1y2 m2

22、1 4m m23 242 m23 24m21 m23 10 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 所以 |TF| |PQ| 1 24 m232 m21 1 24 m21 4 m21 4 1 2444 3 3 当且仅当 m21 4 m21, 即 m1 时取等号, 此时 |TF| |PQ|取得最小值, 11 分得分点 所以当 |TF| |PQ|最小时,点 T 的坐标是(3,1)或(3,1) 12 分得分点 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【评分细则】 列方程组求出 a2与 b2给 2 分 写出椭圆的标准方程给 1 分 根据题意恰当设出直线方程,给 2 分,不

23、讨论 m0 的情况,扣 1 分 方程联立消元,结合韦达定理求出点 M 的坐标,给 2 分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 证明 OT 平分线段 PQ,给 1 分 写出|TF|的表达式,给 1 分 写出|PQ|的表达式,给 1 分 写出 |TF| |PQ|的表达式,利用均值不等式确定最小值,给 1 分 正确写出点 T 的坐标,给 1 分 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 【名师点评】 1核心素养:本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系 等知识,是一道综合能力较强的题,意在考查考生的分析问题、解决问 题的能力以及运算求解能力 高考一轮总复习 数学(新高考)

24、第八章 解析几何 2解题技巧:(1)注意通性通法的应用 在解题过程中,注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答 题,不仅注意解决问题的巧解,更要注意此类问题的通性通法如在解 决本例(2)时,注意本题的实质是直线与圆锥曲线的相交问题,因此设 出直线方程,然后联立椭圆方程构造方程组,利用根与系数关系求出y1 y2,y1y2的值即为通法 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)关键步骤要全面 阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有关键步骤、关键点则得分, 没有要相应扣分,所以解题时要写全关键步骤,踩点得分,对于纯计算 过程等非得分点的步骤可简写或不写,如本例(2)中,消元化简时,可直

25、 接写出结果,利用弦长公式求|PQ|时,也可省略计算过程 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 3最值问题 (1)常见解法有两种:几何法与代数法 若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义,或反映 出了某种圆锥曲线的定义,则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来 求解,这就是几何法 将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数,转化为函数的最值 问题,再充分利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相 关知识去求解,这就是代数法 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)易错点 利用基本不等式求最值问题要指出能取到最值,或求出取到最值 的条件; 利用函数观点解决最

26、值问题时,要注意自变量的取值范围 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 4解决最值问题的答题模板 设方程搞联立 设出相关直线的方程,确定参数,如斜率、截距等,联立方程组 得一元二次方程. 抓条件促转化 抓住已知条件,把问题转化为关于参数的方程或不等式,确定参 数的范围. 建函数求结果 针对所求问题构建关于参数的函数等,利用函数或基本不等式知 识求最值或范围,有时应用换元法简化运算. 查关键写规范反思回顾,查看关键点、易错点,强化解题的规范性. 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 例 3 (2020 全国卷)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2

27、,3), 点 A 为其左顶点,且 AM 斜率为1 2 (1)求 C 的方程; (2)点 N 为椭圆上任意一点,求AMN 的面积的最大值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可知直线 AM 的方程为:y31 2(x2), 即 x2y4 当 y0 时,解得 x4,所以 a4, 椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2,3), 可得 4 16 9 b21,解得 b 212 所以 C 的方程: x2 16 y2 121 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设与直线 AM 平行的直线方程为:x2ym, 如图所示,当直线与椭圆相切时,与

28、 AM 距离比较远的直线与椭圆 的切点为 N,此时AMN 的面积取得最大值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 联立直线方程 x2ym 与椭圆方程 x2 16 y2 121 可得 3(m2y)24y248, 化简可得 16y212my3m2480, 所以 144m2416(3m248)0, 即 m264,解得 m8 与 AM 距离比较远的直线方程 x2y8, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 直线 AM 方程为 x2y4 点 N 到直线的距离即两平行线之间的距离 d 84 14 12 5 5 , 由两点间距离公式可得 |AM| 242323 5, 所以AMN 的面

29、积的最大值为1 23 5 12 5 5 18 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 3 (1)(2021 广东新高考适应性考试)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的 左、 右焦点分别为 F1, F2, 短轴长为 2 3, A, B 在椭圆 C 上, 且AF2 BF2 0,ABF1的周长为 8 求椭圆 C 的标准方程; 过椭圆 C 上的动点 M 作 C 的切线 l,过原点 O 作 OPl 于点 P, 求OMP 的面积的最大值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 广东梅州质检)已知直线 l: xy10 与焦点为 F 的抛物线 C

30、:y22px(p0)相切 求抛物线 C 的方程; 过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A,B 两点,求 A,B 两点到直 线 l 的距离之和的最小值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由AF2 BF2 0, 可知 A,B,F2三点共线,且 ABx 轴 由ABF1的周长为 8,得 4a8, 所以 a2,且 b 3, 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 显然直线 l 斜率存在且不为 0,设直线 l:ykxt, 联立 ykxt, 3x24y212, 得(34k2)x28ktx4t2120, 且 64

31、k2t24(34k2)(4t212)0, 得 t24k23, 所以 xM 8kt 234k2 4k t 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 联立 y1 kx, ykxt, 得 xP kt k21, 所以|OP|1 1 k2 |kt| k21 |t| k21, 则 |MP| 1k2 4k t kt k21 1k2 4k34kkt2 tk21 |k| |t| k21, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 所以 SOMP1 2|MP| |OP| 1 2 |k| |t| k21 |t| k21 1 2 |k| k21 1 2 1 |k| 1 |k| 1 4, 当且仅当 k1

32、 时取等号, 所以OMP 的面积的最大值为1 4 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)直线 l:xy10 与抛物线 C 相切, 由 xy10 y22px 消去 x 得,y22py2p0, 从而 4p28p0,解得 p2 抛物线 C 的方程为 y24x 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由于直线 m 的斜率不为 0,所以可设直线 m 的方程为 tyx1, A(x1,y1),B(x2,y2) 由 tyx1 y24x 消去 x 得,y24ty40, y1y24t,从而 x1x24t22, 线段 AB 的中点 M 的坐标为(2t21,2t) 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设点 A 到直线 l 的距离为 dA,点 B 到直线 l 的距离为 dB,点 M 到直 线 l 的距离为 d,则 dAdB2d2 |2t22t2| 2 2 2|t2t1|2 2 t1 2 23 4 当 t1 2时,可使 A、B 两点到直线 l 的距离之和最小,距离的最小 值为3 2 2 谢谢观看